集合論は現代数学の基盤であり、その記号は数学だけでなく確率論、機械学習、コンピュータサイエンスなど幅広い分野で使われています。「ある要素がこの集合に属する」「2つの集合の共通部分を取る」「実数全体の集合」といった表現は、論文やレポートで日常的に登場します。
しかし、$\in$、$\subseteq$、$\cup$、$\cap$ など、集合記号は種類が多く、似た見た目の記号も多いため、正しいコマンドを知っていないと混乱しがちです。
本記事の内容
- 元の帰属記号（$\in$, $\notin$）
- 部分集合記号（$\subset$, $\subseteq$, $\supset$）
- 集合演算記号（$\cup$, $\cap$, $\setminus$, $\times$）
- 空集合と数の集合（$\emptyset$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{Z}$）
- 集合の表記法（内包表記、区間）
前提知識
この記事を読む前に、以下の記事を読んでおくと理解が深まります。
- ギリシャ文字一覧とLaTeXでの書き方 — 集合と組み合わせるギリシャ文字
- 括弧のサイズ調整 — 集合表記の括弧
元の帰属記号
「含む」と「含まない」
集合の中で最も基本的な関係は「ある要素がその集合に属しているか」です。たとえば、3は自然数の集合に属しますが、$-1$ は属しません。この「属する」「属さない」を表す記号を見ていきましょう。
| 記号 | LaTeX | 意味 | 読み方 |
|---|---|---|---|
| $\in$ | \in |
〜に属する | element of |
| $\notin$ | \notin |
〜に属さない | not element of |
| $\ni$ | \ni |
〜を元として含む | contains as member |
使用例
$$ 3 \in \mathbb{N}, \quad -1 \notin \mathbb{N} $$
$$
3 \in \mathbb{N}, \quad -1 \notin \mathbb{N}
$$
$\mathbb{N}$ は自然数全体の集合を表す記号です（後述）。$3$ は自然数なので $\in$（属する）、$-1$ は自然数ではないので $\notin$（属さない）を使います。
$$ x \in A \quad \Leftrightarrow \quad A \ni x $$
$\ni$ は $\in$ の向きを逆にした記号で、「集合 $A$ が要素 $x$ を含む」と読みます。使用頻度は $\in$ より低いですが、文脈によっては便利です。
帰属記号の基本がわかりました。次に、集合同士の包含関係を表す部分集合記号を見ていきましょう。
部分集合記号
部分集合とは
集合 $A$ のすべての要素が集合 $B$ にも属するとき、$A$ は $B$ の部分集合であると言います。教室のクラスに例えると、「理系クラスの生徒は全員、学年の生徒に含まれる」という関係が部分集合です。
| 記号 | LaTeX | 意味 | 備考 |
|---|---|---|---|
| $\subset$ | \subset |
真部分集合（$A \neq B$） | 教科書によっては $\subseteq$ の意味で使用 |
| $\subseteq$ | \subseteq |
部分集合（$A = B$ を含む） | 最も一般的 |
| $\subsetneq$ | \subsetneq |
真部分集合（明示的） | $A \neq B$ を強調 |
| $\supset$ | \supset |
上位集合（逆向き） | $B \supset A$ は $A \subset B$ と同じ |
| $\supseteq$ | \supseteq |
上位集合（$=$を含む） | — |
| $\not\subset$ | \not\subset |
部分集合ではない | — |
$\subset$ と $\subseteq$ の使い分け
$\subset$ の意味は教科書によって異なるため注意が必要です。
- フランス流: $\subset$ は $\subseteq$（等号を含む）の意味
- アメリカ流: $\subset$ は「真部分集合」（$A \neq B$）の意味
誤解を避けるためには、以下のように使い分けるのが安全です。
- $A = B$ を含む場合: $A \subseteq B$（
\subseteq） - $A \neq B$ を明示する場合: $A \subsetneq B$（
\subsetneq）
$$
\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}
$$
$$ \mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C} $$
この式は「自然数 $\subseteq$ 整数 $\subseteq$ 有理数 $\subseteq$ 実数 $\subseteq$ 複素数」という数の集合の包含関係を表しています。
部分集合記号を理解しました。次に、集合同士の演算を表す記号を見ていきましょう。
集合演算記号
和集合と共通部分
集合の演算で最も基本的なのは、和集合（union）と共通部分（intersection）です。ベン図をイメージすると理解しやすいでしょう。
| 記号 | LaTeX | 意味 | 説明 |
|---|---|---|---|
| $\cup$ | \cup |
和集合 | どちらか一方に属する要素の集合 |
| $\cap$ | \cap |
共通部分 | 両方に属する要素の集合 |
| $\bigcup$ | \bigcup |
大きな和集合 | 複数の集合の和 |
| $\bigcap$ | \bigcap |
大きな共通部分 | 複数の集合の共通部分 |
$$ A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ or } x \in B\} $$
$$ A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ and } x \in B\} $$
$$
A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ or } x \in B\}
$$
複数の集合の和集合・共通部分は、大きな演算子 \bigcup と \bigcap を使って書きます。
$$ \bigcup_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n $$
$$ \bigcap_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n $$
差集合と対称差
| 記号 | LaTeX | 意味 | 説明 |
|---|---|---|---|
| $\setminus$ | \setminus |
差集合 | $A$ にあって $B$ にない要素 |
| $A \triangle B$ | A \triangle B |
対称差 | どちらか一方だけに属する要素 |
| $A^c$ | A^c |
補集合 | $A$ に属さない要素 |
| $\bar{A}$ | \bar{A} |
補集合（別表記） | — |
| $\overline{A}$ | \overline{A} |
補集合（別表記） | — |
$$ A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ and } x \notin B\} $$
$$
A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ and } x \notin B\}
$$
差集合 $A \setminus B$ は「$A$ から $B$ の要素を取り除いた集合」です。
直積（デカルト積）
2つの集合の直積（すべての順序対の集合）は $\times$ で表します。
$$ A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, \, b \in B\} $$
$$
A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, \, b \in B\}
$$
$\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2$ は2次元平面全体を表します。
集合演算記号を一通り紹介しました。次に、空集合と数の集合を表す特別な記号を見ていきましょう。
空集合と特別な集合
空集合
要素を1つも持たない集合を空集合と呼びます。
| 記号 | LaTeX | 備考 |
|---|---|---|
| $\emptyset$ | \emptyset |
標準的 |
| $\varnothing$ | \varnothing |
0と区別しやすい |
$$ A \cap B = \emptyset \quad \text{（$A$ と $B$ は互いに素）} $$
$$
A \cap B = \emptyset \quad \text{（$A$ と $B$ は互いに素）}
$$
\varnothing は斜線の入った丸で、数字の0と紛らわしくないため、こちらを好む著者もいます。
数の集合（黒板太字）
数の集合を表すには、黒板太字（blackboard bold）の \mathbb コマンドを使います。
| 記号 | LaTeX | 意味 |
|---|---|---|
| $\mathbb{N}$ | \mathbb{N} |
自然数の集合 |
| $\mathbb{Z}$ | \mathbb{Z} |
整数の集合 |
| $\mathbb{Q}$ | \mathbb{Q} |
有理数の集合 |
| $\mathbb{R}$ | \mathbb{R} |
実数の集合 |
| $\mathbb{C}$ | \mathbb{C} |
複素数の集合 |
$$ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} $$
$$ \mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\} $$
$$
\mathbb{R}^n \quad \text{（$n$次元実数空間）}
$$
$\mathbb{R}^n$ は $n$ 次元の実数ベクトル空間を表し、線形代数や機械学習で頻出します。
べき集合
集合 $A$ のすべての部分集合からなる集合をべき集合（power set）と呼びます。
$$ \mathcal{P}(A) = \{B \mid B \subseteq A\} $$
$$
\mathcal{P}(A) = \{B \mid B \subseteq A\}
$$
\mathcal{P} は花文字（カリグラフィー体）の $P$ を出力します。$2^A$ と書くこともあります。
特別な集合の記号を紹介しました。次に、集合を定義する表記法を見ていきましょう。
集合の表記法
外延的記法（列挙法）
要素を直接列挙する方法です。
$$ A = \{1, 2, 3, 4, 5\} $$
$$
A = \{1, 2, 3, 4, 5\}
$$
波括弧 \{ と \} は、LaTeXの数式モードでは \{ \} と書く必要があります（{ } だけではグルーピングの意味になります）。
内包的記法（条件法）
条件を指定して集合を定義する方法です。
$$ B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 4\} $$
$$
B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 4\}
$$
\mid は条件を区切る縦線で、「〜を満たす」と読みます。| でも表示は同じですが、\mid のほうがスペーシングが正しくなります。
区間の表記
実数の区間は括弧を使って表します。
| 表記 | LaTeX | 意味 |
|---|---|---|
| $[a, b]$ | [a, b] |
閉区間（$a \leq x \leq b$） |
| $(a, b)$ | (a, b) |
開区間（$a < x < b$） |
| $[a, b)$ | [a, b) |
半開区間 |
| $(a, b]$ | (a, b] |
半開区間 |
| $[a, \infty)$ | [a, \infty) |
無限区間 |
| $(-\infty, b]$ | (-\infty, b] |
無限区間 |
$$ x \in [0, 1] \quad \text{は} \quad 0 \leq x \leq 1 \quad \text{を意味する} $$
集合の表記法を理解しました。次に、KaTeXでの互換性を確認しましょう。
LaTeX vs KaTeX の注意点
| コマンド | KaTeX対応 | 備考 |
|---|---|---|
\in |
対応 | — |
\notin |
対応 | — |
\subset, \subseteq |
対応 | — |
\subsetneq |
対応 | — |
\cup, \cap |
対応 | — |
\bigcup, \bigcap |
対応 | — |
\setminus |
対応 | — |
\emptyset |
対応 | — |
\varnothing |
対応 | — |
\mathbb{R} 等 |
対応 | — |
\mathcal{P} |
対応 | — |
\mid |
対応 | — |
集合記号に関しては、KaTeXですべてのコマンドが問題なく使用できます。
よくある間違いとTips
間違い1：波括弧をエスケープし忘れる
集合の波括弧は \{ と \} でエスケープする必要があります。
% NG: 波括弧が表示されない
$A = {1, 2, 3}$
% OK: エスケープする
$A = \{1, 2, 3\}$
間違い2：| と \mid の混同
条件を区切る縦線には \mid を使うとスペーシングが正しくなります。
% 非推奨: スペースが狭い
$\{x | x > 0\}$
% 推奨: 適切なスペース
$\{x \mid x > 0\}$
| は絶対値の縦線としても使われるため、文脈による混同を避ける意味でも \mid が推奨されます。
間違い3：空集合の記号
空集合に $\phi$ を使うのは誤りです。$\phi$ はギリシャ文字のファイであり、空集合ではありません。
% NG: ギリシャ文字のファイ
$A \cap B = \phi$
% OK: 空集合記号
$A \cap B = \emptyset$
Tips：集合記号を使った確率の表記
確率論では集合記号が頻繁に登場します。
$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$
$$ P(A^c) = 1 - P(A) $$
$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
$$
これは確率の加法定理で、和集合と共通部分の記号を使っています。
まとめ
本記事では、LaTeXで集合記号を書く方法を網羅的に解説しました。
- 帰属記号:
\in（属する）、\notin（属さない） - 部分集合:
\subseteq（部分集合）、\subsetneq（真部分集合） - 集合演算:
\cup（和集合）、\cap（共通部分）、\setminus（差集合） - 空集合:
\emptysetまたは\varnothing - 数の集合:
\mathbb{R}（実数）、\mathbb{Z}（整数）など - 集合の記法:
\{...\}で囲み、\midで条件を区切る
集合記号は数学の基礎から応用まで幅広く使われるため、正確に書けるようにしておきましょう。
次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。
- ギリシャ文字一覧とLaTeXでの書き方 — 集合と組み合わせるギリシャ文字
- 確率記号をLaTeXで書く — 集合記号を使った確率の表記
- ノルム・絶対値をLaTeXで書く — 縦線の使い分け