【LaTeX】対数log・指数expをLaTeXで書く

対数と指数は数学・物理・工学・情報科学で最も頻繁に登場する関数です。機械学習の損失関数（交差エントロピー）、信号処理のデシベル表記、情報理論のエントロピー、化学の反応速度、人口増加モデルなど、対数と指数が関わらない分野を探すほうが難しいほどです。

LaTeXでは \log や \exp といった専用コマンドが用意されていますが、底の指定方法や括弧の使い方にはいくつかのバリエーションがあります。

本記事の内容

• \log, \ln, \lg の使い分け
• 対数の底を指定する書き方
• \exp の書き方
• べき乗の表記
• 実際の数式での使用例

前提知識

この記事を読む前に、以下の記事を読んでおくと理解が深まります。

• 分数をLaTeXで書く — 対数の中で使う分数
• 括弧のサイズ調整 — 引数の括弧

対数の書き方

なぜ \log コマンドを使うのか

LaTeXの数式モードで log とそのまま書くと、$l$、$o$、$g$ がそれぞれ別の変数（イタリック体）として表示されてしまいます。

$$ log(x) \quad \text{vs} \quad \log(x) $$

左がコマンドなしの log（$log$：変数の積のように見える）、右が \log コマンド（$\log$：正しいローマン体）です。関数名はローマン体で書くのが数学の慣習であり、\log コマンドを使うことでこれが自動的に適用されます。

\log：一般的な対数

$$ \log x, \quad \log(x + 1), \quad \log_2 8 = 3 $$

$$
\log x, \quad \log(x + 1), \quad \log_2 8 = 3
$$

\log はデフォルトでは底を指定しません。分野によって底の意味が異なります。

混乱を避けるために、底を明示するか、\ln（自然対数）や \log_2（二進対数）を使うのが望ましいです。

\ln：自然対数

$$ \ln x, \quad \ln e = 1, \quad \ln(xy) = \ln x + \ln y $$

$$
\ln x, \quad \ln e = 1, \quad \ln(xy) = \ln x + \ln y
$$

\ln は自然対数（底が $e$）の専用コマンドです。物理学や工学では \ln を使うのが一般的です。

\log に底を指定する

底は下付き文字で指定します。

$$ \log_2 x, \quad \log_{10} x, \quad \log_a b $$

$$
\log_2 x, \quad \log_{10} x, \quad \log_a b
$$

底が2文字以上の場合は波括弧で囲みます。\log_{10} のように書きます。

対数の底の変換公式

底の変換公式は対数を扱うときの基本です。

$$ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} = \frac{\ln b}{\ln a} $$

$$
\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} = \frac{\ln b}{\ln a}
$$

対数の性質

対数の基本的な性質を数式で書いてみましょう。

$$ \begin{align} \log(xy) &= \log x + \log y \\ \log\left(\frac{x}{y}\right) &= \log x – \log y \\ \log(x^n) &= n \log x \end{align} $$

$$
\begin{align}
\log(xy) &= \log x + \log y \\
\log\left(\frac{x}{y}\right) &= \log x - \log y \\
\log(x^n) &= n \log x
\end{align}
$$

分数を含む対数では \left( \right) で括弧のサイズを調整すると見やすくなります。

対数の書き方を一通り紹介しました。次に、対数と表裏一体の関係にある指数関数の書き方に進みましょう。

指数の書き方

\exp：指数関数

指数関数は \exp コマンドで書きます。

$$ \exp(x), \quad \exp(-x^2) $$

$$
\exp(x), \quad \exp(-x^2)
$$

\exp は関数名を正しいローマン体で出力します。

$e^x$ 表記との使い分け

指数関数は $e^x$ とも書きます。どちらを使うかは式の複雑さによります。

$$ e^x \quad \text{（引数が簡単なとき）} $$

$$ \exp\left(-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}\right) \quad \text{（引数が複雑なとき）} $$

引数が長い・複雑な場合は \exp(...) のほうが読みやすくなります。$e$ の上付き文字に長い式を載せると、指数部分が小さくなって見づらいからです。

% 引数が複雑な場合は \exp を使う
$$
\exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)
$$

% 上付き文字で書くと見づらい
$$
e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
$$

べき乗の表記

一般的なべき乗は上付き文字 ^ で書きます。

$$ x^2, \quad x^{n+1}, \quad 2^{10} = 1024 $$

$$
x^2, \quad x^{n+1}, \quad 2^{10} = 1024
$$

上付き文字が複数文字の場合は波括弧で囲みます。x^{n+1} と書かないと、$x^n + 1$ と解釈されてしまいます。

指数の塔

指数の上にさらに指数が乗る場合（指数の塔、tetration）は次のように書きます。

$$ e^{e^x}, \quad 2^{2^n}, \quad x^{y^z} $$

$$
e^{e^x}, \quad 2^{2^n}, \quad x^{y^z}
$$

指数の結合は右から左に読みます。$x^{y^z} = x^{(y^z)}$ であり、$(x^y)^z = x^{yz}$ とは異なります。

指数の書き方を理解しました。次に、対数と指数が登場する実際の数式例をいくつか見ていきましょう。

実践的な数式例

情報エントロピー

シャノンエントロピーは情報理論の中心的な概念で、対数が本質的に使われています。

$$ H(X) = -\sum_{i=1}^{n} p_i \log_2 p_i $$

$$
H(X) = -\sum_{i=1}^{n} p_i \log_2 p_i
$$

底が $2$ のときの単位は「ビット」です。$\ln$（自然対数）を使うと単位は「ナット」になります。

交差エントロピー（機械学習）

$$ \mathcal{L} = -\sum_{i=1}^{n} \left[y_i \log \hat{y}_i + (1 – y_i) \log(1 – \hat{y}_i)\right] $$

$$
\mathcal{L} = -\sum_{i=1}^{n} \left[y_i \log \hat{y}_i
+ (1 - y_i) \log(1 - \hat{y}_i)\right]
$$

二値分類の損失関数として頻出する式です。

ガウス分布の対数尤度

$$ \ell(\mu, \sigma^2) = -\frac{n}{2}\ln(2\pi) – \frac{n}{2}\ln\sigma^2 – \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i – \mu)^2 $$

$$
\ell(\mu, \sigma^2) = -\frac{n}{2}\ln(2\pi) - \frac{n}{2}\ln\sigma^2
- \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2
$$

尤度関数に対数を取ると、総乗が総和に変わり計算が楽になります。

デシベル

$$ L = 10 \log_{10}\left(\frac{P}{P_0}\right) \quad [\text{dB}] $$

$$
L = 10 \log_{10}\left(\frac{P}{P_0}\right) \quad [\text{dB}]
$$

音響工学や電気工学で使うデシベル表記です。

ソフトマックス関数

$$ \text{softmax}(z_i) = \frac{\exp(z_i)}{\sum_{j=1}^{K} \exp(z_j)} $$

$$
\text{softmax}(z_i) = \frac{\exp(z_i)}{\sum_{j=1}^{K} \exp(z_j)}
$$

多クラス分類で出力を確率に変換するために使われる関数です。

マクスウェル・ボルツマン分布

$$ f(v) = 4\pi n \left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2} v^2 \exp\left(-\frac{mv^2}{2k_B T}\right) $$

$$
f(v) = 4\pi n \left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2}
v^2 \exp\left(-\frac{mv^2}{2k_B T}\right)
$$

統計力学の基本的な速度分布関数で、\exp と分数の組み合わせが典型的です。

実践的な例を見てきました。次に、関連する数学関数のコマンドをまとめます。

関連する数学関数コマンド

LaTeXでは \log や \exp 以外にも多くの関数名コマンドが用意されています。

これらの関数名コマンドはすべてローマン体で出力されます。sin ではなく \sin と書くことが大切です。

LaTeX vs KaTeX の注意点

KaTeXでは対数・指数関連のコマンドがすべてサポートされています。

よくある間違いとTips

間違い1：\log なしで log と書く

% NG: イタリック体（変数の積に見える）
$log x$

% OK: ローマン体
$\log x$

間違い2：自然対数の底 $e$ を斜体で書く

自然対数の底 $e$ は数学定数なので、立体（ローマン体）で書くのが厳密には正しいとされています。

% 一般的（イタリック体）
$e^x$

% 厳密（ローマン体）
$\mathrm{e}^x$

ただし、実際にはイタリック体で書くことが多く、どちらでも広く受け入れられています。

間違い3：exp のスペーシング

\exp の後に括弧なしで変数を書くと、スペーシングが不自然になることがあります。

% やや見づらい
$\exp x$

% 見やすい（括弧をつける）
$\exp(x)$

関数の引数が1文字の場合でも、括弧を付けるほうが慣例的です。

Tips：対数の中の絶対値

対数の引数が負になりうる場合は、絶対値を付けることがあります。

$$ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C $$

$$
\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C
$$

まとめ

本記事では、LaTeXで対数と指数を書く方法を解説しました。

• 対数: \log（一般）、\ln（自然対数）、\log_2（二進対数）
• 指数: \exp(...) または e^{...} — 引数の複雑さで使い分ける
• 底の指定: 下付き文字 \log_a で底を明示
• べき乗: 上付き文字 ^ で指数を書く
• 関数名: 必ず \log, \exp 等のコマンドを使い、ローマン体にする

対数と指数は理工系の数式で最も基本的な関数です。

次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。

• 確率記号をLaTeXで書く — 対数尤度、エントロピー
• 総和と総乗をLaTeXで書く — 対数と総和の変換
• 極限limをLaTeXで書く — 対数の極限