電場（electric field）とは、空間の各点に定義されるベクトル量であり、そこに電荷を置いたときに働く力を記述する「場」の概念です。
電磁気学を学ぶうえで、電場は最も基本的かつ重要な物理量の一つです。ニュートン力学では「力」を物体間の直接的な相互作用として扱いますが、電磁気学では「場」という空間に広がる量を介して力を伝えるという描像を採用します。この場の概念を理解することが、マクスウェル方程式をはじめとする電磁気学の体系を学ぶ第一歩になります。
本記事の内容
- 電場の定義と直感的な理解
- クーロンの法則からの電場の導出
- 電気力線の概念と性質
- ガウスの法則（積分形・微分形）の定義と導出
- 対称性を利用した具体的な応用問題
- Pythonによる電場ベクトル場の可視化
前提知識
この記事を読む前に、以下の記事を読んでおくと理解が深まります。
電場とは
電場とは、「ある場所に電荷を置いたとき、その電荷に働く単位電荷あたりの力」として定義されるベクトル場です。
イメージとしては、電荷が周囲の空間を「変質」させ、そこに別の電荷が入ると力を受ける、というものです。電荷 $Q$ が空間に存在すると、その周囲に電場 $\bm{E}$ が生じます。この電場のなかに試験電荷 $q$ を置くと、$q$ は力 $\bm{F} = q\bm{E}$ を受けます。
重要なのは、電場は試験電荷 $q$ が存在しなくても空間に存在しているという点です。これが「場」の概念の本質です。
電場の数学的定義
正の微小な試験電荷 $q$ を空間のある点に置いたとき、その電荷に働く力を $\bm{F}$ とすると、電場 $\bm{E}$ は次のように定義されます。
$$ \begin{equation} \bm{E} = \frac{\bm{F}}{q} \end{equation} $$
ここで、$\bm{E}$ は電場ベクトル $[\mathrm{N/C}]$ または $[\mathrm{V/m}]$、$\bm{F}$ は試験電荷に働く力 $[\mathrm{N}]$、$q$ は試験電荷の電荷量 $[\mathrm{C}]$ です。
試験電荷は「十分に小さい」正電荷であることが重要です。試験電荷自身が周囲の電荷分布を乱さないように、極限的に小さな電荷を考えます。厳密には、
$$ \begin{equation} \bm{E} = \lim_{q \to 0} \frac{\bm{F}}{q} \end{equation} $$
と定義します。
点電荷による電場
原点に点電荷 $Q$ が存在する場合を考えましょう。クーロンの法則より、位置 $\bm{r}$ に置かれた試験電荷 $q$ に働く力は、
$$ \begin{equation} \bm{F} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Qq}{r^2}\hat{\bm{r}} \end{equation} $$
です。ここで、$r = |\bm{r}|$ は原点からの距離、$\hat{\bm{r}} = \bm{r}/r$ は原点から試験電荷に向かう単位ベクトル、$\epsilon_0$ は真空の誘電率です。
電場の定義式 (1) に代入すると、
$$ \begin{align} \bm{E} &= \frac{\bm{F}}{q} \\ &= \frac{1}{q}\cdot\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Qq}{r^2}\hat{\bm{r}} \\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\hat{\bm{r}} \end{align} $$
つまり、点電荷 $Q$ が作る電場は次のようになります。
$$ \begin{equation} \bm{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\hat{\bm{r}} \end{equation} $$
この式から、電場は源電荷 $Q$ にのみ依存し、試験電荷 $q$ には依存しないことがわかります。また、電場の大きさは距離 $r$ の2乗に反比例して減衰します。$Q > 0$ のとき電場は外向き、$Q < 0$ のとき電場は内向きです。
電場の重ね合わせの原理
複数の点電荷 $Q_1, Q_2, \dots, Q_N$ が存在するとき、空間のある点 $\bm{r}$ における電場は、各点電荷が単独で作る電場のベクトル和で与えられます。
$$ \begin{equation} \bm{E}(\bm{r}) = \sum_{i=1}^{N}\bm{E}_i(\bm{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{i=1}^{N}\frac{Q_i}{|\bm{r} – \bm{r}_i|^2}\hat{\bm{r}}_i \end{equation} $$
ここで、$\bm{r}_i$ は $i$ 番目の電荷の位置、$\hat{\bm{r}}_i = (\bm{r} – \bm{r}_i)/|\bm{r} – \bm{r}_i|$ は $i$ 番目の電荷から観測点 $\bm{r}$ に向かう単位ベクトルです。
この重ね合わせの原理は、クーロンの法則が線形であることから直接導かれます。複雑な電荷分布による電場も、原理的には各微小電荷の寄与を足し合わせることで求められます。
連続的な電荷分布の場合は、和を積分に置き換えます。電荷密度 $\rho(\bm{r}’)$ を用いると、
$$ \begin{equation} \bm{E}(\bm{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\bm{r}’)}{|\bm{r} – \bm{r}’|^2}\hat{\bm{r}}’\,dV’ \end{equation} $$
となります。
電気力線の概念と性質
電気力線（lines of electric force）とは、電場を可視化するために導入される仮想的な曲線です。各点での接線方向が、その点の電場ベクトルの方向と一致するように引かれます。
電気力線の性質をまとめると、次のようになります。
- 電気力線の接線方向が電場の方向を表す: 各点において、電気力線に引いた接線が $\bm{E}$ の向きと一致します。
- 電気力線の密度が電場の大きさを表す: 電気力線が密集している領域ほど電場が強く、疎な領域ほど電場が弱いです。
- 正電荷から出て負電荷に入る: 電気力線は正電荷を始点とし、負電荷を終点とします。
- 途中で分岐・交差しない: もし交差すると、その点で電場の方向が2つ定義されてしまうため、物理的に矛盾します。
- 電気力線は互いに反発する: 同方向の電気力線は互いに離れようとします。
点電荷 $Q$ からは $Q/\epsilon_0$ 本の電気力線が出ます（入ります）。この本数と電場の大きさの関係は、ガウスの法則の直感的な理解につながります。
ガウスの法則（積分形）
ガウスの法則は、電場と電荷の根本的な関係を記述する法則であり、マクスウェル方程式の1つです。
ガウスの法則の定義
任意の閉曲面 $S$ を貫く電場の総フラックスは、その閉曲面内に含まれる全電荷 $Q_\mathrm{enc}$ に比例します。
$$ \begin{equation} \oint_S \bm{E}\cdot d\bm{A} = \frac{Q_\mathrm{enc}}{\epsilon_0} \end{equation} $$
ここで、$\oint_S \bm{E}\cdot d\bm{A}$ は閉曲面 $S$ を通過する電束（電場のフラックス）、$d\bm{A}$ は面要素ベクトル（外向き法線方向）、$Q_\mathrm{enc}$ は閉曲面 $S$ の内部に含まれる全電荷です。
電束とは、直感的には「閉曲面を貫く電気力線の正味の本数」に対応します。正電荷が内部にあれば電気力線は外向きに出るため正のフラックス、負電荷があれば内向きに入るため負のフラックスとなります。
ガウスの法則の証明（点電荷の場合）
原点に点電荷 $Q$ を置き、原点を囲む任意の閉曲面 $S$ を考えます。
ステップ1: 半径 $R$ の球面の場合
まず、原点を中心とする半径 $R$ の球面について考えます。球面上では電場は常に外向き法線方向を向き、大きさは一定です。
$$ \begin{align} \oint_S \bm{E}\cdot d\bm{A} &= \oint_S \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R^2}\hat{\bm{r}}\cdot\hat{\bm{r}}\,dA \\ &= \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R^2}\oint_S dA \\ &= \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R^2}\cdot 4\pi R^2 \\ &= \frac{Q}{\epsilon_0} \end{align} $$
球面の全面積が $4\pi R^2$ であることを使いました。$R$ がキャンセルされ、結果は球面の半径に依存しません。
ステップ2: 任意の閉曲面の場合（立体角による証明）
任意の閉曲面 $S$ の微小面要素 $d\bm{A}$ について考えます。点電荷 $Q$ の位置から面要素を見込む立体角 $d\Omega$ は、
$$ \begin{equation} d\Omega = \frac{\hat{\bm{r}}\cdot d\bm{A}}{r^2} \end{equation} $$
で定義されます。ここで $r$ は電荷から面要素までの距離、$\hat{\bm{r}}$ は電荷から面要素に向かう単位ベクトルです。
点電荷による電場 $\bm{E} = Q\hat{\bm{r}}/(4\pi\epsilon_0 r^2)$ を用いると、
$$ \begin{align} \bm{E}\cdot d\bm{A} &= \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\hat{\bm{r}}\cdot d\bm{A} \\ &= \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{\hat{\bm{r}}\cdot d\bm{A}}{r^2} \\ &= \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}d\Omega \end{align} $$
閉曲面全体で積分すると、電荷が閉曲面の内部にある場合、全立体角は $4\pi$ ですから、
$$ \begin{align} \oint_S \bm{E}\cdot d\bm{A} &= \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\oint_S d\Omega \\ &= \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\cdot 4\pi \\ &= \frac{Q}{\epsilon_0} \end{align} $$
一方、電荷が閉曲面の外部にある場合、閉曲面を貫いて入る電気力線と出る電気力線が相殺し、全立体角が $0$ になるため、
$$ \oint_S \bm{E}\cdot d\bm{A} = 0 $$
となります。重ね合わせの原理から、複数の電荷がある場合も、閉曲面内の全電荷に対してガウスの法則が成立します。
ガウスの法則（微分形）
ガウスの法則の積分形から、発散定理（ガウスの発散定理）を用いて微分形を導出します。
発散定理
発散定理とは、ベクトル場 $\bm{F}$ の閉曲面 $S$ を通るフラックスが、$S$ で囲まれた体積 $V$ における発散の体積積分に等しいという定理です。
$$ \begin{equation} \oint_S \bm{F}\cdot d\bm{A} = \int_V (\nabla\cdot\bm{F})\,dV \end{equation} $$
微分形の導出
ガウスの法則の積分形 (9) の左辺に発散定理を適用し、右辺の電荷を電荷密度 $\rho$ で書き直します。
$$ \begin{align} \oint_S \bm{E}\cdot d\bm{A} &= \frac{Q_\mathrm{enc}}{\epsilon_0} \\ \int_V (\nabla\cdot\bm{E})\,dV &= \frac{1}{\epsilon_0}\int_V \rho\,dV \end{align} $$
この関係は任意の体積 $V$ について成り立つので、被積分関数が等しくなければなりません。
$$ \begin{equation} \nabla\cdot\bm{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \end{equation} $$
これがガウスの法則の微分形です。電場の発散は、その点の電荷密度に比例するという意味です。
直感的には、$\nabla\cdot\bm{E} > 0$ の点は電気力線の「湧き出し」（正電荷の存在）を表し、$\nabla\cdot\bm{E} < 0$ の点は電気力線の「吸い込み」（負電荷の存在）を表します。電荷のない空間では $\nabla\cdot\bm{E} = 0$ であり、電気力線は湧き出しも吸い込みもなく、連続的に流れます。
応用例1: 球対称な電荷分布
ガウスの法則は、対称性の高い電荷分布に対して電場を容易に求められるという強力な実用性を持ちます。
一様に帯電した球殻
半径 $a$ の球殻に全電荷 $Q$ が一様に分布している場合を考えます。
球殻の外側 ($r > a$)
半径 $r > a$ の球面をガウス面として選びます。球対称性から $\bm{E}$ はガウス面上で大きさ一定かつ法線方向を向くので、
$$ \begin{align} \oint_S \bm{E}\cdot d\bm{A} &= E\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0} \\ \therefore\quad E &= \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2} \end{align} $$
これは点電荷 $Q$ による電場と同じ形です。
球殻の内側 ($r < a$)
半径 $r < a$ の球面をガウス面として選ぶと、内部に電荷が含まれないため、
$$ \begin{align} E\cdot 4\pi r^2 &= \frac{0}{\epsilon_0} \\ \therefore\quad E &= 0 \end{align} $$
球殻の内部では電場がゼロになります。これは静電遮蔽の基礎的な結果です。
一様に帯電した球
半径 $a$ の球に電荷密度 $\rho$ で一様に帯電している場合、全電荷は $Q = \frac{4}{3}\pi a^3\rho$ です。
球の外側 ($r > a$)
球殻の場合と同様に、
$$ E = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2} = \frac{\rho a^3}{3\epsilon_0 r^2} $$
球の内部 ($r < a$)
半径 $r$ の球面をガウス面とすると、内部に含まれる電荷は $Q_\mathrm{enc} = \frac{4}{3}\pi r^3\rho$ なので、
$$ \begin{align} E\cdot 4\pi r^2 &= \frac{1}{\epsilon_0}\cdot\frac{4}{3}\pi r^3\rho \\ \therefore\quad E &= \frac{\rho r}{3\epsilon_0} \end{align} $$
内部では電場が中心からの距離 $r$ に比例して線形に増加します。
応用例2: 無限長の線電荷
無限に長い直線に沿って、線電荷密度 $\lambda$ $[\mathrm{C/m}]$ で一様に電荷が分布している場合を考えます。
対称性から、電場は直線からの距離 $r$ のみに依存し、半径方向を向きます。ガウス面として、直線を軸とする半径 $r$、長さ $L$ の円筒面を選びます。
円筒の上面・下面では $\bm{E}\perp d\bm{A}$ なのでフラックスの寄与はゼロです。側面では $\bm{E}\parallel d\bm{A}$ であり、
$$ \begin{align} \oint_S \bm{E}\cdot d\bm{A} &= E\cdot 2\pi r L = \frac{\lambda L}{\epsilon_0} \\ \therefore\quad E &= \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r} \end{align} $$
線電荷による電場は距離 $r$ に反比例します（点電荷の $r^{-2}$ とは異なることに注意）。
応用例3: 無限平面の面電荷
面電荷密度 $\sigma$ $[\mathrm{C/m^2}]$ で一様に帯電した無限平面を考えます。
対称性から、電場は平面に垂直な方向を向き、平面からの距離のみに依存します。ガウス面として、平面を挟む形で底面積 $A$ の円筒（ピルボックス）を選びます。
円筒の側面では $\bm{E}\perp d\bm{A}$ なのでフラックスはゼロです。上面と下面では $\bm{E}\parallel d\bm{A}$ であり、
$$ \begin{align} \oint_S \bm{E}\cdot d\bm{A} &= EA + EA = 2EA = \frac{\sigma A}{\epsilon_0} \\ \therefore\quad E &= \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \end{align} $$
無限平面による電場は、距離に依存せず一定です。これは平行板コンデンサの理論の基礎になります。
Pythonによる電場の可視化
点電荷および複数電荷が作る電場ベクトル場をPythonで可視化してみましょう。
点電荷の電場
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 格子点の生成
x = np.linspace(-3, 3, 20)
y = np.linspace(-3, 3, 20)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
# 点電荷の位置と電荷量
q = 1.0
xq, yq = 0.0, 0.0
# 電場の計算
dx = X - xq
dy = Y - yq
r = np.sqrt(dx**2 + dy**2)
r = np.where(r < 0.3, np.nan, r) # 原点近傍を除外
Ex = q * dx / r**3
Ey = q * dy / r**3
# 電場の大きさで色を付ける
E_mag = np.sqrt(Ex**2 + Ey**2)
# 可視化
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
ax.quiver(X, Y, Ex / E_mag, Ey / E_mag, E_mag,
cmap='inferno', scale=25, width=0.004)
ax.plot(xq, yq, 'ro', markersize=12, label=f'Q = +{q}')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_title('Electric Field of a Point Charge')
ax.set_aspect('equal')
ax.legend(fontsize=12)
ax.set_xlim(-3, 3)
ax.set_ylim(-3, 3)
plt.tight_layout()
plt.show()
このコードでは、正の点電荷を原点に置き、周囲の電場ベクトルを矢印で表示しています。矢印の方向が電場の方向、色が電場の大きさを表します。
双極子（正負の電荷対）の電場
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 格子点の生成
x = np.linspace(-4, 4, 25)
y = np.linspace(-4, 4, 25)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
# 2つの電荷の位置と電荷量
charges = [
(+1.0, -1.0, 0.0), # (電荷量, x座標, y座標)
(-1.0, +1.0, 0.0),
]
# 電場の計算（重ね合わせの原理）
Ex_total = np.zeros_like(X)
Ey_total = np.zeros_like(Y)
for q, xq, yq in charges:
dx = X - xq
dy = Y - yq
r = np.sqrt(dx**2 + dy**2)
r = np.where(r < 0.4, np.nan, r) # 電荷近傍を除外
Ex_total += q * dx / r**3
Ey_total += q * dy / r**3
# 電場の大きさ
E_mag = np.sqrt(Ex_total**2 + Ey_total**2)
# 可視化
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 8))
ax.quiver(X, Y, Ex_total / E_mag, Ey_total / E_mag, np.log10(E_mag + 1e-10),
cmap='coolwarm', scale=30, width=0.004)
# 電荷の描画
for q, xq, yq in charges:
color = 'red' if q > 0 else 'blue'
label = f'Q = {"+" if q > 0 else ""}{q}'
ax.plot(xq, yq, 'o', color=color, markersize=14, label=label)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_title('Electric Field of a Dipole')
ax.set_aspect('equal')
ax.legend(fontsize=12)
ax.set_xlim(-4, 4)
ax.set_ylim(-4, 4)
plt.tight_layout()
plt.show()
双極子の電場では、正電荷から負電荷に向かう電気力線のパターンが可視化されます。
電気力線の描画（streamplot）
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 高解像度の格子点
x = np.linspace(-4, 4, 200)
y = np.linspace(-4, 4, 200)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
# 電荷の設定（正電荷2つ）
charges = [
(+1.0, -1.5, 0.0),
(+1.0, +1.5, 0.0),
]
# 電場の計算
Ex_total = np.zeros_like(X)
Ey_total = np.zeros_like(Y)
for q, xq, yq in charges:
dx = X - xq
dy = Y - yq
r = np.sqrt(dx**2 + dy**2)
r = np.where(r < 0.1, np.nan, r)
Ex_total += q * dx / r**3
Ey_total += q * dy / r**3
# 電場の大きさ（対数スケール）
E_mag = np.sqrt(Ex_total**2 + Ey_total**2)
log_E = np.log10(E_mag + 1e-10)
# streamplotで電気力線を描画
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 8))
strm = ax.streamplot(X, Y, Ex_total, Ey_total,
color=log_E, cmap='inferno',
density=2.0, linewidth=1.2,
arrowsize=1.5)
# 電荷の描画
for q, xq, yq in charges:
color = 'red' if q > 0 else 'blue'
ax.plot(xq, yq, 'o', color=color, markersize=14,
markeredgecolor='white', markeredgewidth=2)
fig.colorbar(strm.lines, ax=ax, label='log10(|E|)')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_title('Electric Field Lines (Two Positive Charges)')
ax.set_aspect('equal')
ax.set_xlim(-4, 4)
ax.set_ylim(-4, 4)
plt.tight_layout()
plt.show()
streamplot を使うことで、電気力線を滑らかな曲線として描画できます。同符号の電荷間では電気力線が互いに反発するように曲がる様子がわかります。
まとめ
本記事では、電場の定義とガウスの法則について解説しました。
- 電場の定義: 単位電荷あたりに働く力 $\bm{E} = \bm{F}/q$ として定義されるベクトル場であり、点電荷 $Q$ による電場は $\bm{E} = Q\hat{\bm{r}}/(4\pi\epsilon_0 r^2)$ です。
- 重ね合わせの原理: 複数電荷による電場は、個々の電荷が作る電場のベクトル和です。
- 電気力線: 電場を可視化する仮想曲線で、正電荷から出て負電荷に入ります。
- ガウスの法則（積分形）: 閉曲面を貫く電束は内部電荷に比例する $\oint\bm{E}\cdot d\bm{A} = Q_\mathrm{enc}/\epsilon_0$。
- ガウスの法則（微分形）: 発散定理を用いて $\nabla\cdot\bm{E} = \rho/\epsilon_0$ と書けます。
- 応用: 球対称・円筒対称・平面対称の問題で、ガウスの法則を使えば電場を簡潔に求められます。
ガウスの法則はマクスウェル方程式の第1式に対応しており、電磁気学の根幹をなす法則です。次のステップとして、電位（ポテンシャル）の概念を学ぶことで、電場の計算がさらに見通しよくなります。