【LaTeX】極限limをLaTeXで書く

微積分の授業で最初に出会う概念の一つが極限です。微分の定義、積分の定義、級数の収束判定など、解析学のほぼすべての議論は極限に基づいています。また、確率論の大数の法則、数値解析の収束条件など、応用分野でも極限は頻出します。

LaTeXで極限を書くには \lim コマンドを使いますが、下付き文字の位置や矢印の書き方にいくつかのバリエーションがあります。

本記事の内容

• \lim の基本的な書き方
• 上極限 \limsup と下極限 \liminf
• 矢印記号を使った極限
• 多変数の極限
• KaTeXでの注意点

前提知識

この記事を読む前に、以下の記事を読んでおくと理解が深まります。

• 分数をLaTeXで書く — 極限の中で使う分数
• 総和と総乗をLaTeXで書く — 上下限の書き方が共通

\lim の基本

極限とは

直感的に言えば、極限とは「ある値にどんどん近づいていくとき、関数の値がどこに向かうか」を表す概念です。たとえば、$x$ を $0$ に近づけていったとき $\frac{\sin x}{x}$ はどうなるか、と問うのが極限です。答えは $1$ に近づきます。

基本構文

$$ \lim_{x \to a} f(x) = L $$

$$
\lim_{x \to a} f(x) = L
$$

\lim で「lim」という文字をローマン体（立体）で出力します。_{x \to a} で下付きの条件を書きます。\to は右向き矢印 $\to$ を出力します。

ディスプレイスタイルとインラインスタイル

ブロック数式（$$...$$）では、条件が lim の真下に配置されます。

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = L $$

インライン数式（$...$）では、条件が lim の右下に配置されます：$\lim_{n \to \infty} a_n = L$

インラインでも真下に配置したい場合は \limits を使います。

$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = L$

具体例

微分の定義

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) – f(x)}{h} $$

$$
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
$$

自然対数の底

$$ e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $$

$$
e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n
$$

有名な極限

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$

$$ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e $$

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n e^{-n} \sqrt{2\pi n}} = 1 $$

最後の式はスターリングの近似に関連する極限です。

\lim の基本的な書き方を押さえました。次に、上極限と下極限について見ていきましょう。

上極限 \limsup と下極限 \liminf

上極限と下極限とは

数列 $\{a_n\}$ が収束するとは限りません。振動する数列に対しても「行き先」を定義するために、上極限（limit superior）と下極限（limit inferior）が使われます。イメージとしては、上極限は「数列が最終的に下回らないギリギリの上界」、下極限は「数列が最終的に上回らないギリギリの下界」です。

書き方

$$ \limsup_{n \to \infty} a_n, \quad \liminf_{n \to \infty} a_n $$

$$
\limsup_{n \to \infty} a_n, \quad \liminf_{n \to \infty} a_n
$$

\limsup と \liminf はそれぞれ専用のコマンドです。

別表記

上極限・下極限は、以下のように定義から書くこともあります。

$$ \limsup_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \sup_{k \geq n} a_k $$

$$ \liminf_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \inf_{k \geq n} a_k $$

$$
\limsup_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \sup_{k \geq n} a_k
$$

ここで \sup は上限（supremum）、\inf は下限（infimum）を表します。

上極限と下極限が一致する場合

数列が収束するとき、上極限と下極限は一致し、通常の極限に等しくなります。

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = L \quad \Leftrightarrow \quad \limsup_{n \to \infty} a_n = \liminf_{n \to \infty} a_n = L $$

上極限と下極限の書き方を理解しました。次に、矢印記号のバリエーションを見ていきましょう。

矢印記号のバリエーション

基本の矢印

極限で使う矢印の種類を一覧にまとめます。

各種極限の表記

右極限と左極限

$$ \lim_{x \to a^+} f(x), \quad \lim_{x \to a^-} f(x) $$

$$
\lim_{x \to a^+} f(x), \quad \lim_{x \to a^-} f(x)
$$

$a^+$ は右側から近づく極限（右極限）、$a^-$ は左側から近づく極限（左極限）です。

無限大への極限

$$ \lim_{x \to \infty} f(x), \quad \lim_{x \to -\infty} f(x), \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) $$

$$
\lim_{x \to \infty} f(x), \quad
\lim_{x \to -\infty} f(x), \quad
\lim_{x \to +\infty} f(x)
$$

$\infty$ は \infty、$-\infty$ は -\infty で書きます。

収束の記法

$$ a_n \to L \quad (n \to \infty) $$

$$
a_n \to L \quad (n \to \infty)
$$

\lim を使わずに、矢印だけで収束を表すこともよくあります。

確率論での収束

確率論では、さまざまな種類の収束が矢印記号で区別されます。

$$ X_n \xrightarrow{P} X \quad (n \to \infty) $$

$$
X_n \xrightarrow{P} X \quad (n \to \infty)
$$

\xrightarrow{...} は矢印の上にテキストを載せるコマンドです。

矢印記号のバリエーションを確認しました。次に、多変数の極限の書き方を紹介します。

多変数の極限

2変数の極限

2変数関数 $f(x, y)$ の極限は、下付きの条件が少し長くなります。

$$ \lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y) $$

$$
\lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y)
$$

原点への極限

$$ \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{xy}{x^2 + y^2} $$

$$
\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}
$$

ベクトルの極限

$$ \lim_{\bm{x} \to \bm{a}} f(\bm{x}) $$

$$
\lim_{\bm{x} \to \bm{a}} f(\bm{x})
$$

ノルムを使った極限

$$ \lim_{\|\bm{x}\| \to 0} \frac{f(\bm{x})}{\|\bm{x}\|} $$

$$
\lim_{\|\bm{x}\| \to 0} \frac{f(\bm{x})}{\|\bm{x}\|}
$$

多変数の極限の書き方がわかりました。次に、極限に関連するその他の演算子を紹介します。

関連する演算子

\sup と \inf

$$ \sup_{x \in A} f(x), \quad \inf_{x \in A} f(x) $$

$$
\sup_{x \in A} f(x), \quad \inf_{x \in A} f(x)
$$

\max と \min

$$ \max_{1 \leq i \leq n} a_i, \quad \min_{1 \leq i \leq n} a_i $$

$$
\max_{1 \leq i \leq n} a_i, \quad \min_{1 \leq i \leq n} a_i
$$

大きさのオーダー

計算量の解析で使う漸近記法も極限と関連しています。

$$ f(n) = O(g(n)) \quad \Leftrightarrow \quad \limsup_{n \to \infty} \frac{|f(n)|}{g(n)} < \infty $$

$$
f(n) = O(g(n)) \quad \Leftrightarrow \quad \limsup_{n \to \infty} \frac{|f(n)|}{g(n)} < \infty
$$

関連する演算子を紹介しました。KaTeXでの互換性を確認しましょう。

LaTeX vs KaTeX の注意点

KaTeXでは極限関連のすべてのコマンドがサポートされています。

よくある間違いとTips

間違い1：lim をそのまま書く

% NG: イタリック体になってしまう
$lim_{x \to 0} f(x)$

% OK: \lim でローマン体
$\lim_{x \to 0} f(x)$

\lim を使わずに lim と書くと、$l$、$i$、$m$ がそれぞれ独立した変数として解釈され、イタリック体の $lim$ になってしまいます。

間違い2：矢印のコマンドを間違える

% NG: 集合論の写像の矢印（使い方が違う）
$\lim_{x \mapsto 0}$

% OK: 「向かう」の矢印
$\lim_{x \to 0}$

\mapsto（$\mapsto$）は写像の定義に使う矢印で、極限の「近づく」とは意味が異なります。

間違い3：下付き文字の波括弧忘れ

% NG: n だけが下付きになる
$\lim_n \to \infty$

% OK: 全体を波括弧で囲む
$\lim_{n \to \infty}$

Tips：ランダウの記号

極限に関連して、ランダウの記号（$O$, $o$, $\Theta$）もよく使います。

$$ f(x) = o(g(x)) \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 $$

$$
f(x) = o(g(x)) \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0
$$

小文字の $o$ は「$g$ より速く0に近づく」ことを意味します。

まとめ

本記事では、LaTeXで極限 $\lim$ を書く方法を解説しました。

• 基本: \lim_{x \to a} f(x) で極限を書く
• 上極限・下極限: \limsup, \liminf の専用コマンド
• 矢印のバリエーション: \to, \xrightarrow{...} で各種収束を表す
• 多変数: 下付き文字に $(x, y) \to (a, b)$ のように書く
• 関連演算子: \sup, \inf, \max, \min

極限は解析学の基盤であり、正確に書けることが重要です。

次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。

• 積分記号をLaTeXで書く — 極限で定義される積分
• 総和と総乗をLaTeXで書く — 無限級数の収束
• 分数をLaTeXで書く — 極限の中で使う分数