ヤング率・ポアソン比・剛性率の関係

材料の弾性特性を表す定数として、ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu$、剛性率 $G$、体積弾性率 $K$ があります。等方性弾性体ではこれら4つの量のうち独立なのは2つだけであり、残りは相互関係から導出できます。

この関係を理解することは、材料選定や有限要素法による数値シミュレーションにおいて不可欠です。

本記事の内容

• ヤング率 $E$、ポアソン比 $\nu$、剛性率 $G$、体積弾性率 $K$ の定義
• $G = E / 2(1+\nu)$ の導出
• $K = E / 3(1-2\nu)$ の導出
• 各材料の弾性定数の比較
• Pythonでの可視化

前提知識

この記事を読む前に、以下の記事を読んでおくと理解が深まります。

• 応力とひずみの定義をわかりやすく解説
• フックの法則と弾性係数

各弾性定数の定義

ヤング率 $E$

ヤング率（Young’s modulus） は、単軸引張における応力とひずみの比です。

$$ E = \frac{\sigma}{\varepsilon} $$

ヤング率が大きいほど材料は「硬い」（変形しにくい）ことを意味します。

ポアソン比 $\nu$

ポアソン比（Poisson’s ratio） は、軸方向のひずみに対する横方向ひずみの比の負値です。

$$ \nu = -\frac{\varepsilon_{\text{lateral}}}{\varepsilon_{\text{axial}}} $$

等方性材料では $-1 < \nu < 0.5$ の範囲を取ります。ほとんどの工学材料では $0.2 \leq \nu \leq 0.45$ です。

剛性率 $G$

剛性率（shear modulus） は、せん断応力とせん断ひずみの比です。

$$ G = \frac{\tau}{\gamma} $$

体積弾性率 $K$

体積弾性率（bulk modulus） は、静水圧 $p$ に対する体積ひずみ $\varepsilon_v = \Delta V / V$ の比です。

$$ K = -\frac{p}{\varepsilon_v} = \frac{p}{\Delta V / V} $$

符号のマイナスは、圧力（正）が体積減少（負の $\Delta V$）を引き起こすことに対応します。

$G = E / 2(1+\nu)$ の導出

純せん断応力状態を考えます。$xy$ 平面でせん断応力 $\tau_{xy}$ のみが作用する場合を考えましょう。

ステップ1: 主応力の計算

応力テンソルは:

$$ \bm{\sigma} = \begin{pmatrix} 0 & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} & 0 \end{pmatrix} $$

主応力は固有値として求まります:

$$ \det\begin{pmatrix} -\sigma & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} & -\sigma \end{pmatrix} = 0 $$

$$ \sigma^2 – \tau_{xy}^2 = 0 $$

$$ \sigma_1 = \tau_{xy}, \quad \sigma_2 = -\tau_{xy} $$

主軸は元の座標系から $45°$ 回転した方向です。

ステップ2: 主ひずみの計算

一般化フックの法則（2次元平面応力）を主軸方向に適用します:

$$ \varepsilon_1 = \frac{1}{E}(\sigma_1 – \nu\sigma_2) = \frac{1}{E}[\tau_{xy} – \nu(-\tau_{xy})] $$

$$ \varepsilon_1 = \frac{\tau_{xy}}{E}(1+\nu) \tag{1} $$

ステップ3: せん断ひずみとの関係

主ひずみとせん断ひずみの幾何学的関係から:

$$ \varepsilon_1 = \frac{\gamma_{xy}}{2} \tag{2} $$

また、せん断のフックの法則から:

$$ \gamma_{xy} = \frac{\tau_{xy}}{G} \tag{3} $$

式 (2) と (3) を組み合わせると:

$$ \varepsilon_1 = \frac{\tau_{xy}}{2G} \tag{4} $$

ステップ4: 等置

式 (1) と (4) を等置します:

$$ \frac{\tau_{xy}}{2G} = \frac{\tau_{xy}}{E}(1+\nu) $$

$\tau_{xy}$ で両辺を割ると:

$$ \frac{1}{2G} = \frac{1+\nu}{E} $$

$$ \boxed{G = \frac{E}{2(1+\nu)}} $$

$K = E / 3(1-2\nu)$ の導出

等方的な静水圧 $p$ を考えます。このとき $\sigma_{xx} = \sigma_{yy} = \sigma_{zz} = -p$ です。

一般化フックの法則から:

$$ \varepsilon_{xx} = \frac{1}{E}[-p – \nu(-p – p)] = \frac{-p}{E}(1 – 2\nu) $$

対称性より $\varepsilon_{xx} = \varepsilon_{yy} = \varepsilon_{zz}$ なので、体積ひずみは:

$$ \varepsilon_v = \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + \varepsilon_{zz} = 3 \cdot \frac{-p}{E}(1-2\nu) = \frac{-3p(1-2\nu)}{E} $$

体積弾性率の定義より:

$$ K = -\frac{p}{\varepsilon_v} = -\frac{p}{\frac{-3p(1-2\nu)}{E}} = \frac{E}{3(1-2\nu)} $$

$$ \boxed{K = \frac{E}{3(1-2\nu)}} $$

$\nu \to 0.5$ のとき $K \to \infty$ となり、材料は非圧縮性になります。

弾性定数の相互変換表

任意の2つの定数から他を計算できます。よく使う関係をまとめます。

各材料の弾性定数

Pythonでの実装

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# --- 弾性定数の相互関係を可視化 ---
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(16, 5))

# (1) G/E vs ν
nu = np.linspace(0.0, 0.49, 200)
G_over_E = 1 / (2 * (1 + nu))

axes[0].plot(nu, G_over_E, 'b-', linewidth=2.5)
axes[0].set_xlabel("Poisson's Ratio $\\nu$", fontsize=12)
axes[0].set_ylabel('$G/E$', fontsize=14)
axes[0].set_title('$G = E / 2(1+\\nu)$', fontsize=13)
axes[0].grid(True, alpha=0.3)

# 代表的材料をプロット
materials = {
    'Steel':    (0.30, 200),
    'Al':       (0.33, 70),
    'Cu':       (0.34, 120),
    'Ti':       (0.34, 110),
    'Rubber':   (0.49, 0.01),
}
for name, (nu_mat, E_mat) in materials.items():
    G_mat = E_mat / (2 * (1 + nu_mat))
    axes[0].plot(nu_mat, G_mat / E_mat, 'ro', markersize=8)
    axes[0].annotate(name, (nu_mat, G_mat / E_mat),
                    textcoords="offset points", xytext=(5, 5), fontsize=9)

# (2) K/E vs ν
K_over_E = 1 / (3 * (1 - 2 * nu))
axes[1].plot(nu, K_over_E, 'r-', linewidth=2.5)
axes[1].set_xlabel("Poisson's Ratio $\\nu$", fontsize=12)
axes[1].set_ylabel('$K/E$', fontsize=14)
axes[1].set_title('$K = E / 3(1-2\\nu)$', fontsize=13)
axes[1].set_ylim(0, 10)
axes[1].grid(True, alpha=0.3)
axes[1].axvline(0.5, color='gray', linestyle='--', alpha=0.7, label='Incompressible')
axes[1].legend()

# (3) 各材料の弾性定数比較
mat_names = ['Steel', 'Al', 'Cu', 'Ti', 'Concrete']
E_vals = [200, 70, 120, 110, 30]
nu_vals = [0.30, 0.33, 0.34, 0.34, 0.20]
G_vals = [E / (2*(1+n)) for E, n in zip(E_vals, nu_vals)]
K_vals = [E / (3*(1-2*n)) for E, n in zip(E_vals, nu_vals)]

x = np.arange(len(mat_names))
width = 0.25

bars1 = axes[2].bar(x - width, E_vals, width, label='E [GPa]', color='steelblue')
bars2 = axes[2].bar(x, G_vals, width, label='G [GPa]', color='coral')
bars3 = axes[2].bar(x + width, K_vals, width, label='K [GPa]', color='mediumseagreen')

axes[2].set_xticks(x)
axes[2].set_xticklabels(mat_names)
axes[2].set_ylabel('Modulus [GPa]')
axes[2].set_title('Comparison of Elastic Moduli')
axes[2].legend()
axes[2].grid(True, alpha=0.3, axis='y')

plt.tight_layout()
plt.savefig('youngs_modulus_poisson.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()

まとめ

本記事では、ヤング率・ポアソン比・剛性率・体積弾性率の定義と相互関係を解説しました。

• 等方性弾性体の独立な弾性定数は 2 個（$E$ と $\nu$ など）
• 剛性率: $G = E / 2(1+\nu)$（純せん断と主応力の対応から導出）
• 体積弾性率: $K = E / 3(1-2\nu)$（静水圧と体積ひずみから導出）
• $\nu \to 0.5$ で非圧縮性材料（$K \to \infty$）
• 材料選定では $E$, $\nu$, $G$, $K$ を総合的に評価することが重要

次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。

• 応力-ひずみ曲線の見方と材料特性
• 軸力と棒の伸び