【LaTeX】数式に波括弧の注釈をつける（underbrace・overbrace）

数式の導出や解説を書くとき、「この部分はこういう意味です」という注釈を数式の中に直接入れたいことがよくあります。たとえば、テイラー展開の各項に「1次の近似」「2次の補正」とラベルを付けたり、行列の一部を「この部分が回転行列」と示したりする場面です。

LaTeXでは、\underbrace（下に波括弧と注釈）と \overbrace（上に波括弧と注釈）を使って、数式の特定部分にわかりやすい注釈をつけることができます。教育資料やプレゼンテーション用の数式で特に効果的です。

本記事の内容

• \underbrace の基本的な使い方
• \overbrace の基本的な使い方
• 注釈の位置と書式
• 入れ子での使用
• 色との組み合わせ
• 実践的な使用例

前提知識

この記事を読む前に、以下の記事を読んでおくと理解が深まります。

• 数式を揃える・整列する — 複数行数式での活用
• 数式中にテキストを入れる — 注釈テキストの書き方
• 数式に色をつける・ハイライトする — 色との組み合わせ

\underbrace：下に注釈をつける

基本的な使い方

\underbrace は、数式の下に波括弧を描き、その下に注釈テキストを配置します。

$$ \underbrace{a + b + c}_{\text{3つの項の和}} $$

$$
\underbrace{a + b + c}_{\text{3つの項の和}}
$$

\underbrace{...}_{...} の構文で、第1引数（波括弧の中）に対象の数式、下付き文字に注釈テキストを書きます。

なぜ \underbrace が有用か

数式が複雑になると、各部分の意味を読者が把握するのが難しくなります。\underbrace を使えば、数式の構造を分解して説明でき、読者の理解を助けることができます。

具体例：二項定理

$$ (a + b)^3 = \underbrace{a^3}_{k=0} + \underbrace{3a^2b}_{k=1} + \underbrace{3ab^2}_{k=2} + \underbrace{b^3}_{k=3} $$

$$
(a + b)^3 = \underbrace{a^3}_{k=0} + \underbrace{3a^2b}_{k=1}
+ \underbrace{3ab^2}_{k=2} + \underbrace{b^3}_{k=3}
$$

各項に対応する $k$ の値を注釈として付けています。

具体例：分散の分解

$$ \underbrace{E[(X – \mu)^2]}_{\text{分散}} = \underbrace{E[X^2]}_{\text{2次モーメント}} – \underbrace{(E[X])^2}_{\text{平均の2乗}} $$

$$
\underbrace{E[(X - \mu)^2]}_{\text{分散}} = \underbrace{E[X^2]}_{\text{2次モーメント}}
- \underbrace{(E[X])^2}_{\text{平均の2乗}}
$$

統計学の分散の公式で、各部分の意味を注釈で明示しています。

\underbrace の基本を理解しました。次に、上に注釈を付ける \overbrace を見ていきましょう。

\overbrace：上に注釈をつける

基本的な使い方

\overbrace は \underbrace の逆で、数式の上に波括弧と注釈を配置します。

$$ \overbrace{a + b + c}^{\text{3項の和}} $$

$$
\overbrace{a + b + c}^{\text{3項の和}}
$$

\overbrace{...}^{...} で、上付き文字に注釈テキストを書きます。

\underbrace と \overbrace の使い分け

一般的に、\underbrace のほうが使用頻度が高いです。下に注釈があるほうが、数式の流れを邪魔しにくいためです。\overbrace は数式の上に空間がある場合に使います。

具体例：行列の分割

$$ \bm{A} = \left(\begin{array}{c|c} \overbrace{a_{11} \quad a_{12}}^{\bm{A}_{11}} & \overbrace{a_{13} \quad a_{14}}^{\bm{A}_{12}} \\ a_{21} \quad a_{22} & a_{23} \quad a_{24} \\ \hline a_{31} \quad a_{32} & a_{33} \quad a_{34} \end{array}\right) $$

これは概念的な例ですが、行列のブロック分割を注釈で示す場面です。

具体例：等差数列の和

$$ S_n = \overbrace{a + (a+d) + (a+2d) + \cdots + (a+(n-1)d)}^{n \text{ 個}} $$

$$
S_n = \overbrace{a + (a+d) + (a+2d) + \cdots + (a+(n-1)d)}^{n \text{ 個}}
$$

等差数列の $n$ 項の和であることを上の注釈で示しています。

\overbrace の使い方を理解しました。次に、注釈の書式をカスタマイズする方法を見ていきましょう。

注釈の書式

テキストの注釈

注釈にはテキストモードの文字列を入れることが多いです。\text{...} を使います。

$$ \underbrace{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}_{\text{$n$ 個のデータの和}} $$

$$
\underbrace{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}_{\text{$n$ 個のデータの和}}
$$

\text{...} の中で数式変数を使うときは、$...$ でインライン数式に戻します。

数式の注釈

注釈に数式を書くこともできます。

$$ \underbrace{1 + 2 + 3 + \cdots + n}_{= \frac{n(n+1)}{2}} $$

$$
\underbrace{1 + 2 + 3 + \cdots + n}_{= \frac{n(n+1)}{2}}
$$

注釈が閉じた形の公式であることを示しています。

等号付きの注釈

$$ \underbrace{\int_0^\infty e^{-x} \, dx}_{= 1} $$

$$
\underbrace{\int_0^\infty e^{-x} \, dx}_{= 1}
$$

積分の値を注釈として付けています。

注釈の書式を理解しました。次に、\underbrace と \overbrace を入れ子にする方法を見ていきましょう。

入れ子での使用

\underbrace の入れ子

大きな式の中で、部分ごとに注釈をつけ、さらに全体にも注釈をつけることができます。

$$ \underbrace{\underbrace{a^2 + 2ab + b^2}_{(a+b)^2} + \underbrace{c^2 + 2cd + d^2}_{(c+d)^2}}_{\text{2つの完全平方式の和}} $$

$$
\underbrace{\underbrace{a^2 + 2ab + b^2}_{(a+b)^2}
+ \underbrace{c^2 + 2cd + d^2}_{(c+d)^2}}_{\text{2つの完全平方式の和}}
$$

内側の \underbrace で各部分を注釈し、外側の \underbrace で全体を注釈しています。

\underbrace と \overbrace の組み合わせ

同じ式に上と下の両方から注釈を付けることもできます。

$$ \overbrace{\underbrace{a + b}_{\text{第1群}} + \underbrace{c + d}_{\text{第2群}}}^{\text{すべての項の和}} $$

$$
\overbrace{\underbrace{a + b}_{\text{第1群}}
+ \underbrace{c + d}_{\text{第2群}}}^{\text{すべての項の和}}
$$

下に各グループの注釈、上に全体の注釈を配置しています。

入れ子での使い方を理解しました。次に、色との組み合わせを見ていきましょう。

色との組み合わせ

注釈テキストに色をつける

注釈テキストを色付きにすると、さらに目を引く表示になります。

$$ \underbrace{x^2 + 2x + 1}_{{\color{red} = (x+1)^2}} $$

$$
\underbrace{x^2 + 2x + 1}_{{\color{red} = (x+1)^2}}
$$

対象の数式に色をつける

波括弧で囲まれた数式自体を色付きにすることもできます。

$$ {\color{blue}\underbrace{\color{black} a + b + c}_{\text{和}}} + {\color{red}\underbrace{\color{black} d \cdot e}_{\text{積}}} $$

$$
{\color{blue}\underbrace{\color{black} a + b + c}_{\text{和}}}
+ {\color{red}\underbrace{\color{black} d \cdot e}_{\text{積}}}
$$

波括弧と注釈の色を変え、元の数式は黒のままにしています。

色との組み合わせを理解しました。次に、実践的な使用例をいくつか見ていきましょう。

実践的な使用例

テイラー展開

$$ f(x) = \underbrace{f(a)}_{\text{0次}} + \underbrace{f'(a)(x-a)}_{\text{1次}} + \underbrace{\frac{f”(a)}{2!}(x-a)^2}_{\text{2次}} + \cdots $$

$$
f(x) = \underbrace{f(a)}_{\text{0次}}
+ \underbrace{f'(a)(x-a)}_{\text{1次}}
+ \underbrace{\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2}_{\text{2次}} + \cdots
$$

テイラー展開の各項が何次の近似に対応しているかを注釈で示しています。

損失関数の分解

機械学習の正則化付き損失関数を分解して説明します。

$$ \mathcal{L} = \underbrace{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ell(y_i, \hat{y}_i)}_{\text{データへの適合度}} + \underbrace{\lambda \|\bm{w}\|^2}_{\text{正則化項}} $$

$$
\mathcal{L} = \underbrace{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ell(y_i, \hat{y}_i)}_{\text{データへの適合度}}
+ \underbrace{\lambda \|\bm{w}\|^2}_{\text{正則化項}}
$$

損失関数の2つの構成要素を明確にしています。

ベイズの定理

$$ \underbrace{P(A \mid B)}_{\text{事後確率}} = \frac{\overbrace{P(B \mid A)}^{\text{尤度}} \cdot \overbrace{P(A)}^{\text{事前確率}}}{\underbrace{P(B)}_{\text{周辺尤度}}} $$

$$
\underbrace{P(A \mid B)}_{\text{事後確率}}
= \frac{\overbrace{P(B \mid A)}^{\text{尤度}}
\cdot \overbrace{P(A)}^{\text{事前確率}}}
{\underbrace{P(B)}_{\text{周辺尤度}}}
$$

ベイズの定理の各要素に名前を付けています。分子には \overbrace（上に注釈）、分母と左辺には \underbrace（下に注釈）を使って、重なりを避けています。

ガウス分布の確率密度関数

$$ f(x) = \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}}_{\text{正規化定数}} \exp\left(-\underbrace{\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}_{\text{指数部}}\right) $$

$$
f(x) = \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}}_{\text{正規化定数}}
\exp\left(-\underbrace{\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}_{\text{指数部}}\right)
$$

運動エネルギーの導出

$$ E = \underbrace{\frac{1}{2}mv^2}_{\text{運動エネルギー}} = \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{\text{運動量表示}} $$

$$
E = \underbrace{\frac{1}{2}mv^2}_{\text{運動エネルギー}}
= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{\text{運動量表示}}
$$

同じ物理量を2つの異なる表現で書き、それぞれに注釈を付けています。

実践的な使用例を見てきました。次に、KaTeXでの互換性を確認しましょう。

LaTeX vs KaTeX の注意点

KaTeXでは \underbrace と \overbrace が完全にサポートされています。

よくある間違いとTips

間違い1：注釈の位置を間違える

% NG: underbrace に ^ を使うと上に注釈が付く
\underbrace{a + b}^{\text{和}}

% OK: underbrace には _ を使う
\underbrace{a + b}_{\text{和}}

\underbrace は _（下付き）、\overbrace は ^（上付き）で注釈を指定します。逆にしても動作しますが、意図しない位置に注釈が付きます。

間違い2：注釈が長すぎる

注釈テキストが長すぎると、数式のレイアウトが崩れることがあります。

% 見づらい（注釈が長すぎる）
\underbrace{x^2}_{\text{これは二次関数の最高次の項を表しています}}

% 改善（簡潔に）
\underbrace{x^2}_{\text{2次の項}}

注釈は簡潔に保ちましょう。

間違い3：波括弧の対応が崩れる

入れ子にするとき、\underbrace の開始位置と終了位置を間違えないよう注意しましょう。

Tips1：\underset との使い分け

\underset は波括弧なしで下に文字を置きます。波括弧が不要な場合は \underset のほうが簡潔です。

$$ \underset{\text{$n$ 個}}{\underbrace{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}} \quad \text{vs} \quad \underset{\text{$n$ 個}}{x_1 + x_2 + \cdots + x_n} $$

左が \underbrace（波括弧あり）、右が \underset（波括弧なし）です。

Tips2：注釈にサイズ指定

注釈のテキストが大きすぎる場合、\small や \scriptsize でサイズを小さくできます（LaTeX文書の場合）。

\underbrace{a + b + c}_{\scriptsize\text{3項の和}}

KaTeXでは \scriptsize がサポートされていない場合があるため、注意してください。

まとめ

本記事では、LaTeXで数式に波括弧の注釈をつける方法を解説しました。

• \underbrace{数式}_{注釈}: 下に波括弧と注釈を配置
• \overbrace{数式}^{注釈}: 上に波括弧と注釈を配置
• 入れ子: 部分ごとの注釈と全体の注釈を組み合わせられる
• 色との併用: 波括弧や注釈に色をつけて強調できる
• 実践例: テイラー展開、損失関数、ベイズの定理など

\underbrace と \overbrace は、数式の各部分の意味を読者に伝えるための強力なツールです。教育資料やプレゼンテーションで活用しましょう。

次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。

• 数式に色をつける・ハイライトする — 色による強調
• 数式中にテキストを入れる — 注釈テキストの書き方
• 数式を揃える・整列する — 複数行数式の基本
• ハット・チルダ・バー等のアクセント記号 — 上に付ける修飾記号