【LaTeX】積分記号をLaTeXで書く（定積分・重積分・線積分）

積分は微積分学の根幹であり、理工系のあらゆる場面で登場します。物理学で仕事量やエネルギーを求めるとき、確率論で確率密度関数を積分して確率を計算するとき、電磁気学でガウスの法則を書くとき――これらすべてに積分記号が必要です。

LaTeXで積分を書く方法は見た目ほど難しくありませんが、定積分・不定積分・重積分・線積分・面積分・周回積分と種類が多いため、体系的に整理しておくと便利です。

本記事の内容

• 不定積分と定積分の基本的な書き方
• 重積分（二重積分・三重積分）
• 線積分・面積分・体積積分
• 周回積分記号
• 積分の上下限の位置調整

前提知識

この記事を読む前に、以下の記事を読んでおくと理解が深まります。

• 分数をLaTeXで書く — 被積分関数内の分数表記
• 総和と総乗をLaTeXで書く — 積分と類似した上下限の書き方

不定積分の書き方

基本構文

不定積分は、積分記号 $\int$ の後に被積分関数を書き、最後に微分要素 $dx$ を付けます。「面積を細い短冊に分けて全部足し合わせる」というイメージの数式表現です。

$$ \int f(x) \, dx $$

$$
\int f(x) \, dx
$$

\int で積分記号 $\int$ を出力します。被積分関数と $dx$ の間の \, は薄いスペースで、見た目を整えるために入れます。この薄いスペースがあるかないかで可読性が大きく変わるため、習慣として入れることを推奨します。

具体例

いくつかの不定積分の例を見てみましょう。

$$ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) $$

$$
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)
$$

$$ \int e^x \, dx = e^x + C $$

$$ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C $$

積分定数 $C$ を忘れずに書くのが不定積分のルールです。

不定積分の書き方は以上です。次に、上端と下端を持つ定積分の書き方を見ていきましょう。

定積分の書き方

基本構文

定積分は \int の上付き文字と下付き文字で積分区間を指定します。

$$ \int_a^b f(x) \, dx $$

$$
\int_a^b f(x) \, dx
$$

_a が下端（下限）、^b が上端（上限）です。数式の構文上、下端と上端のどちらを先に書いても構いませんが、\int_a^b の順番が慣例的です。

上下限の位置

ブロック数式では、積分の上下限が積分記号の右肩と右下に配置されます（ディスプレイスタイル）。これはLaTeXの標準的な動作で、教科書でも一般的なレイアウトです。

$$ \int_0^\infty e^{-x} \, dx = 1 $$

$$
\int_0^\infty e^{-x} \, dx = 1
$$

$\infty$ は \infty で出力します。$0$ から $\infty$ までの積分は確率分布の正規化条件や、ラプラス変換などで頻出します。

\limits で上下限を真上・真下に配置

積分記号の真上と真下に上下限を配置したい場合は、\limits コマンドを使います。

$$ \int\limits_a^b f(x) \, dx $$

$$
\int\limits_a^b f(x) \, dx
$$

ただし、積分記号に \limits を使うのは慣習的にはあまり一般的ではありません。総和 $\sum$ や総乗 $\prod$ では \limits が標準ですが、積分では右肩・右下に配置するのが主流です。

定積分の評価記号

定積分を計算した結果を書くときは、評価記号（大括弧と上下端）を使います。

$$ \int_0^1 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_0^1 = 1 – 0 = 1 $$

$$
\int_0^1 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_0^1 = 1 - 0 = 1
$$

\left[ と \right] で括弧のサイズを自動調整し、_0^1 で評価区間を示しています。この表記は積分の導出過程を丁寧に書くときに欠かせません。

定積分の基本を押さえました。次に、2変数以上の関数を積分する重積分の書き方に進みましょう。

重積分

二重積分

2変数関数 $f(x, y)$ を領域 $D$ 上で積分する二重積分は、積分記号を2つ並べて書きます。立体の体積を求める場面や、2次元の確率密度関数を扱う場面で使います。

$$ \iint_D f(x, y) \, dA $$

$$
\iint_D f(x, y) \, dA
$$

\iint で二重積分記号 $\iint$ を出力します。$dA$ は面積要素で、直交座標では $dA = dx \, dy$ です。

累次積分の形で書くことも多いです。

$$ \iint_D f(x, y) \, dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y) \, dy \, dx $$

$$
\iint_D f(x, y) \, dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y) \, dy \, dx
$$

三重積分

3変数関数を立体領域 $V$ 上で積分する三重積分は \iiint を使います。

$$ \iiint_V f(x, y, z) \, dV $$

$$
\iiint_V f(x, y, z) \, dV
$$

$dV$ は体積要素で、直交座標では $dV = dx \, dy \, dz$ です。質量分布から全質量を求めるときなどに使います。

$n$ 重積分

一般に $n$ 重積分を書くには、\int を \cdots とともに並べます。

$$ \idotsint_D f(x_1, \dots, x_n) \, dx_1 \cdots dx_n $$

$$
\idotsint_D f(x_1, \dots, x_n) \, dx_1 \cdots dx_n
$$

\idotsint はamsmath パッケージが提供するコマンドで、積分記号の間にドットが入ります。KaTeXでも利用可能です。

重積分の書き方を理解しました。次は、曲線や曲面に沿って積分する線積分・面積分の書き方を見ていきましょう。

線積分・面積分

線積分

曲線 $C$ に沿った線積分は、積分記号の下に曲線名を書きます。電磁気学で電場の仕事を計算するときや、複素解析で留数定理を使うときに登場します。

$$ \int_C \bm{F} \cdot d\bm{r} $$

$$
\int_C \bm{F} \cdot d\bm{r}
$$

$\bm{F}$ はベクトル場、$d\bm{r}$ は曲線に沿った微小変位ベクトルです。

スカラー場の線積分は次のように書きます。

$$ \int_C f(x, y) \, ds $$

$ds$ は弧長要素で、曲線の微小長さを表します。

面積分

曲面 $S$ 上の面積分は、二重積分記号に曲面名を付けて書きます。

$$ \iint_S \bm{F} \cdot d\bm{S} $$

$$
\iint_S \bm{F} \cdot d\bm{S}
$$

$d\bm{S}$ は面積要素ベクトル（法線方向を向いた微小面積ベクトル）です。ガウスの法則やストークスの定理で使います。

スカラー場の面積分は次のように書きます。

$$ \iint_S f(x, y, z) \, dS $$

$dS$ はスカラーの面積要素です。

体積積分

三重積分を体積 $V$ の領域で行う体積積分も同様に書きます。

$$ \iiint_V \rho(\bm{r}) \, dV $$

密度 $\rho$ を体積 $V$ にわたって積分すると全質量が得られます。

線積分と面積分の書き方がわかりました。次に、閉曲線や閉曲面に沿った周回積分の記号を紹介します。

周回積分

閉曲線上の線積分

閉じた曲線に沿って一周する積分（周回積分）には、積分記号に丸（$\oint$）を付けます。

$$ \oint_C \bm{F} \cdot d\bm{r} $$

$$
\oint_C \bm{F} \cdot d\bm{r}
$$

\oint で周回積分記号 $\oint$ を出力します。この記号は電磁気学のアンペールの法則やファラデーの法則で使われます。

$$ \oint_C \bm{B} \cdot d\bm{l} = \mu_0 I_{\text{enc}} $$

これはアンペールの法則で、閉曲線 $C$ に沿った磁場 $\bm{B}$ の線積分が、囲まれた電流 $I_{\text{enc}}$ に比例することを表しています。

閉曲面上の面積分

閉じた曲面に沿った面積分も書く必要がある場合があります。LaTeX標準では \oiint コマンドがありませんが、以下の方法で対応できます。

方法1：\oint\!\!\oint を使う（二重周回積分の近似）

$$ \oint\!\!\oint_S \bm{E} \cdot d\bm{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0} $$

$$
\oint\!\!\oint_S \bm{E} \cdot d\bm{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}
$$

\!\! は負のスペースで、2つの $\oint$ を近づけています。

方法2：通常の二重積分で代用

$$ \oiint_S \bm{E} \cdot d\bm{S} $$

KaTeXの一部のバージョンでは \oiint がサポートされている場合もあります。サポートされていない場合は方法1を使いましょう。

周回積分の記号を紹介しました。次に、積分の表記をきれいに整えるためのTipsを見ていきましょう。

積分表記のスタイリング

$dx$ の前にスペースを入れる

被積分関数と微分要素の間にスペースを入れると、数式が読みやすくなります。

$$ \int f(x) \, dx \quad \text{vs} \quad \int f(x)dx $$

左側のように \,（thin space）を入れるのが推奨されます。

% 推奨
\int f(x) \, dx

% 非推奨（スペースなし）
\int f(x)dx

被積分関数が複雑な場合

被積分関数が分数を含む場合、\displaystyle を使うと見やすくなります。

$$ \int_0^1 \frac{x^2}{1 + x^2} \, dx $$

$$
\int_0^1 \frac{x^2}{1 + x^2} \, dx
$$

ブロック数式（$$...$$）では自動的に \displaystyle が適用されるため、通常は意識する必要はありません。

置換積分の表記

置換積分を書くときは、変数の置換関係を添えて書きます。

$$ \int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du \quad (u = g(x)) $$

$$
\int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du \quad (u = g(x))
$$

\quad で適切なスペースを入れてから、括弧で置換の定義を添えるスタイルです。

部分積分の表記

部分積分の公式も頻出するので書き方を押さえておきましょう。

$$ \int u \, dv = uv – \int v \, du $$

$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$

積分のスタイリングを学んだところで、KaTeXとの互換性について確認しておきましょう。

LaTeX vs KaTeX の注意点

積分記号に関して、KaTeXで注意すべき点をまとめます。

基本的な積分記号はすべてKaTeXで使用可能です。\oiint などの特殊な記号がサポートされていない場合は、先述の \oint\!\!\oint で代用できます。

よくある間違いとTips

間違い1：上下限の波括弧を忘れる

上端・下端が複数文字の場合、波括弧で囲まないと最初の1文字だけが上付き・下付きになります。

% NG: 0とnだけが上下限になり、-1が外に出る
\int_0^n-1 f(x) \, dx

% OK: 波括弧で囲む
\int_0^{n-1} f(x) \, dx

間違い2：$dx$ を斜体にしてしまう

数式モードでは $d$ はイタリック体（斜体）になりますが、これは通常の変数と同じ見た目になります。物理学のスタイルでは \mathrm{d} で立体にすることがあります。

% 一般的（イタリック体の d）
\int f(x) \, dx

% 物理学スタイル（立体の d）
\int f(x) \, \mathrm{d}x

どちらが正しいということはなく、分野の慣習に従ってください。

Tips：積分と総和の対比

連続量の積分 $\int$ と離散量の総和 $\sum$ は本質的に同じ操作（足し合わせ）の連続版と離散版です。LaTeXでも書き方が似ています。

$$ \text{連続: } \int_a^b f(x) \, dx \qquad \text{離散: } \sum_{k=a}^b f(k) $$

この対応関係を意識しておくと、新しい積分表記に出会ったときにも直感的に理解できるでしょう。

まとめ

本記事では、LaTeXで積分記号を書くための方法を網羅的に解説しました。

• 基本: \int で積分記号を書き、_a^b で上下限を指定する
• 不定積分: \int f(x) \, dx で積分定数 $C$ を忘れずに
• 重積分: \iint, \iiint, \idotsint で二重・三重・$n$ 重積分
• 線積分・面積分: 曲線 $C$ や曲面 $S$ を下付き文字で指定
• 周回積分: \oint で閉曲線上の積分
• スタイリング: \, で $dx$ の前にスペースを入れる

積分記号は数学・物理・工学で最も頻繁に使われる記号の一つです。本記事の表記法を身につけて、美しい数式を書きましょう。

次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。

• 総和と総乗をLaTeXで書く — 積分と対になる離散的な操作
• 偏微分・全微分をLaTeXで書く — 積分の逆操作
• 極限limをLaTeXで書く — 積分の定義に使う極限