ベクトル解析はスカラー場やベクトル場の変化を記述するための数学的道具であり、電磁気学、流体力学、熱伝導、重力場の解析など、物理学と工学の広範な分野で使われています。その中心にあるのが勾配（gradient）、発散（divergence）、回転（rotation / curl）の3つの微分演算子です。
これらを統一的に表現するのがナブラ記号 $\nabla$ です。LaTeXでは \nabla コマンドでこの記号を書きますが、勾配・発散・回転それぞれの書き方には独自の慣習があります。
本記事の内容
- ナブラ記号
\nablaの基本 - 勾配（gradient）の書き方
- 発散（divergence）の書き方
- 回転（rotation / curl）の書き方
- ラプラシアンの書き方
- マクスウェル方程式の書き方
前提知識
この記事を読む前に、以下の記事を読んでおくと理解が深まります。
- 偏微分・全微分をLaTeXで書く — ナブラの成分表示で偏微分を使用
- ベクトルの太字・矢印記号をLaTeXで書く — ベクトル場の表記
ナブラ記号 \nabla の基本
ナブラとは
ナブラ（nabla）$\nabla$ は、微分演算を統一的に表現するためのベクトル演算子です。見た目は逆三角形で、ギリシャ語のハープ（竪琴）に由来する名前です。
3次元の直交座標系では、ナブラは次のように定義されます。
$$ \nabla = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} $$
このナブラを使って、スカラー場やベクトル場に対するさまざまな微分演算を表現できます。
LaTeXでの書き方
$$ \nabla $$
$$
\nabla
$$
\nabla でナブラ記号 $\nabla$ を出力します。非常にシンプルです。
ナブラの太字
ナブラをベクトル演算子として明示的に太字にする流儀もあります。
$$ \bm{\nabla} $$
$$
\bm{\nabla}
$$
ただし、多くの教科書ではナブラ自体にベクトルの意味が含まれているため、太字にしないのが一般的です。
ナブラの基本を押さえました。次に、ナブラを使った3つの基本的な微分演算を順に見ていきましょう。
勾配（gradient）
勾配とは
スカラー場 $f(x, y, z)$ の勾配は、「関数が最も急激に増加する方向と、その増加率の大きさ」を表すベクトルです。山の地形で例えれば、勾配は「最も急な上り坂の方向と傾き」に相当します。
書き方
$$ \nabla f = \text{grad}\, f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix} $$
$$
\nabla f = \text{grad}\, f = \begin{pmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x} \\
\frac{\partial f}{\partial y} \\
\frac{\partial f}{\partial z}
\end{pmatrix}
$$
勾配は $\nabla f$ または $\text{grad}\, f$ と書きます。\nabla f のほうが圧倒的に多く使われます。
具体例
スカラー場 $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$ の勾配は次のようになります。
$$ \nabla f = \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 2z \end{pmatrix} = 2\bm{r} $$
原点からの距離の2乗の勾配が、位置ベクトル $\bm{r}$ の2倍になるという結果は直感的にも納得できます。原点から離れるほど $f$ の値は増えるので、勾配は放射方向を向くはずです。
機械学習での応用：勾配降下法
$$ \bm{w}_{t+1} = \bm{w}_t – \eta \nabla \mathcal{L}(\bm{w}_t) $$
$$
\bm{w}_{t+1} = \bm{w}_t - \eta \nabla \mathcal{L}(\bm{w}_t)
$$
損失関数 $\mathcal{L}$ の勾配 $\nabla \mathcal{L}$ の逆方向にパラメータを更新するのが勾配降下法です。$\eta$ は学習率です。
勾配の書き方がわかりました。次に、ベクトル場の「湧き出し」を表す発散を見ていきましょう。
発散（divergence）
発散とは
ベクトル場 $\bm{F}(x, y, z)$ の発散は、「その点からベクトルがどれだけ湧き出しているか」を表すスカラー量です。水の流れで例えれば、発散が正の点は「水源」（水が湧き出している）、負の点は「排水口」（水が吸い込まれている）に相当します。
書き方
$$ \nabla \cdot \bm{F} = \text{div}\, \bm{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} $$
$$
\nabla \cdot \bm{F} = \text{div}\, \bm{F}
= \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}
$$
発散は $\nabla \cdot \bm{F}$（ナブラとベクトル場のドット積）または $\text{div}\, \bm{F}$ と書きます。\cdot でドット（内積の記号）を入れるのがポイントです。
ガウスの法則
電磁気学のガウスの法則は発散を使って表現されます。
$$ \nabla \cdot \bm{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} $$
$$
\nabla \cdot \bm{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
$$
電場 $\bm{E}$ の発散が電荷密度 $\rho$ に比例するという法則です。
ガウスの発散定理
発散定理は、体積積分と面積分を結びつける重要な定理です。
$$ \iiint_V (\nabla \cdot \bm{F}) \, dV = \oiint_S \bm{F} \cdot d\bm{S} $$
$$
\iiint_V (\nabla \cdot \bm{F}) \, dV = \oiint_S \bm{F} \cdot d\bm{S}
$$
発散の書き方を理解しました。次に、ベクトル場の「渦」を表す回転に進みましょう。
回転（rotation / curl）
回転とは
ベクトル場 $\bm{F}$ の回転は、「その点の周りでベクトル場がどれだけ渦を巻いているか」を表すベクトルです。台風の目の周りの風速場を想像すると、回転の概念がイメージしやすいでしょう。
書き方
$$ \nabla \times \bm{F} = \text{rot}\, \bm{F} = \text{curl}\, \bm{F} $$
$$
\nabla \times \bm{F} = \text{rot}\, \bm{F} = \text{curl}\, \bm{F}
$$
回転は $\nabla \times \bm{F}$（ナブラとベクトル場のクロス積）と書きます。日本では $\text{rot}$（rotation の略）、英語圏では $\text{curl}$ が使われることが多いです。
成分表示
$$ \nabla \times \bm{F} = \begin{vmatrix} \bm{e}_x & \bm{e}_y & \bm{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} $$
$$
\nabla \times \bm{F} = \begin{vmatrix}
\bm{e}_x & \bm{e}_y & \bm{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
F_x & F_y & F_z
\end{vmatrix}
$$
行列式の形で書くと、回転の各成分の計算方法が明確になります。
ファラデーの法則
電磁気学のファラデーの電磁誘導の法則は回転を使って表現されます。
$$ \nabla \times \bm{E} = -\frac{\partial \bm{B}}{\partial t} $$
$$
\nabla \times \bm{E} = -\frac{\partial \bm{B}}{\partial t}
$$
ストークスの定理
$$ \iint_S (\nabla \times \bm{F}) \cdot d\bm{S} = \oint_C \bm{F} \cdot d\bm{r} $$
$$
\iint_S (\nabla \times \bm{F}) \cdot d\bm{S} = \oint_C \bm{F} \cdot d\bm{r}
$$
回転の書き方を理解しました。次に、2階の微分演算子であるラプラシアンを見ていきましょう。
ラプラシアン
ラプラシアンとは
ラプラシアンは、勾配の発散として定義される2階の微分演算子です。スカラー場 $f$ の各点における「周囲との差」を測る量で、熱伝導方程式や波動方程式の中心に位置します。温度分布で言えば、ラプラシアンが正の点は周囲より温度が低い（熱が流れ込む）点です。
書き方
$$ \nabla^2 f = \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} $$
$$
\nabla^2 f = \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}
+ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}
$$
ラプラシアンは $\nabla^2$（ナブラの2乗）または $\Delta$（大文字デルタ）で表記します。物理学では $\nabla^2$、数学では $\Delta$ が使われる傾向があります。
熱伝導方程式
$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u $$
$$
\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u
$$
温度 $u$ の時間変化がラプラシアンに比例するという方程式です。
波動方程式
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u $$
ポアソン方程式
$$ \nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} $$
電位 $\phi$ に関するポアソン方程式です。$\rho = 0$ の場合はラプラス方程式 $\nabla^2 \phi = 0$ になります。
ラプラシアンの書き方を理解しました。次に、これらの演算子を使った重要なベクトル恒等式を見ていきましょう。
ベクトル恒等式
ベクトル解析にはいくつかの重要な恒等式があります。これらをLaTeXで正確に書けるようにしておきましょう。
回転の発散は0
$$ \nabla \cdot (\nabla \times \bm{F}) = 0 $$
$$
\nabla \cdot (\nabla \times \bm{F}) = 0
$$
任意のベクトル場の回転の発散は常に0になります。
勾配の回転は0
$$ \nabla \times (\nabla f) = \bm{0} $$
$$
\nabla \times (\nabla f) = \bm{0}
$$
任意のスカラー場の勾配の回転は常にゼロベクトルになります。
ベクトルラプラシアン
$$ \nabla^2 \bm{F} = \nabla(\nabla \cdot \bm{F}) – \nabla \times (\nabla \times \bm{F}) $$
$$
\nabla^2 \bm{F} = \nabla(\nabla \cdot \bm{F}) - \nabla \times (\nabla \times \bm{F})
$$
この恒等式は電磁波の波動方程式の導出で使われます。
ベクトル恒等式の書き方を確認しました。次に、これらを組み合わせたマクスウェル方程式を書いてみましょう。
マクスウェル方程式
電磁気学の基本法則であるマクスウェル方程式は、ナブラ記号を使った最も有名な例の一つです。
$$ \begin{align} \nabla \cdot \bm{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon_0} & &\text{（ガウスの法則）} \\ \nabla \cdot \bm{B} &= 0 & &\text{（磁気に関するガウスの法則）} \\ \nabla \times \bm{E} &= -\frac{\partial \bm{B}}{\partial t} & &\text{（ファラデーの法則）} \\ \nabla \times \bm{B} &= \mu_0 \bm{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \bm{E}}{\partial t} & &\text{（アンペール・マクスウェルの法則）} \end{align} $$
$$
\begin{align}
\nabla \cdot \bm{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon_0}
& &\text{（ガウスの法則）} \\
\nabla \cdot \bm{B} &= 0
& &\text{（磁気に関するガウスの法則）} \\
\nabla \times \bm{E} &= -\frac{\partial \bm{B}}{\partial t}
& &\text{（ファラデーの法則）} \\
\nabla \times \bm{B} &= \mu_0 \bm{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \bm{E}}{\partial t}
& &\text{（アンペール・マクスウェルの法則）}
\end{align}
$$
4つの方程式を align 環境で等号揃えにし、右端に名称を添えています。
LaTeX vs KaTeX の注意点
| コマンド | KaTeX対応 | 備考 |
|---|---|---|
\nabla |
対応 | — |
\cdot |
対応 | 発散の内積 |
\times |
対応 | 回転の外積 |
\partial |
対応 | 偏微分 |
\Delta |
対応 | ラプラシアン |
すべてのコマンドがKaTeXで問題なく使用できます。
よくある間違いとTips
間違い1：発散と内積の区別
$\nabla \cdot \bm{F}$（発散）と $\bm{a} \cdot \bm{b}$（内積）は同じ \cdot を使いますが、意味が異なります。$\nabla$ は演算子であり、通常のベクトルではありません。
間違い2：回転の表記のブレ
日本の教科書では rot、英語圏では curl が使われます。同じ文書内では表記を統一しましょう。
% 日本式
$\text{rot}\, \bm{F}$
% 英語式
$\text{curl}\, \bm{F}$
% ナブラ記法（最も一般的）
$\nabla \times \bm{F}$
Tips：ナブラ演算子の覚え方
- $\nabla f$：スカラー場にナブラを「かける」→ ベクトル（勾配）
- $\nabla \cdot \bm{F}$：ベクトル場とナブラの「内積」→ スカラー（発散）
- $\nabla \times \bm{F}$：ベクトル場とナブラの「外積」→ ベクトル（回転）
まとめ
本記事では、LaTeXで勾配・発散・回転およびラプラシアンを書く方法を解説しました。
- ナブラ記号:
\nablaで逆三角形の演算子を出力 - 勾配:
\nabla fでスカラー場の勾配 - 発散:
\nabla \cdot \bm{F}でベクトル場の発散 - 回転:
\nabla \times \bm{F}でベクトル場の回転 - ラプラシアン:
\nabla^2 fまたは\Delta f
これらの演算子は電磁気学、流体力学、熱伝導、量子力学で不可欠です。
次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。
- 偏微分・全微分をLaTeXで書く — ナブラの成分表示
- ベクトルの太字・矢印記号をLaTeXで書く — ベクトル場の表記
- 積分記号をLaTeXで書く — 発散定理・ストークスの定理