Learning Guide
カルマンフィルタ完全ガイド
確率と正規分布の基礎から、線形代数、ベイズ推定、状態空間モデルを経て、カルマンフィルタの理論と導出、制御理論への応用まで。7章・56記事で体系的に学ぶ。
確率と正規分布の基礎
カルマンフィルタの全ての情報は正規分布で表現される。まずは確率変数の基本量から多変量ガウス分布の条件付き・周辺分布まで、確率論の基礎を固める。
線形代数の計算手法
カルマンフィルタの更新式は行列演算の塊。固有値分解から正定値行列、コレスキー分解、シューア補行列まで、必要な線形代数のツールを揃える。
2次形式と行列
行列とベクトルの2次形式や微分の公式を解説
固有値分解
固有値分解の理論と応用を完全解説する
行列の対角化
対角化の条件・手順と固有値分解との関係
正定値行列の理論
正定値行列の判定法から最適化・統計への接続
コレスキー分解
正定値行列のコレスキー分解の理論と数値計算への応用
LU分解
ガウスの消去法からLU分解の理論と実装へ
射影行列と最小二乗法
幾何学的に理解する線形回帰と射影行列の理論
シューア補行列
ブロック行列の逆行列とカルマンゲインの導出に必要なシューア補行列
ベイズ推定の基礎
カルマンフィルタはベイズ推定の線形ガウス版。ベイズの定理からベイズ線形回帰、隠れマルコフモデルまで、逐次ベイズ更新の考え方を学ぶ。
ベイズの定理
ベイズの定理の直感的な理解から数式の導出まで
ベイズ線形回帰
ベイズ線形回帰の理論と導出をわかりやすく解説しPythonで実装
ガウス過程回帰
ガウス過程回帰を初めから分かりやすく解説
隠れマルコフモデル（HMM）
離散状態空間でのベイズフィルタリングの原型を理解する
確率過程と状態空間モデル
動的システムを確率的に記述する枠組みを学ぶ。確率過程の基礎からマルコフ連鎖、ブラウン運動、そして状態空間モデルの定式化まで。
確率過程の基礎
確率過程の定義と分類をわかりやすく解説
マルコフ連鎖
マルコフ連鎖の基礎理論と定常分布の導出
ブラウン運動（ウィーナー過程）
連続時間の確率過程とシステムノイズのモデリング
状態空間モデルの定義と構成
状態方程式・観測方程式の定式化を基礎から理解する
状態空間モデルと時系列分析
カルマンフィルタ・スムーザを用いた時系列分析への応用
カルマンフィルタの理論と導出
いよいよ本題。予測ステップと更新ステップの導出を1行ずつ追い、カルマンゲインの意味を理解する。EMアルゴリズムによるパラメータ学習まで。
制御理論への応用
カルマンフィルタは最適オブザーバでもある。状態フィードバック、極配置、LQR、そしてLQG制御へと統合する。
可制御性と可観測性
制御系設計の前提条件となる可制御・可観測の判定理論
状態フィードバック制御と極配置法
状態フィードバックによる極配置設計の理論と実装
オブザーバ（状態推定器）の設計
ルーエンベルガーオブザーバからカルマンフィルタへの橋渡し
カルマンフィルタと最適推定の制御応用
制御系におけるカルマンフィルタの位置づけと実装
LQR（線形二次レギュレータ）
LQR最適制御の理論とリカッチ方程式の導出・実装
LQG制御
LQRとカルマンフィルタを統合した最適出力フィードバック制御
発展的トピック
線形ガウスの仮定を超えた非線形フィルタリング。EKF、UKF、パーティクルフィルタ、そしてスムージングへ。
拡張カルマンフィルタ（EKF）
非線形システムへのカルマンフィルタの拡張、ヤコビアン線形化による近似
無香カルマンフィルタ（UKF）
シグマポイントによる非線形変換の近似とEKFとの比較
パーティクルフィルタ
逐次モンテカルロ法による一般的な非線形・非ガウスフィルタリング
カルマンスムーザ（RTS）
Rauch-Tung-Striebelスムーザによる過去状態の最適推定