多変数関数を扱う場面で偏微分は避けて通れません。機械学習の損失関数を最適化するとき、流体力学のナビエ・ストークス方程式を書くとき、あるいは熱力学の状態方程式を扱うとき、偏微分記号 $\partial$ は至るところに登場します。
一方、全微分は「すべての変数がわずかに変化したとき、関数全体がどれだけ変化するか」を表すもので、誤差解析や熱力学の厳密な議論で欠かせません。
本記事では、LaTeXで偏微分と全微分を正確に書くための方法を、基本から応用まで解説します。
本記事の内容
- 偏微分記号
\partialの基本的な書き方 - 高階偏微分と混合偏微分
- 全微分の表記
- ヤコビアン・ヘッセ行列の書き方
- 物理学・工学で使う偏微分の省略記法
前提知識
この記事を読む前に、以下の記事を読んでおくと理解が深まります。
- 行列をLaTeXで書く方法を徹底解説 — 行列環境の基本（ヤコビアンで使用）
- 分数をLaTeXで書く — 分数表記の基本
偏微分の基本：\partial
偏微分とは何か
多変数関数 $f(x, y)$ を考えたとき、「$y$ を固定して $x$ だけ変化させたときの変化率」が $x$ についての偏微分です。日常的なイメージで言えば、山の斜面に立っているとき、「東方向だけに歩いたらどれくらい傾斜があるか」を測ることに相当します。南北方向は固定して、東西方向だけの変化を見るわけです。
この偏微分を表す記号が $\partial$（パーシャル、ラウンドディー）です。通常の微分に使う $d$ とは異なる文字を使うことで、「他の変数を固定している」ことを明示します。
1階偏微分の書き方
最も基本的な偏微分は次のように書きます。
$$ \frac{\partial f}{\partial x} $$
$$
\frac{\partial f}{\partial x}
$$
\partial コマンドで $\partial$ 記号を出力し、\frac{}{} で分数にします。これだけで偏微分が書けます。
具体的な関数で書くと、たとえば $f(x, y) = x^2 + 3xy + y^2$ の $x$ についての偏微分は次のようになります。
$$ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y $$
$$ \frac{\partial f}{\partial y} = 3x + 2y $$
インラインでの偏微分
文中で偏微分を書く場合、\frac ではなくスラッシュ形式を使うこともあります。
$$ \partial f / \partial x $$
$\partial f / \partial x$
文章の流れを崩したくないときはスラッシュ形式が便利ですが、複雑な式ではブロック数式にして \frac を使うほうが読みやすくなります。
関数の引数を明示する書き方
偏微分の結果がどの点で評価されるかを明示する場合は、縦線（\bigg|）を使います。
$$ \frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{x=a} $$
$$
\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{x=a}
$$
これは「$x = a$ における偏微分係数」を意味します。\bigg| で大きな縦線を出力し、下付き文字で評価点を示しています。
偏微分の基本的な書き方がわかりました。次に、2階以上の高階偏微分の表記方法を見ていきましょう。
高階偏微分
2階偏微分
同じ変数で2回微分する場合、分子と分母にそれぞれ2乗を表す上付き文字を付けます。
$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} $$
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}
$$
ここで注意が必要なのは、分子の $\partial^2$ は「$\partial$ を2乗した」のではなく「2回微分した」ことを表す記法だという点です。分母の $\partial x^2$ は「$(\partial x)^2$」の略記です。
混合偏微分
異なる変数で順に微分する場合は混合偏微分になります。
$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} $$
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}
$$
この式は「まず $y$ で偏微分し、次に $x$ で偏微分する」ことを意味します。分母は右から左に読むのが慣例です。
十分に滑らかな関数（$C^2$ 級以上）では、微分の順序を交換しても結果は同じです（シュワルツの定理）。
$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} $$
$n$ 階偏微分
一般的に $n$ 階の偏微分は次のように書きます。
$$ \frac{\partial^n f}{\partial x^n} $$
$$
\frac{\partial^n f}{\partial x^n}
$$
混合偏微分で異なる階数を持つ場合は、分子の次数が分母の次数の合計になるよう注意します。
$$ \frac{\partial^{m+n} f}{\partial x^m \partial y^n} $$
$$
\frac{\partial^{m+n} f}{\partial x^m \partial y^n}
$$
たとえば $\frac{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y}$ は、$y$ で1回、$x$ で2回微分することを表し、分子の3は $2 + 1$ です。
高階偏微分の書き方を押さえたところで、次は偏微分を省略記法で書く方法を紹介します。
偏微分の省略記法
下付き添字による省略
物理学や工学では、偏微分を添字で省略することがよくあります。
$$ f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \quad f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} $$
$$
f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \quad
f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad
f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}
$$
この省略記法は式が長くなるのを防ぐのに便利ですが、最初に「$f_x$ は $\partial f / \partial x$ を意味する」と断っておく必要があります。
$\partial_x$ 記法
理論物理学では、偏微分演算子を $\partial_x$ と書くスタイルもあります。
$$ \partial_x f = \frac{\partial f}{\partial x}, \quad \partial_t \phi = \frac{\partial \phi}{\partial t} $$
$$
\partial_x f = \frac{\partial f}{\partial x}, \quad
\partial_t \phi = \frac{\partial \phi}{\partial t}
$$
特に相対論や場の理論で多用される表記です。
熱力学の表記
熱力学では、「どの変数を固定しているか」を明示的に書く独特の表記法があります。
$$ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T $$
$$
\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T
$$
この括弧と下付き文字 $T$ は、「温度 $T$ を一定に保ったまま体積 $V$ で内部エネルギー $U$ を偏微分する」ことを意味しています。\left( と \right) で括弧のサイズを自動調整し、下付き文字で固定する変数を示します。
熱力学では、同じ関数でもどの変数を固定するかで結果が変わるため、この表記が不可欠です。
$$ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T \neq \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S $$
左辺は等温変化、右辺は断熱変化での偏微分を意味しており、一般に値が異なります。
偏微分のさまざまな省略記法を見てきました。次に、全微分の表記方法について解説します。
全微分の表記
全微分とは
全微分は、すべての独立変数が微小変化したときの関数の変化量を表します。山の斜面のアナロジーで言えば、「東にも北にも同時に少しずつ歩いたときの標高変化」を計算するイメージです。
2変数関数 $f(x, y)$ の全微分は次のように書きます。
$$ df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy $$
$$
df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy
$$
ここで $d$ は通常の微分記号（立体の $d$）、$\partial$ は偏微分記号です。全微分の $d$ と偏微分の $\partial$ を書き分けることが重要です。
立体の $d$（ローマン体）
物理学の慣習では、微分記号の $d$ を立体（ローマン体）にすることがあります。変数 $x$ のイタリック体と区別するためです。
$$ \mathrm{d}f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y $$
$$
\mathrm{d}f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y
$$
\mathrm{d} でローマン体の $d$ を出力します。ISO規格ではこの立体表記が推奨されていますが、分野や著者によって好みが分かれます。
一般的な $n$ 変数の全微分
$n$ 変数関数 $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ の全微分は、総和記号を使って次のように書きます。
$$ df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i $$
$$
df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i
$$
あるいは、勾配ベクトル $\nabla f$ を使って次のようにも書けます。
$$ df = \nabla f \cdot d\bm{x} $$
全微分は誤差伝播の理論でも重要です。各変数の測定誤差 $\Delta x_i$ から関数値の誤差 $\Delta f$ を推定するときに、全微分の考え方がそのまま使えます。
全微分の書き方を理解したところで、次は偏微分をまとめて表現するヤコビアンとヘッセ行列の書き方を見ていきましょう。
ヤコビアン（ヤコビ行列）
ヤコビアンとは
多変数のベクトル値関数 $\bm{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ を考えたとき、各成分関数の偏微分を行列にまとめたものがヤコビ行列（Jacobian matrix）です。座標変換、ニュートン法、ロボットの運動学など、さまざまな場面で使われます。
ヤコビ行列の書き方
$\bm{f} = (f_1, f_2, \dots, f_m)^\mathrm{T}$、変数 $\bm{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^\mathrm{T}$ として、ヤコビ行列は次のように書きます。
$$ \bm{J} = \frac{\partial \bm{f}}{\partial \bm{x}} = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix} $$
$$
\bm{J} = \frac{\partial \bm{f}}{\partial \bm{x}} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\
\frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}
\end{pmatrix}
$$
行列の各要素が偏微分 $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ になっています。\frac の中に \partial を使うのがポイントです。
ヤコビアン（行列式）
「ヤコビアン」という言葉はヤコビ行列の行列式を指すこともあります。
$$ J = \det\left(\frac{\partial \bm{f}}{\partial \bm{x}}\right) = \begin{vmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} \end{vmatrix} $$
重積分の変数変換で $|J|$ を掛ける場面はよく見かけるでしょう。
ヤコビアンの書き方がわかりました。次に、2階偏微分をまとめたヘッセ行列の書き方を見ていきましょう。
ヘッセ行列
ヘッセ行列とは
ヘッセ行列（Hessian matrix）は、スカラー値関数 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ の2階偏微分をまとめた行列です。最適化問題で関数の曲率を調べるときに不可欠であり、ニュートン法やラプラス近似などで登場します。
ヘッセ行列の書き方
$$ \bm{H} = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{pmatrix} $$
$$
\bm{H} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}
\end{pmatrix}
$$
ヘッセ行列は対称行列です（関数が $C^2$ 級の場合）。ナブラ記号を使って $\bm{H} = \nabla^2 f$ と簡潔に書くこともあります。
これで偏微分を使った行列表記の書き方を一通り紹介しました。最後に、よくある間違いとTipsをまとめます。
よくある間違いとTips
間違い1：$d$ と $\partial$ の混同
全微分の $d$ と偏微分の $\partial$ は明確に使い分ける必要があります。
% NG: 偏微分なのに d を使っている
\frac{df}{dx} % これは1変数の常微分
% OK: 多変数関数の偏微分には \partial を使う
\frac{\partial f}{\partial x}
1変数関数 $f(x)$ では $\frac{df}{dx}$、多変数関数 $f(x, y, \dots)$ では $\frac{\partial f}{\partial x}$ を使います。
間違い2：高階偏微分の次数が合わない
分子の次数は分母の次数の合計と一致させる必要があります。
% NG: 分子が2なのに分母の合計が3
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2 \partial y}
% OK: 分子の3 = 分母の2 + 1
\frac{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y}
間違い3：\partial のスペーシング
\partial の前後に適切なスペースが入っているか確認しましょう。\frac 内では自動的にスペーシングが調整されますが、インラインで書く場合は注意が必要です。
% 見づらい
$\partial f/\partial x$
% 少し見やすい（\, で薄いスペースを入れる）
$\partial f \,/\, \partial x$
Tips1：偏微分演算子をマクロ化する
偏微分を頻繁に書くなら、LaTeXのプリアンブルでマクロを定義しておくと便利です。
% プリアンブルで定義
\newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\pdd}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2^2}}
% 本文で使う
\pd{f}{x} % → ∂f/∂x
\pdd{f}{x} % → ∂²f/∂x²
ただし、このマクロはLaTeXでのみ使えます。KaTeXでは \newcommand のサポートが限定的な場合があるため注意してください。
Tips2：偏微分の連鎖律
機械学習の誤差逆伝播で頻出する連鎖律（chain rule）は次のように書きます。
$$ \frac{\partial L}{\partial w} = \frac{\partial L}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial w} $$
$$
\frac{\partial L}{\partial w} = \frac{\partial L}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial w}
$$
より一般的には、多変数の連鎖律は次のようになります。
$$ \frac{\partial f}{\partial t} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{\partial x_i}{\partial t} $$
まとめ
本記事では、LaTeXで偏微分と全微分を書く方法を解説しました。
- 偏微分の基本:
\partialと\fracを組み合わせて $\frac{\partial f}{\partial x}$ と書く - 高階偏微分: 上付き文字で次数を表す（$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$）
- 混合偏微分: 分母に複数の変数を並べる（$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$）
- 全微分: $d$ と $\partial$ を使い分ける
- ヤコビアン・ヘッセ行列: 偏微分を行列環境にまとめて書く
- 熱力学の表記: 固定する変数を括弧の下付き文字で明示する
偏微分は数学・物理・工学のあらゆる分野で登場する基本的な表記です。正確に書けるようにしておきましょう。
次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。
- 積分記号をLaTeXで書く — 偏微分の逆操作
- 勾配・発散・回転をLaTeXで書く — ベクトル解析の微分演算子
- 行列をLaTeXで書く方法を徹底解説 — ヤコビ行列・ヘッセ行列の行列表記