ダイポールアンテナは、最も基本的なアンテナ形式であり、アンテナ理論の出発点です。特に微小ダイポール（ヘルツダイポール）はあらゆるアンテナの放射理論を理解するための基本モデルであり、半波長ダイポールは実用上最も重要な基準アンテナです。
本記事では、遅延ポテンシャルから出発してヘルツダイポールの放射界を厳密に導出し、そこから放射パターン、放射抵抗、指向性を求めます。さらに半波長ダイポールへ拡張し、放射抵抗 $73.1 \; \Omega$ と指向性 $D = 1.64$ を導きます。
本記事の内容
- 微小電流素（ヘルツダイポール）のモデル
- 遅延ポテンシャルから放射界の導出
- 遠方界近似と放射パターン $\sin^2\theta$ の導出
- 放射抵抗 $R_r = 80\pi^2(dl/\lambda)^2$ の導出
- 半波長ダイポールの電流分布
- 半波長ダイポールの放射パターンの導出
- 放射抵抗 $73.1 \; \Omega$ の数値計算
- 指向性 $D = 1.64$ の導出
- Pythonによる放射パターンの比較と可視化
前提知識
この記事を読む前に、以下の記事を読んでおくと理解が深まります。
微小電流素（ヘルツダイポール）
モデルの定義
原点に、z軸方向に長さ $dl$（波長 $\lambda$ に対して $dl \ll \lambda$）の微小な電流素を置きます。この電流素には一様な電流 $I(t) = I_0 e^{j\omega t}$ が流れているとします。ここで $\omega = 2\pi f$ は角周波数、$I_0$ は電流の複素振幅です。
このモデルをヘルツダイポール（Hertzian dipole）と呼びます。任意の電流分布を持つアンテナは、ヘルツダイポールの重ね合わせ（積分）として表現できるため、これがアンテナ理論の基本要素となります。
電流モーメント
ヘルツダイポールの特性は電流モーメント $I_0 dl$ によって完全に記述されます。単位はアンペア・メートル（A・m）です。
遅延ポテンシャルからの放射界の導出
磁気ベクトルポテンシャル
z方向の微小電流素が作る磁気ベクトルポテンシャルは、遅延ポテンシャルの公式から次のように得られます。
$$ \bm{A} = \hat{z} \frac{\mu_0 I_0 dl}{4\pi r} e^{-jkr} $$
ここで $k = 2\pi / \lambda = \omega / c$ は波数、$r$ は原点から観測点までの距離です。$e^{-jkr}$ は位相の遅れ（遅延効果）を表しています。
球面座標への変換
球面座標 $(r, \theta, \phi)$ では、$\hat{z}$ は次のように分解されます。
$$ \hat{z} = \hat{r}\cos\theta – \hat{\theta}\sin\theta $$
したがって、ベクトルポテンシャルの成分は次のようになります。
$$ A_r = \frac{\mu_0 I_0 dl}{4\pi r} e^{-jkr} \cos\theta $$
$$ A_\theta = -\frac{\mu_0 I_0 dl}{4\pi r} e^{-jkr} \sin\theta $$
$$ A_\phi = 0 $$
磁界の計算
磁界は $\bm{H} = \frac{1}{\mu_0}\nabla \times \bm{A}$ から求まります。軸対称性（$\phi$ に依存しない、$A_\phi = 0$）から、$H_r = 0$、$H_\theta = 0$ であり、$H_\phi$ のみが非ゼロです。
$$ H_\phi = \frac{1}{\mu_0} \left[\frac{1}{r}\frac{\partial(r A_\theta)}{\partial r} – \frac{1}{r}\frac{\partial A_r}{\partial \theta}\right] $$
$r A_\theta$ の $r$ 微分を計算します。
$$ r A_\theta = -\frac{\mu_0 I_0 dl}{4\pi} e^{-jkr} \sin\theta $$
$$ \frac{\partial(r A_\theta)}{\partial r} = -\frac{\mu_0 I_0 dl}{4\pi}(-jk) e^{-jkr} \sin\theta = \frac{jk\mu_0 I_0 dl}{4\pi} e^{-jkr} \sin\theta $$
$A_r$ の $\theta$ 微分を計算します。
$$ \frac{\partial A_r}{\partial \theta} = -\frac{\mu_0 I_0 dl}{4\pi r} e^{-jkr} \sin\theta $$
代入すると、
$$ \begin{align} H_\phi &= \frac{1}{\mu_0}\left[\frac{1}{r}\cdot\frac{jk\mu_0 I_0 dl}{4\pi} e^{-jkr} \sin\theta + \frac{1}{r}\cdot\frac{\mu_0 I_0 dl}{4\pi r} e^{-jkr} \sin\theta\right] \\ &= \frac{I_0 dl}{4\pi} \sin\theta \cdot e^{-jkr}\left[\frac{jk}{r} + \frac{1}{r^2}\right] \end{align} $$
電界の計算
電界はマクスウェル方程式 $\nabla \times \bm{H} = j\omega\varepsilon_0 \bm{E}$ から求まります。$H_\phi$ のみが非ゼロなので、
$$ E_r = \frac{1}{j\omega\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta \cdot H_\phi)}{\partial \theta} $$
$$ E_\theta = -\frac{1}{j\omega\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{r}\frac{\partial(r H_\phi)}{\partial r} $$
計算を実行すると（途中過程は長いため結果のみ示します）、完全な電磁界は次のようになります。
$$ H_\phi = \frac{I_0 dl \sin\theta}{4\pi} e^{-jkr} \left[\frac{jk}{r} + \frac{1}{r^2}\right] $$
$$ E_r = \frac{I_0 dl \cos\theta}{4\pi} e^{-jkr} \cdot \frac{1}{j\omega\varepsilon_0}\left[\frac{2}{r^3} + \frac{2jk}{r^2}\right] $$
$$ E_\theta = \frac{I_0 dl \sin\theta}{4\pi} e^{-jkr} \cdot \frac{1}{j\omega\varepsilon_0}\left[\frac{1}{r^3} + \frac{jk}{r^2} – \frac{k^2}{r}\right] $$
$\eta_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}$、$k = \omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$ を用いて整理すると、
$$ E_r = \frac{\eta_0 I_0 dl \cos\theta}{2\pi} e^{-jkr}\left[\frac{1}{r^2} + \frac{1}{jkr^3}\right] $$
$$ E_\theta = \frac{j\eta_0 k I_0 dl \sin\theta}{4\pi} e^{-jkr}\left[\frac{1}{r} + \frac{1}{jkr^2} – \frac{1}{k^2 r^3}\right] $$
遠方界近似
遠方界の条件
遠方界（far field）は $kr \gg 1$、すなわち $r \gg \lambda/(2\pi)$ の領域です。この条件下では、$1/r^2$ や $1/r^3$ の項は $1/r$ に比べて無視できます。
遠方界における電磁界
遠方界近似を適用すると、$E_r \to 0$ となり、横波成分のみが残ります。
$$ \boxed{E_\theta \approx \frac{j\eta_0 k I_0 dl}{4\pi} \cdot \frac{\sin\theta}{r} \cdot e^{-jkr}} $$
$$ \boxed{H_\phi \approx \frac{jk I_0 dl}{4\pi} \cdot \frac{\sin\theta}{r} \cdot e^{-jkr}} $$
これらの関係から、遠方界では以下の重要な性質が確認できます。
- $E_\theta / H_\phi = \eta_0$（平面波のインピーダンス関係）
- $E_r \approx 0$（横波）
- 振幅は $1/r$ に比例して減衰
- $\theta$ 依存性は $\sin\theta$ — これが放射パターン
放射パターン
電力パターン（ポインティングベクトルに比例）は $\sin^2\theta$ に比例します。
$$ F^2(\theta) = \sin^2\theta $$
- $\theta = 90°$（赤道方向）で最大
- $\theta = 0°, 180°$（軸方向）でゼロ（ヌル）
- 軸対称（$\phi$ に依存しない）
これは「ドーナツ型」の放射パターンです。
放射抵抗の導出
放射電力の計算
ポインティングベクトルの時間平均の動径成分は次の通りです。
$$ S_r = \frac{1}{2}\text{Re}[E_\theta H_\phi^*] = \frac{\eta_0 k^2 |I_0|^2 (dl)^2}{32\pi^2} \cdot \frac{\sin^2\theta}{r^2} $$
全放射電力は $S_r$ を全球面にわたって積分します。
$$ \begin{align} P_{\text{rad}} &= \oint S_r \, dA = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} S_r \cdot r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi \\ &= \frac{\eta_0 k^2 |I_0|^2 (dl)^2}{32\pi^2} \cdot 2\pi \int_0^{\pi}\sin^3\theta \, d\theta \end{align} $$
前の記事で導出した通り、$\int_0^{\pi}\sin^3\theta \, d\theta = 4/3$ なので、
$$ \begin{align} P_{\text{rad}} &= \frac{\eta_0 k^2 |I_0|^2 (dl)^2}{32\pi^2} \cdot 2\pi \cdot \frac{4}{3} \\ &= \frac{\eta_0 k^2 |I_0|^2 (dl)^2}{12\pi} \end{align} $$
放射抵抗の定義
放射抵抗 $R_r$ は、全放射電力を電流の二乗平均で表したときの等価抵抗です。
$$ P_{\text{rad}} = \frac{1}{2}|I_0|^2 R_r $$
したがって、
$$ R_r = \frac{2P_{\text{rad}}}{|I_0|^2} = \frac{\eta_0 k^2 (dl)^2}{6\pi} $$
$k = 2\pi/\lambda$、$\eta_0 \approx 120\pi \; \Omega$ を代入します。
$$ \begin{align} R_r &= \frac{120\pi \cdot (2\pi/\lambda)^2 \cdot (dl)^2}{6\pi} \\ &= \frac{120\pi \cdot 4\pi^2 \cdot (dl)^2}{6\pi \cdot \lambda^2} \\ &= \frac{480\pi^2 (dl)^2}{6\lambda^2} \\ &= 80\pi^2\left(\frac{dl}{\lambda}\right)^2 \end{align} $$
$$ \boxed{R_r = 80\pi^2\left(\frac{dl}{\lambda}\right)^2 \quad [\Omega]} $$
例えば $dl = \lambda/10$ の場合、$R_r = 80\pi^2 \times 0.01 \approx 7.9 \; \Omega$ となり、非常に小さな値です。これが微小ダイポールの放射効率が低い理由です。
半波長ダイポールの電流分布
モデル
半波長ダイポールは、全長 $L = \lambda/2$ の直線導体です。導体は z 軸に沿って $-\lambda/4 \leq z’ \leq \lambda/4$ に配置されます。
電流分布は正弦波状であり、両端でゼロ、中心で最大となります。
$$ I(z’) = I_0 \cos(kz’) = I_0 \cos\left(\frac{2\pi z’}{\lambda}\right), \quad |z’| \leq \frac{\lambda}{4} $$
$z’ = 0$（給電点）で $I = I_0$、$z’ = \pm\lambda/4$（先端）で $I = I_0\cos(\pi/2) = 0$ です。
半波長ダイポールの放射パターンの導出
遠方界の積分
半波長ダイポールの遠方界は、各微小電流素からの寄与を重ね合わせることで得られます。遠方界近似において、位相項は $e^{-jk(r – z’\cos\theta)}$ と書けます（$r$ は固定参照点からの距離、$z’\cos\theta$ は経路差）。
$$ E_\theta = \frac{j\eta_0 k}{4\pi r} e^{-jkr} \sin\theta \int_{-\lambda/4}^{\lambda/4} I(z’) e^{jkz’\cos\theta} dz’ $$
電流分布 $I(z’) = I_0\cos(kz’)$ を代入します。
$$ E_\theta = \frac{j\eta_0 k I_0}{4\pi r} e^{-jkr} \sin\theta \int_{-\lambda/4}^{\lambda/4} \cos(kz’) e^{jkz’\cos\theta} dz’ $$
積分の計算
被積分関数を整理します。オイラーの公式を用いて $\cos(kz’) = \frac{1}{2}(e^{jkz’} + e^{-jkz’})$ と書くと、
$$ \int_{-\lambda/4}^{\lambda/4} \cos(kz’) e^{jkz’\cos\theta} dz’ = \frac{1}{2}\int_{-\lambda/4}^{\lambda/4}\left[e^{jkz'(1+\cos\theta)} + e^{jkz'(-1+\cos\theta)}\right]dz’ $$
各項を計算します。$a = k(1+\cos\theta)$、$b = k(-1+\cos\theta)$ とおくと、
$$ \int_{-\lambda/4}^{\lambda/4} e^{jaz’} dz’ = \frac{2\sin(a\lambda/4)}{a} = \frac{2\sin\!\left(\frac{\pi}{2}(1+\cos\theta)\right)}{k(1+\cos\theta)} $$
$$ \int_{-\lambda/4}^{\lambda/4} e^{jbz’} dz’ = \frac{2\sin(b\lambda/4)}{b} = \frac{2\sin\!\left(\frac{\pi}{2}(-1+\cos\theta)\right)}{k(-1+\cos\theta)} $$
ここで $k\lambda/4 = (2\pi/\lambda)(\lambda/4) = \pi/2$ を使いました。
三角関数の公式 $\sin\!\left(\frac{\pi}{2}(1+\cos\theta)\right) = \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)$ および $\sin\!\left(\frac{\pi}{2}(\cos\theta – 1)\right) = -\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)$ を用いると、
$$ \frac{1}{2}\left[\frac{2\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{k(1+\cos\theta)} + \frac{-2\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{k(\cos\theta – 1)}\right] $$
$$ = \frac{\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{k}\left[\frac{1}{1+\cos\theta} + \frac{1}{1 – \cos\theta}\right] $$
括弧内を通分します。
$$ \frac{1}{1+\cos\theta} + \frac{1}{1-\cos\theta} = \frac{(1-\cos\theta) + (1+\cos\theta)}{1 – \cos^2\theta} = \frac{2}{\sin^2\theta} $$
したがって、積分結果は、
$$ \int_{-\lambda/4}^{\lambda/4} \cos(kz’) e^{jkz’\cos\theta} dz’ = \frac{2\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{k\sin^2\theta} $$
遠方界の完成形
$E_\theta$ の式に代入します。
$$ \begin{align} E_\theta &= \frac{j\eta_0 k I_0}{4\pi r} e^{-jkr} \sin\theta \cdot \frac{2\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{k\sin^2\theta} \\ &= \frac{j\eta_0 I_0}{2\pi r} e^{-jkr} \cdot \frac{\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin\theta} \end{align} $$
$$ \boxed{E_\theta = \frac{j\eta_0 I_0}{2\pi r} e^{-jkr} \cdot \frac{\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin\theta}} $$
正規化放射パターン
正規化電界パターンは次の通りです。
$$ F(\theta) = \frac{\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin\theta} $$
$\theta = 90°$ のとき $F = \cos(0)/\sin(90°) = 1$ で最大、$\theta = 0°, 180°$ のとき $F = 0$（ヌル）です。
放射抵抗 73.1 Ω の導出
放射電力の計算
半波長ダイポールの全放射電力は次の通りです。
$$ P_{\text{rad}} = \frac{\eta_0 |I_0|^2}{4\pi^2} \cdot 2\pi \int_0^{\pi} \frac{\cos^2\!\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin^2\theta} \cdot \frac{\sin\theta}{2\eta_0} \cdot \eta_0 \, \sin\theta \, d\theta $$
正しく書き直すと、ポインティングベクトルから計算します。
$$ S_r = \frac{|E_\theta|^2}{2\eta_0} = \frac{\eta_0 |I_0|^2}{8\pi^2 r^2} \cdot \frac{\cos^2\!\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin^2\theta} $$
$$ \begin{align} P_{\text{rad}} &= \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} S_r \cdot r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi \\ &= \frac{\eta_0 |I_0|^2}{8\pi^2} \cdot 2\pi \int_0^{\pi} \frac{\cos^2\!\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin\theta} d\theta \\ &= \frac{\eta_0 |I_0|^2}{4\pi} \int_0^{\pi} \frac{\cos^2\!\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin\theta} d\theta \end{align} $$
この積分は解析的に閉じた形では求まりませんが、数値的に計算できます。
$$ \int_0^{\pi} \frac{\cos^2\!\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin\theta} d\theta \approx 1.2188 $$
したがって、
$$ P_{\text{rad}} = \frac{\eta_0 |I_0|^2}{4\pi} \times 1.2188 $$
放射抵抗
$$ R_r = \frac{2P_{\text{rad}}}{|I_0|^2} = \frac{\eta_0 \times 1.2188}{2\pi} = \frac{120\pi \times 1.2188}{2\pi} = 60 \times 1.2188 \approx 73.1 \; \Omega $$
$$ \boxed{R_r \approx 73.1 \; \Omega} $$
この値は $50 \; \Omega$ や $75 \; \Omega$ の同軸ケーブルに比較的近いため、半波長ダイポールは整合が容易であるという大きな実用的利点があります。
指向性 D = 1.64 の導出
指向性の定義に従って計算します。
$$ D = \frac{4\pi U_{\max}}{P_{\text{rad}}} $$
最大放射強度（$\theta = 90°$）は次の通りです。
$$ U_{\max} = r^2 S_r\big|_{\theta=90°} = \frac{\eta_0 |I_0|^2}{8\pi^2} \cdot 1 = \frac{\eta_0 |I_0|^2}{8\pi^2} $$
全放射電力は先ほどの結果を使います。
$$ P_{\text{rad}} = \frac{\eta_0 |I_0|^2}{4\pi} \times 1.2188 $$
したがって、
$$ \begin{align} D &= \frac{4\pi \cdot \frac{\eta_0 |I_0|^2}{8\pi^2}}{\frac{\eta_0 |I_0|^2}{4\pi} \cdot 1.2188} \\ &= \frac{4\pi}{8\pi^2} \cdot \frac{4\pi}{1.2188} \\ &= \frac{16\pi^2}{8\pi^2 \cdot 1.2188} \\ &= \frac{2}{1.2188} \\ &\approx 1.641 \end{align} $$
$$ \boxed{D \approx 1.64 \quad (2.15 \; \text{dBi})} $$
Pythonによる数値計算と可視化
放射抵抗と指向性の数値計算
import numpy as np
from scipy import integrate
# --- 半波長ダイポールの放射抵抗の数値計算 ---
eta0 = 120 * np.pi # 自由空間インピーダンス [Ω]
def integrand_Prad(theta):
"""放射電力の被積分関数"""
if np.sin(theta) == 0:
return 0.0
return np.cos(np.pi / 2 * np.cos(theta))**2 / np.sin(theta)
# 数値積分
result, error = integrate.quad(integrand_Prad, 0, np.pi)
print(f"積分値: {result:.6f}")
# 放射抵抗
R_r = eta0 * result / (2 * np.pi)
print(f"半波長ダイポール放射抵抗: R_r = {R_r:.2f} Ω")
# 指向性
D = 2 / result
print(f"半波長ダイポール指向性: D = {D:.4f} = {10*np.log10(D):.2f} dBi")
# --- 微小ダイポールとの比較 ---
# 微小ダイポール（dl/λ = 0.1）
dl_over_lam = 0.1
R_r_hertz = 80 * np.pi**2 * dl_over_lam**2
D_hertz = 1.5
print(f"\n微小ダイポール(dl/λ={dl_over_lam}):")
print(f" 放射抵抗: R_r = {R_r_hertz:.2f} Ω")
print(f" 指向性: D = {D_hertz:.4f} = {10*np.log10(D_hertz):.2f} dBi")
微小ダイポール vs 半波長ダイポールの放射パターン比較
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 角度
theta = np.linspace(0.001, np.pi, 1000)
# 微小ダイポール: sin(theta)
F_hertz = np.sin(theta)
# 半波長ダイポール: cos(π/2 cos θ) / sin θ
F_half = np.cos(np.pi / 2 * np.cos(theta)) / np.sin(theta)
# 正規化（最大値を1に）
F_hertz_norm = F_hertz / np.max(F_hertz)
F_half_norm = F_half / np.max(F_half)
# --- 極座標プロット（全周） ---
# theta_fullは0〜2πに拡張（対称性を利用）
theta_full = np.linspace(0, 2 * np.pi, 2000)
# 対称パターンの生成
# 0〜πはそのまま、π〜2πは反転
def mirror_pattern(F_half_sphere, theta_full):
"""上半球のパターンを全周に拡張"""
n = len(theta_full)
F_full = np.zeros(n)
for i, t in enumerate(theta_full):
if t <= np.pi:
t_eff = t
else:
t_eff = 2 * np.pi - t
# 微小角度での処理
if np.sin(t_eff) < 1e-10:
F_full[i] = 0
else:
F_full[i] = 1.0 # プレースホルダー
return F_full
# 電力パターン（全周）
F_hertz_full = np.abs(np.sin(theta_full))**2
F_half_full = np.zeros_like(theta_full)
for i, t in enumerate(theta_full):
st = np.sin(t)
ct = np.cos(t)
if np.abs(st) < 1e-10:
F_half_full[i] = 0
else:
F_half_full[i] = (np.cos(np.pi / 2 * ct) / st)**2
# 正規化
F_hertz_full /= np.max(F_hertz_full)
F_half_full /= np.max(F_half_full)
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 6),
subplot_kw=dict(projection='polar'))
# リニアスケール
ax = axes[0]
ax.plot(theta_full, F_hertz_full, label='Hertzian dipole', linewidth=2)
ax.plot(theta_full, F_half_full, label='Half-wave dipole', linewidth=2,
linestyle='--')
ax.set_title('Power Pattern (Linear)', pad=20, fontsize=12)
ax.legend(loc='lower right', fontsize=9)
# dBスケール
ax = axes[1]
floor_dB = -30
def to_dB(F, floor=-30):
F_safe = np.where(F > 1e-10, F, 1e-10)
dB = 10 * np.log10(F_safe)
return np.clip(dB, floor, 0) - floor
ax.plot(theta_full, to_dB(F_hertz_full, floor_dB),
label='Hertzian dipole', linewidth=2)
ax.plot(theta_full, to_dB(F_half_full, floor_dB),
label='Half-wave dipole', linewidth=2, linestyle='--')
ax.set_title(f'Power Pattern (dB, floor={floor_dB}dB)', pad=20, fontsize=12)
ax.legend(loc='lower right', fontsize=9)
plt.tight_layout()
plt.savefig('dipole_comparison.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
電流分布の可視化
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 波長
lam = 1.0
k = 2 * np.pi / lam
# 半波長ダイポールの電流分布
z = np.linspace(-lam/4, lam/4, 500)
I_half = np.cos(k * z)
# 全波長ダイポール (L = λ) の電流分布
z_full = np.linspace(-lam/2, lam/2, 500)
I_full = np.sin(k * (lam/2 - np.abs(z_full)))
# 3/2波長ダイポール (L = 3λ/2) の電流分布
z_3half = np.linspace(-3*lam/4, 3*lam/4, 500)
I_3half = np.sin(k * (3*lam/4 - np.abs(z_3half)))
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(15, 5))
# 半波長ダイポール
ax = axes[0]
ax.plot(I_half, z / lam, 'b-', linewidth=2)
ax.axvline(0, color='gray', linestyle='--', linewidth=0.5)
ax.fill_betweenx(z / lam, 0, I_half, alpha=0.3)
ax.set_xlabel('Current $I(z)/I_0$')
ax.set_ylabel('$z / \\lambda$')
ax.set_title('Half-wave dipole ($L = \\lambda/2$)')
ax.set_xlim([-0.2, 1.2])
ax.grid(True, alpha=0.3)
# 全波長ダイポール
ax = axes[1]
ax.plot(I_full, z_full / lam, 'r-', linewidth=2)
ax.axvline(0, color='gray', linestyle='--', linewidth=0.5)
ax.fill_betweenx(z_full / lam, 0, I_full, alpha=0.3, color='red')
ax.set_xlabel('Current $I(z)/I_0$')
ax.set_ylabel('$z / \\lambda$')
ax.set_title('Full-wave dipole ($L = \\lambda$)')
ax.set_xlim([-0.2, 1.2])
ax.grid(True, alpha=0.3)
# 3/2波長ダイポール
ax = axes[2]
ax.plot(I_3half, z_3half / lam, 'g-', linewidth=2)
ax.axvline(0, color='gray', linestyle='--', linewidth=0.5)
ax.fill_betweenx(z_3half / lam, 0, I_3half, alpha=0.3, color='green')
ax.set_xlabel('Current $I(z)/I_0$')
ax.set_ylabel('$z / \\lambda$')
ax.set_title('1.5-wave dipole ($L = 3\\lambda/2$)')
ax.set_xlim([-1.2, 1.2])
ax.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.savefig('dipole_current_distributions.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
上記のプロットにより、以下のことが視覚的に確認できます。
- 半波長ダイポールの放射パターンは微小ダイポールよりもわずかに鋭い（指向性が $1.5$ から $1.64$ に増加）
- 電流分布は正弦波状であり、端点でゼロになる境界条件を満たしている
まとめ
本記事では、ダイポールアンテナの理論を遅延ポテンシャルから出発して導出しました。
- ヘルツダイポールの遠方界は $\sin\theta$ に比例する放射パターンを持ち、ドーナツ型の放射を行う
- 放射抵抗は $R_r = 80\pi^2(dl/\lambda)^2$ であり、微小ダイポールでは非常に小さい値になる
- 半波長ダイポールの放射パターンは $\cos(\frac{\pi}{2}\cos\theta)/\sin\theta$ であり、微小ダイポールよりやや鋭い
- 半波長ダイポールの放射抵抗は 73.1 $\Omega$ であり、実用的な整合が容易
- 指向性は $D = 1.64$（2.15 dBi） である
- 放射抵抗の数値積分にはPythonの
scipy.integrate.quadが有用
次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。