確率変数の線形変換をすると平均や分散はどうなる？確率密度関数など解説

確率変数$X$を線形変換するとは次のような操作を指します。

\begin{equation}
Y = aX + b
\end{equation}

例えば、恣意的な設定ですが、くじ引きを引いた時、出た目の数$x$に対して賞金が$y = 100 x + 2000$円もらえるようなくじがあるとします。この時、出る目の数$x$が正規分布に従うとき、賞金はどのような分布に従うでしょうか。また、その分布の平均や分散はどのようになるでしょうか。

といった設定の問題を解くときに確率変数の線形変換をマスターする必要性があります。

では、早速内容に入っていきましょう。

確率変数の線形変換

ある線形変換をする対象の、確率変数$X$の確率密度関数を$f (x)$ とします。

ここで、次のような線形変換をするとします。

\begin{equation}
Y = aX + b
\end{equation}

このとき、線形変換した確率変数$Y$の確率密度関数 $g(y)$は、次のようになります。

\begin{equation}
g(y) = \frac{1}{|a|} f(\frac{y-b}{a})
\end{equation}

(3)の結論は覚えて置けると良いですね。では平均と分散はどのようになるか見ていきましょう。

線形変換した確率変数の期待値

(2)式によって、線形変換された確率変数$Y$ の期待値 $E[Y]$は次のようになります。

簡単なので、証明と一緒に、結論を提示します。

\begin{equation}
E[Y] = E[aX + b ] = aE[X] + b
\end{equation}

(4)は期待値の線形性の性質を利用しました。期待値の線形性については、こちらの記事をご覧ください。

確率変数の期待値の性質を理解する。期待値の和や期待値の線型性の解説

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線形変換した確率変数の分散

続いて、同様の線形変換をした確率変数$Y$の分散を考えてみましょう。

\begin{equation}
\begin{split}
V[Y] &= E[(Y- E[Y])^2] \\
&= E[(aX + b)^2 - 2(aX + b)(aE[X]+b) + (aE[X] + b)^2 ]  \\
&= E[a^2X^2 +2abX + b^2 - 2a^2XE[X] - 2abX - 2abE[X] -2b^2 + a^2E[X]^2 + 2abE[X] + b^2] \\
&= E[a^2X^2 - 2a^2XE[X] + a^2E[X]^2] \\
&= a^2E[X^2 - 2XE[X] + E[X]^2] \\
&= a^2(E[(X-E[X])^2]) \\
&= a^2E[X]
\end{split}
\end{equation}

(5) では、期待値の定義と分散の定義を利用しました。分散の定義は、次の記事をご覧ください。

確率変数の分散についてわかりやすく解説。定義や意味など

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(5)の結論から、確率変数を$aX+b$で線形変換すると、分散の値が$a^2$倍になることがわかりました。