シューア補行列を会得する

Posted: , Category: 数学 , 線形代数

シューア補行列(Schur complement matrix)とは何ぞや、と思っていた私ですが、ガウス過程回帰(Gaussian Process)やカルマンフィルタの導出には、シューア補行列を理解する必要性があるため、必要に駆られ仕方なく理解しようと努めているメモになります。

厳密さや正確さは保証できかねますが、まとめたいと思います。

シューア補行列の定義

ブロックに分けられた、次のような行列を考えます。

\begin{equation}
\begin{pmatrix}
A & B \\
C & D
\end{pmatrix}
\end{equation}

ここで、各行列のサイズは、$A \in \mathbb{R}^{m \times m}, B \in \mathbb{R}^{m \times n}, C \in \mathbb{R}^{n \times m}, D \in \mathbb{R}^{n \times n}$とします。

ここで、(1)の元の行列と、AとDは正方行列であり、BとCは正方行列ではないことに注意してください。

このような行列に対して、シューアの補行列では次のように定義されます。

シューアの補行列の定義

(1)の行列の逆行列について次の式が成り立ち、

\begin{equation}
\begin{pmatrix}
A & B \\
C & D
\end{pmatrix}^{-1}
 = 
\begin{pmatrix}
M & -MBD^{-1} \\
-D^{-1} CM & D^{-1}CMBD
\end{pmatrix}
\end{equation}

ここで、次のように定義される、行列$M$をシューアの補行列という。

\begin{equation}
M = (A - BD^{-1}C)^{-1}
\end{equation}

カルマンフィルタやガウス過程における、多変量ガウス分布の精度行列を考える際に、この結論は非常によく用いることになるので、頭の片隅に入れておかないとですね。

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