球座標系での勾配・発散・回転・ラプラシアン
中心力場（万有引力、クーロン力など）を扱う問題は球対称性を持つため、球座標系で記...
数学
パーセバルの等式（エネルギー保存定理）の導出とPythonでの検証
フーリエ級数は関数を三角関数の和で表す強力なツールですが、「元の関数のエネルギー...
窓関数（ハニング・ハミング・ブラックマン）の定義と効果
FFTで有限長の信号を周波数解析するとき、信号を有限区間で切り取る操作は矩形窓を...
偏微分の定義と計算（接平面・高階偏微分・シュワルツの定理）
1変数関数の微分は「関数の変化率」を求める操作でした。では、$f(x, y)$ ...
サンプリング定理（ナイキスト・シャノン）の証明とエイリアシングの可視化
アナログ信号をデジタルに変換するとき、「どのくらいの頻度でサンプリングすれば元の...
全微分と連鎖律（多変数関数の微分法）
偏微分は1つの変数だけを変化させたときの変化率でした。しかし、実際の問題では複数...
エイリアシングの原理と対策 — 折り返しの数学的メカニズムとPythonでの可視化
連続信号をデジタル化するとき、サンプリング周波数が不十分だとエイリアシング（al...
重積分（二重積分・三重積分）の定義と計算方法
1変数関数の定積分 $\int_a^b f(x)\,dx$ は「面積」を求める操...
ヤコビアンと変数変換（重積分の座標変換公式）
1変数の定積分では、置換積分 $\int f(g(t))g'(t)\,dt$ に...
双曲線関数 sinh, cosh, tanh の定義・性質・応用をわかりやすく解説
三角関数が単位円 $x^2 + y^2 = 1$ を媒介変数表示するのと同様に、...