ある電子回路を設計しているとき、回路全体を毎回一から解析するのは大変です。たとえば、スピーカーに最大の電力を供給するアンプの出力段を設計したい場合、アンプ内部の複雑な回路を全て考慮する必要があるのでしょうか？ 実は、負荷から見た「入口」の振る舞いさえ分かれば、回路内部がどんなに複雑でも、たった2つの素子（電圧源と抵抗、または電流源と抵抗）で置き換えることができます。これが テブナンの定理 と ノートンの定理 の力です。
この2つの定理は、回路理論における最も実用的なツールの一つです。具体的には、以下のような場面で威力を発揮します。
- アンプの出力段設計 — 増幅回路の出力をテブナン等価回路で表すことで、負荷への電力伝送を最適化できます
- インピーダンスマッチング — 高周波回路やオーディオ回路で、信号源と負荷の整合条件を等価回路から導けます
- 大規模回路の分割解析 — 複雑な回路を部分回路に分割し、それぞれを等価回路で置き換えて解析を簡略化できます
- 故障診断 — 回路の一部を等価回路に置き換えて、故障箇所の特定に利用できます
本記事の内容
- テブナンの定理とノートンの定理の直感的理解と数学的定義
- テブナン等価回路の求め方（開放電圧法、短絡電流法）
- テブナン↔ノートン変換の導出
- 最大電力伝送定理の数学的導出と物理的意味
- 具体例による手計算
- Pythonによる等価回路の検証と最大電力伝送の可視化
前提知識
この記事を読む前に、以下の記事を読んでおくと理解が深まります。
テブナンの定理とは
ブラックボックスの発想
テブナンの定理を理解するために、まず次のような状況を考えましょう。
壁のコンセントに家電製品を差し込む場面をイメージしてください。家電製品（負荷）から見ると、コンセントの向こう側には発電所・送電線・変圧器・家庭内配線という膨大な回路が広がっています。しかし、家電製品が「感じる」のは、コンセントの電圧（約100 V）と、電流を取り出したときに電圧がどれだけ下がるか（内部抵抗による電圧降下）だけです。
つまり、負荷から見れば、どんなに複雑な電力網も「理想電圧源 + 直列抵抗」で完全に置き換えられます。これがテブナンの定理の本質です。
テブナンの定理の数学的表現
テブナンの定理は次のように述べられます。
線形回路の任意の二端子対（端子 a-b）から見た回路は、テブナン等価電圧 $V_{th}$ と テブナン等価抵抗 $R_{th}$ の直列接続で等価的に置き換えることができる。
ここで、各パラメータの定義は以下の通りです。
- $V_{th}$（テブナン等価電圧）: 端子 a-b を 開放（何も接続しない）したときの端子間電圧。開放電圧（open-circuit voltage）とも呼ばれます
- $R_{th}$（テブナン等価抵抗）: 回路内部の 全ての独立電源をゼロにした（電圧源を短絡、電流源を開放）ときの、端子 a-b から見た等価抵抗
このとき、端子 a-b に任意の負荷 $R_L$ を接続すると、負荷に流れる電流は
$$ I_L = \frac{V_{th}}{R_{th} + R_L} $$
負荷の端子電圧は
$$ V_L = V_{th} \cdot \frac{R_L}{R_{th} + R_L} $$
で与えられます。この式はオームの法則と電圧分圧の公式そのものです。複雑な回路が $V_{th}$ と $R_{th}$ の2つの値に集約されるため、負荷の変化に対する応答を瞬時に計算できます。
テブナンの定理が「電圧源 + 直列抵抗」で等価回路を構成するのに対し、同じ回路を「電流源 + 並列抵抗」で表す方法もあります。それがノートンの定理です。
ノートンの定理とは
電流源による等価表現
テブナンの定理では回路を「電圧を押し出す源」として捉えました。一方、トランジスタの出力段のように「電流を送り出す源」として振る舞う回路もあります。このような回路には、電流源を基本とした等価表現のほうが自然です。
ノートンの定理は次のように述べられます。
線形回路の任意の二端子対（端子 a-b）から見た回路は、ノートン等価電流 $I_N$ と ノートン等価抵抗 $R_N$ の並列接続で等価的に置き換えることができる。
各パラメータの定義は以下の通りです。
- $I_N$（ノートン等価電流）: 端子 a-b を 短絡（直結）したときに流れる電流。短絡電流（short-circuit current）とも呼ばれます
- $R_N$（ノートン等価抵抗）: テブナン等価抵抗と同じ。$R_N = R_{th}$
端子 a-b に負荷 $R_L$ を接続すると、電流分流の公式から負荷に流れる電流は
$$ I_L = I_N \cdot \frac{R_N}{R_N + R_L} $$
負荷の端子電圧は
$$ V_L = I_N R_N \cdot \frac{R_L}{R_N + R_L} $$
となります。
テブナン等価回路とノートン等価回路は、同じ回路を異なる視点で見たものです。両者の間には明確な変換関係があります。次にその関係を導出しましょう。
テブナン↔ノートン変換
変換関係の導出
テブナン等価回路とノートン等価回路は、端子 a-b から見た外部回路に対して完全に同じ振る舞いをします。この等価性を数式で確認しましょう。
テブナン等価回路（$V_{th}$ と $R_{th}$ の直列接続）に負荷 $R_L$ を接続したときの負荷電流は
$$ I_L = \frac{V_{th}}{R_{th} + R_L} $$
です。一方、ノートン等価回路（$I_N$ と $R_N$ の並列接続）に同じ負荷を接続したときの負荷電流は
$$ I_L = I_N \cdot \frac{R_N}{R_N + R_L} $$
です。この2つの式が任意の $R_L$ に対して等しくなるためには
$$ \frac{V_{th}}{R_{th} + R_L} = I_N \cdot \frac{R_N}{R_N + R_L} $$
が成り立つ必要があります。$R_N = R_{th}$ であることを使うと
$$ \frac{V_{th}}{R_{th} + R_L} = \frac{I_N R_{th}}{R_{th} + R_L} $$
両辺の分母が等しいので、分子を比較して
$$ V_{th} = I_N R_{th} $$
が得られます。これを変形すると
$$ I_N = \frac{V_{th}}{R_{th}} $$
となります。この関係はオームの法則そのものです。テブナン等価回路を短絡（$R_L = 0$）すると流れる電流がノートン等価電流になる、と読むこともできます。
変換公式のまとめ
テブナン → ノートン:
$$ I_N = \frac{V_{th}}{R_{th}}, \quad R_N = R_{th} $$
ノートン → テブナン:
$$ V_{th} = I_N R_N, \quad R_{th} = R_N $$
この変換は、電圧源と直列抵抗の組み合わせ ↔ 電流源と並列抵抗の組み合わせ、という 電源変換（source transformation） の一般的な手法です。回路解析において、直列接続が多い部分ではテブナン表現、並列接続が多い部分ではノートン表現を使い分けることで、計算を大幅に簡略化できます。
ここまでで等価回路の理論的基盤を固めました。次に、実際の回路からテブナン等価回路を求める具体的な手順を見ていきましょう。
テブナン等価回路の求め方
テブナン等価回路を求めるには、$V_{th}$ と $R_{th}$ の2つのパラメータを決定する必要があります。代表的な方法を3つ紹介します。
方法1: 開放電圧法 + 電源ゼロ法
最も基本的な方法です。
ステップ1 — $V_{th}$ を求める（開放電圧法）
端子 a-b を開放（負荷を外す）した状態で、端子間の電圧を計算します。開放状態では端子に電流が流れないため、キルヒホッフの法則（KVL, KCL）を適用して回路を解析します。
ステップ2 — $R_{th}$ を求める（電源ゼロ法）
回路内部の全ての 独立電源をゼロにします。
- 理想電圧源 → 短絡（電圧ゼロ = 導線で置き換え）
- 理想電流源 → 開放（電流ゼロ = 取り外し）
その後、端子 a-b から見た合成抵抗を直列・並列の組み合わせで計算します。
注意点として、従属電源（制御電源）は残したまま にします。従属電源は回路内部の変数に依存しているため、独立にゼロにすることはできません。
方法2: 開放電圧法 + 短絡電流法
従属電源を含む回路や、抵抗の合成が複雑な場合に有効な方法です。
ステップ1 — $V_{th}$ を求める（開放電圧法）: 方法1と同じ
ステップ2 — $I_N$ を求める（短絡電流法）: 端子 a-b を短絡して、短絡電流を計算します
ステップ3 — $R_{th}$ を計算: テブナン↔ノートン変換の関係式から
$$ R_{th} = \frac{V_{th}}{I_N} $$
で求めます。
方法3: テスト電源法
従属電源を含む回路で $R_{th}$ を直接求める場合に使います。
ステップ1: 全ての独立電源をゼロにする
ステップ2: 端子 a-b に テスト電圧源 $V_{\text{test}}$ を接続する（または テスト電流源 $I_{\text{test}}$ を接続する）
ステップ3: テスト電源から回路に流れ込む電流 $I_{\text{test}}$（またはテスト電源の端子電圧 $V_{\text{test}}$）を計算する
ステップ4: テブナン等価抵抗を
$$ R_{th} = \frac{V_{\text{test}}}{I_{\text{test}}} $$
で求めます。
この方法は、従属電源の影響で端子から見た等価抵抗が単純な直列・並列の組み合わせでは計算できない場合に特に有用です。
3つの方法を紹介しましたが、まずは方法1（開放電圧法 + 電源ゼロ法）を基本として身につけ、必要に応じて方法2, 3を使い分けるのがよいでしょう。それでは、具体的な回路で手順を実践してみましょう。
具体例: テブナン等価回路の導出
例題: 2つの電圧源を含む回路
次の回路のテブナン等価回路を求めましょう。
回路構成: $V_1 = 12$ V の電圧源に $R_1 = 4 \, \Omega$ が直列に接続され、その先で $R_2 = 6 \, \Omega$ と $R_3 = 12 \, \Omega$ が並列に接続されています。端子 a-b は $R_2$ の両端です。
ステップ1: 開放電圧 $V_{th}$ を求める
端子 a-b を開放した状態では、$R_2$ に電流が流れません（開放のため）。したがって回路は $V_1 \to R_1 \to R_3$ の直列回路になります。
$R_1$ と $R_3$ を流れる電流は
$$ I = \frac{V_1}{R_1 + R_3} = \frac{12}{4 + 12} = 0.75 \text{ A} $$
$R_3$ の両端電圧が端子 a-b の電圧です（$R_2$ は開放なので電圧降下なし）。
$$ V_{th} = V_1 – I \cdot R_1 = 12 – 0.75 \times 4 = 9 \text{ V} $$
あるいは直接 $V_{th} = I \cdot R_3 = 0.75 \times 12 = 9$ V と計算しても同じ結果です。
ステップ2: テブナン等価抵抗 $R_{th}$ を求める
$V_1$ を短絡すると、$R_1$ と $R_3$ は端子 a-b から見て並列接続になります。
$$ R_{th} = R_1 \| R_3 = \frac{R_1 \cdot R_3}{R_1 + R_3} = \frac{4 \times 12}{4 + 12} = 3 \, \Omega $$
したがって、テブナン等価回路は $V_{th} = 9$ V, $R_{th} = 3 \, \Omega$ です。
検証: ノートン等価回路への変換
$$ I_N = \frac{V_{th}}{R_{th}} = \frac{9}{3} = 3 \text{ A}, \quad R_N = R_{th} = 3 \, \Omega $$
検算として、端子 a-b を短絡したときの電流を直接求めてみましょう。短絡すると $R_2 = 0$ となり、$R_3$ と短絡線（$R_2 = 0$）が並列になるので、その合成抵抗は 0 です。回路は $V_1 \to R_1$ の直列回路になり
$$ I_{sc} = \frac{V_1}{R_1} = \frac{12}{4} = 3 \text{ A} $$
確かに $I_N = 3$ A と一致します。
負荷を接続した場合の検証
$R_L = 6 \, \Omega$ を端子 a-b に接続した場合を考えます。
テブナン等価回路から:
$$ I_L = \frac{V_{th}}{R_{th} + R_L} = \frac{9}{3 + 6} = 1 \text{ A} $$
$$ V_L = I_L \cdot R_L = 1 \times 6 = 6 \text{ V} $$
元の回路で直接計算して一致を確認できます。このように、等価回路を求めてしまえば、負荷が変わるたびに複雑な回路を解き直す必要がなくなります。
テブナンの定理とノートンの定理の実用的な価値が見えてきました。次に、これらの等価回路を使って導かれる重要な結果 — 最大電力伝送定理を導出しましょう。
最大電力伝送定理
問題の設定
信号源（アンプ、アンテナ、センサなど）から負荷に電力を伝送する際、負荷の抵抗値をいくつにすれば、負荷が受け取る電力が最大になるか？ という問題は工学的に極めて重要です。
テブナンの定理のおかげで、この問題は「$V_{th}$ と $R_{th}$ の直列回路に $R_L$ を接続したとき、$R_L$ の消費電力を最大にする $R_L$ は？」という単純な最適化問題に帰着します。
導出
負荷 $R_L$ に供給される電力は
$$ P_L = I_L^2 R_L = \left(\frac{V_{th}}{R_{th} + R_L}\right)^2 R_L = \frac{V_{th}^2 R_L}{(R_{th} + R_L)^2} $$
です。$P_L$ を $R_L$ の関数として最大化するために、$R_L$ で微分してゼロとおきます。
まず、分子を $u = V_{th}^2 R_L$、分母を $v = (R_{th} + R_L)^2$ として商の微分公式を適用します。
$$ \frac{dP_L}{dR_L} = \frac{V_{th}^2 (R_{th} + R_L)^2 – V_{th}^2 R_L \cdot 2(R_{th} + R_L)}{(R_{th} + R_L)^4} $$
分子を整理するために $V_{th}^2 (R_{th} + R_L)$ で括ると
$$ \frac{dP_L}{dR_L} = \frac{V_{th}^2 (R_{th} + R_L) \left[(R_{th} + R_L) – 2R_L\right]}{(R_{th} + R_L)^4} $$
さらに括弧内を整理すると
$$ \frac{dP_L}{dR_L} = \frac{V_{th}^2 (R_{th} – R_L)}{(R_{th} + R_L)^3} $$
が得られます。$dP_L / dR_L = 0$ とおくと、$V_{th} \neq 0$ かつ $R_{th} + R_L > 0$ なので
$$ R_{th} – R_L = 0 \quad \Rightarrow \quad R_L = R_{th} $$
すなわち、負荷抵抗がテブナン等価抵抗に等しいとき、負荷に供給される電力は最大 になります。
最大電力の値
$R_L = R_{th}$ を代入すると
$$ P_{L,\max} = \frac{V_{th}^2 R_{th}}{(R_{th} + R_{th})^2} = \frac{V_{th}^2 R_{th}}{4 R_{th}^2} = \frac{V_{th}^2}{4 R_{th}} $$
となります。
最大電力伝送時の効率
ここで注意すべきは、最大電力伝送 ≠ 最大効率 ということです。$R_L = R_{th}$ のとき、回路全体で消費される電力は
$$ P_{\text{total}} = \frac{V_{th}^2}{(R_{th} + R_L)} = \frac{V_{th}^2}{2R_{th}} $$
のうち、半分が $R_{th}$ で消費され、半分が $R_L$ で消費されます。したがって効率は
$$ \eta = \frac{P_L}{P_{\text{total}}} = \frac{P_{L,\max}}{V_{th}^2 / (2R_{th})} = \frac{V_{th}^2/(4R_{th})}{V_{th}^2/(2R_{th})} = \frac{1}{2} = 50\% $$
です。最大電力伝送の条件では 効率は50% にしかなりません。
これは実用上の重要なトレードオフです。電力系統（発電所 → 家庭）のように電力の効率を重視する場合は $R_L \gg R_{th}$ とします。一方、無線通信のように微弱な信号電力を最大限に受け取りたい場合は $R_L = R_{th}$（インピーダンスマッチング）とします。
- 電力系統: 効率優先 → $R_L \gg R_{th}$ → 効率は高いが、負荷に伝送される電力の「割合」が高い
- 通信・オーディオ: 電力伝送優先 → $R_L = R_{th}$ → 効率50%だが、負荷が受け取る電力の「絶対値」が最大
交流回路への拡張
交流（AC）回路では、抵抗の代わりにインピーダンスを使います。テブナン等価インピーダンスが $Z_{th} = R_{th} + jX_{th}$ のとき、最大電力伝送の条件は
$$ Z_L = Z_{th}^* = R_{th} – jX_{th} $$
です。すなわち、負荷インピーダンスは信号源インピーダンスの複素共役に等しくする 必要があります。これを 共役整合（conjugate matching） と呼びます。
実部の条件 $R_L = R_{th}$ はDC回路と同じですが、虚部の条件 $X_L = -X_{th}$ が追加されます。リアクタンス成分を相殺することで、インピーダンスの虚部がゼロになり、純抵抗負荷として最大の有効電力を受け取れます。
理論の解説が一通り終わりました。それでは Python を使って、テブナン等価回路の検証と最大電力伝送定理の可視化を行いましょう。
Python による等価回路の検証
元の回路と等価回路の比較
先ほどの具体例（$V_1 = 12$ V, $R_1 = 4 \, \Omega$, $R_3 = 12 \, \Omega$, テブナン等価: $V_{th} = 9$ V, $R_{th} = 3 \, \Omega$）について、様々な負荷抵抗に対する負荷電流と負荷電圧を、元の回路と等価回路の両方で計算して一致を確認します。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 元の回路パラメータ
V1 = 12.0 # 電圧源 [V]
R1 = 4.0 # R1 [Ohm]
R3 = 12.0 # R3 [Ohm]
# テブナン等価パラメータ
Vth = 9.0 # テブナン等価電圧 [V]
Rth = 3.0 # テブナン等価抵抗 [Ohm]
# 負荷抵抗の範囲
RL = np.linspace(0.1, 30, 300)
# 元の回路での計算
# R3とRLの並列合成抵抗
R3_RL = (R3 * RL) / (R3 + RL)
# 全電流（V1からR1を通る）
I_total = V1 / (R1 + R3_RL)
# 負荷電圧 = R3_RLの両端電圧
VL_original = I_total * R3_RL
# 負荷電流
IL_original = VL_original / RL
# テブナン等価回路での計算
IL_thevenin = Vth / (Rth + RL)
VL_thevenin = IL_thevenin * RL
# プロット
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))
# 負荷電流の比較
axes[0].plot(RL, IL_original * 1000, 'b-', linewidth=2, label='Original circuit')
axes[0].plot(RL, IL_thevenin * 1000, 'r--', linewidth=2, label='Thevenin equivalent')
axes[0].set_xlabel('Load Resistance $R_L$ [$\\Omega$]')
axes[0].set_ylabel('Load Current $I_L$ [mA]')
axes[0].set_title('Load Current: Original vs Thevenin')
axes[0].legend()
axes[0].grid(True, alpha=0.3)
# 負荷電圧の比較
axes[1].plot(RL, VL_original, 'b-', linewidth=2, label='Original circuit')
axes[1].plot(RL, VL_thevenin, 'r--', linewidth=2, label='Thevenin equivalent')
axes[1].set_xlabel('Load Resistance $R_L$ [$\\Omega$]')
axes[1].set_ylabel('Load Voltage $V_L$ [V]')
axes[1].set_title('Load Voltage: Original vs Thevenin')
axes[1].legend()
axes[1].grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()
上のグラフから、元の回路とテブナン等価回路が全ての負荷抵抗に対して完全に一致していることが確認できます。
- 負荷電流（左） — $R_L$ が小さいほど電流は大きく、$R_L \to \infty$ で電流はゼロに近づきます。等価回路の青い実線と赤い破線が完全に重なっており、テブナンの定理の正確性が裏付けられています。
- 負荷電圧（右） — $R_L$ が大きくなるにつれて負荷電圧は $V_{th} = 9$ V に漸近します。これは $R_L \gg R_{th}$ の極限で、ほとんど電流が流れず電圧降下がないためです。逆に $R_L \to 0$ では電圧はゼロに近づきます。
数値的な一致の確認
目視だけでなく、数値的にも完全一致を確認してみましょう。
import numpy as np
# テストする負荷抵抗値
RL_test = np.array([1, 3, 6, 12, 24])
# 回路パラメータ
V1 = 12.0
R1 = 4.0
R3 = 12.0
Vth = 9.0
Rth = 3.0
print(f"{'RL [Ohm]':>10} {'IL_orig [A]':>12} {'IL_thev [A]':>12} {'Error':>10}")
print("-" * 48)
for rl in RL_test:
# 元の回路
R3_RL = (R3 * rl) / (R3 + rl)
I_total = V1 / (R1 + R3_RL)
VL_orig = I_total * R3_RL
IL_orig = VL_orig / rl
# テブナン等価
IL_thev = Vth / (Rth + rl)
error = abs(IL_orig - IL_thev)
print(f"{rl:10.1f} {IL_orig:12.6f} {IL_thev:12.6f} {error:10.2e}")
この出力を見ると、全ての負荷抵抗値で負荷電流の誤差が $10^{-16}$ 程度（浮動小数点の丸め誤差レベル）であることが分かります。理論的に完全に一致する関係を、数値計算でも確認できました。
次に、最大電力伝送定理をグラフで可視化してみましょう。
最大電力伝送の可視化
負荷電力 vs 負荷抵抗
テブナン等価回路からの電力伝送を、負荷抵抗の関数として可視化します。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# テブナン等価パラメータ
Vth = 9.0 # [V]
Rth = 3.0 # [Ohm]
# 負荷抵抗の範囲
RL = np.linspace(0.1, 20, 500)
# 負荷電力
PL = Vth**2 * RL / (Rth + RL)**2
# 最大電力
PL_max = Vth**2 / (4 * Rth)
# 効率
efficiency = RL / (Rth + RL) * 100 # [%]
# 信号源内部で消費される電力
P_internal = Vth**2 * Rth / (Rth + RL)**2
fig, ax1 = plt.subplots(figsize=(10, 6))
# 負荷電力
color1 = '#2196F3'
ax1.plot(RL, PL, color=color1, linewidth=2, label='$P_L$ (Load power)')
ax1.plot(RL, P_internal, color='#FF5722', linewidth=2, linestyle='--',
label='$P_{internal}$ (Source power loss)')
ax1.axvline(x=Rth, color='gray', linestyle=':', alpha=0.7)
ax1.axhline(y=PL_max, color=color1, linestyle=':', alpha=0.5)
ax1.plot(Rth, PL_max, 'o', color=color1, markersize=10, zorder=5)
ax1.annotate(f'Max: $P_L$ = {PL_max:.2f} W\nat $R_L$ = $R_{{th}}$ = {Rth} $\\Omega$',
xy=(Rth, PL_max), xytext=(8, PL_max + 0.5),
fontsize=11, arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='gray'))
ax1.set_xlabel('Load Resistance $R_L$ [$\\Omega$]', fontsize=12)
ax1.set_ylabel('Power [W]', fontsize=12)
ax1.set_title('Maximum Power Transfer Theorem\n'
f'($V_{{th}}$ = {Vth} V, $R_{{th}}$ = {Rth} $\\Omega$)', fontsize=13)
ax1.legend(loc='upper right', fontsize=11)
ax1.grid(True, alpha=0.3)
# 効率を第2軸で
ax2 = ax1.twinx()
color2 = '#4CAF50'
ax2.plot(RL, efficiency, color=color2, linewidth=2, linestyle='-.',
label='Efficiency $\\eta$')
ax2.axhline(y=50, color=color2, linestyle=':', alpha=0.5)
ax2.set_ylabel('Efficiency [%]', fontsize=12, color=color2)
ax2.tick_params(axis='y', labelcolor=color2)
ax2.set_ylim(0, 105)
ax2.legend(loc='center right', fontsize=11)
plt.tight_layout()
plt.show()
上のグラフから、最大電力伝送定理の核心が視覚的に読み取れます。
- 負荷電力（青い実線）はピークを持つ — $R_L = R_{th} = 3 \, \Omega$ のとき負荷電力は最大値 $P_{L,\max} = 6.75$ W をとり、$R_L$ がそこから離れると電力は減少します。$R_L$ が小さすぎると電流は大きいが負荷抵抗が小さいため電力が小さく、$R_L$ が大きすぎると電流が小さくなるため電力が小さい、という直感に合致しています。
- 信号源内部損失（赤い破線） — 内部抵抗での消費電力は $R_L$ が小さいほど大きくなります。$R_L = R_{th}$ では内部損失と負荷電力が等しく（ともに 6.75 W）、効率は50%です。
- 効率（緑の一点鎖線） — 効率は $R_L$ が増加するにつれて単調に増加し、$R_L \to \infty$ で100%に漸近します。しかし、効率が高い領域では負荷電力の絶対値は小さくなります。最大電力と最大効率は両立しない というトレードオフが明確に見えます。
正規化した負荷電力曲線
$R_L / R_{th}$ で正規化したグラフも描いてみましょう。こうすることで、特定の回路パラメータによらない普遍的な関係が見えます。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 正規化された負荷抵抗
r = np.linspace(0.01, 10, 500) # r = RL / Rth
# 正規化された負荷電力 PL / PL_max
p_normalized = 4 * r / (1 + r)**2
# 効率
efficiency = r / (1 + r) * 100
fig, ax1 = plt.subplots(figsize=(10, 6))
color1 = '#2196F3'
ax1.plot(r, p_normalized, color=color1, linewidth=2.5, label='$P_L / P_{L,max}$')
ax1.axvline(x=1.0, color='gray', linestyle=':', alpha=0.7, label='$R_L = R_{th}$')
ax1.axhline(y=1.0, color=color1, linestyle=':', alpha=0.5)
ax1.plot(1.0, 1.0, 'o', color=color1, markersize=10, zorder=5)
ax1.set_xlabel('$R_L / R_{th}$', fontsize=13)
ax1.set_ylabel('Normalized Load Power $P_L / P_{L,max}$', fontsize=12, color=color1)
ax1.tick_params(axis='y', labelcolor=color1)
ax1.set_title('Universal Power Transfer Curve', fontsize=13)
ax1.set_ylim(0, 1.15)
ax1.grid(True, alpha=0.3)
ax1.legend(loc='upper left', fontsize=11)
# 効率
ax2 = ax1.twinx()
color2 = '#4CAF50'
ax2.plot(r, efficiency, color=color2, linewidth=2, linestyle='-.',
label='Efficiency $\\eta$')
ax2.axhline(y=50, color=color2, linestyle=':', alpha=0.5)
ax2.set_ylabel('Efficiency [%]', fontsize=12, color=color2)
ax2.tick_params(axis='y', labelcolor=color2)
ax2.set_ylim(0, 105)
ax2.legend(loc='center right', fontsize=11)
plt.tight_layout()
plt.show()
正規化グラフから、$R_L / R_{th}$ に対する電力伝送の普遍的な振る舞いが読み取れます。
- ピークの鋭さ — $R_L / R_{th} = 1$ でピークに達しますが、ピーク付近は比較的なだらかです。$R_L / R_{th}$ が 0.5 ~ 2 の範囲（$R_{th}$ の半分から2倍）では、電力は最大値の 89% 以上を維持します。つまり、完璧なマッチングでなくても、ある程度の範囲では効率的に電力を伝送できます。
- 左右非対称 — $R_L < R_{th}$ の領域（ミスマッチが「低抵抗側」）と $R_L > R_{th}$ の領域（「高抵抗側」）を比べると、高抵抗側のほうが電力の低下が緩やかです。これは高抵抗側では効率が改善される（内部損失が減る）ためです。
複数のテブナン抵抗での比較
テブナン等価抵抗の値が変わると、最大電力がどう変化するかを見てみましょう。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
Vth = 10.0 # テブナン等価電圧 [V]
# 複数のテブナン等価抵抗
Rth_values = [1, 5, 10, 25, 50]
RL = np.linspace(0.1, 100, 1000)
plt.figure(figsize=(10, 6))
for Rth in Rth_values:
PL = Vth**2 * RL / (Rth + RL)**2
PL_max = Vth**2 / (4 * Rth)
plt.plot(RL, PL, linewidth=2,
label=f'$R_{{th}}$ = {Rth} $\\Omega$ (max = {PL_max:.1f} W)')
# 最大点にマーカー
plt.plot(Rth, PL_max, 'o', markersize=8, color=plt.gca().lines[-1].get_color())
plt.xlabel('Load Resistance $R_L$ [$\\Omega$]', fontsize=12)
plt.ylabel('Load Power $P_L$ [W]', fontsize=12)
plt.title(f'Power Transfer for Different Source Impedances ($V_{{th}}$ = {Vth} V)',
fontsize=13)
plt.legend(fontsize=10)
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()
このグラフから、信号源のインピーダンス（テブナン等価抵抗）が小さいほど、最大伝送電力が大きくなることが分かります。
- $R_{th} = 1 \, \Omega$ では最大電力 25 W が得られるのに対し、$R_{th} = 50 \, \Omega$ ではわずか 0.5 W です。これは $P_{L,\max} = V_{th}^2 / (4R_{th})$ に $R_{th}$ が反比例するためです。
- ピークの位置が右にシフト — $R_{th}$ が大きいほどピークの位置（$R_L = R_{th}$）が右に移動します。同時にピーク高さが低くなるため、高インピーダンス信号源は電力供給能力が低いことが視覚的に理解できます。
- 実用的な意味 — パワーアンプ（$R_{th}$ が小さい）はスピーカーに大電力を供給でき、小信号アンプ（$R_{th}$ が大きい）は電力は小さいが電圧ゲインの伝達に特化している、という設計思想の違いがこの図に現れています。
応用: アンプの出力段とインピーダンスマッチング
アンプの出力インピーダンス
テブナンの定理は、電子回路の設計において日常的に使われる概念です。増幅回路の出力を外部から見ると、テブナン等価回路（出力電圧 $V_{out}$ と出力インピーダンス $R_{out}$ の直列接続）として振る舞います。
エミッタフォロワ（コモンコレクタ回路）の出力インピーダンスは
$$ R_{out} \approx \frac{r_\pi + R_s}{\beta + 1} $$
程度で、数十 $\Omega$ と低いため、電力伝送に適しています。一方、コモンエミッタ回路の出力インピーダンスは $R_{out} \approx R_C$（コレクタ抵抗）程度で数 k$\Omega$ と高く、電圧増幅に適しています。
高周波回路でのインピーダンスマッチング
高周波（RF）回路では、同軸ケーブルの特性インピーダンス 50 $\Omega$（または 75 $\Omega$）に合わせたインピーダンスマッチングが不可欠です。マッチングが取れていないと、反射波が発生して電力が効率的に伝送されません。
定在波比（VSWR）は反射の程度を表す指標で、反射係数 $\Gamma$ を用いて
$$ \text{VSWR} = \frac{1 + |\Gamma|}{1 – |\Gamma|}, \quad \Gamma = \frac{Z_L – Z_0}{Z_L + Z_0} $$
で定義されます。完全マッチング（$Z_L = Z_0$）で $\Gamma = 0$, $\text{VSWR} = 1$ となります。
テブナンの定理により信号源を等価回路に置き換えると、マッチング回路（L型、Pi型、T型マッチングネットワーク）の設計が体系的に行えます。
オーディオ回路でのインピーダンス設計
オーディオの世界でも、インピーダンスマッチングは重要です。ただし、オーディオでは最大電力伝送よりも 信号の忠実度（フラットな周波数特性） を優先する場合が多いです。
- マイク → プリアンプ: マイクの出力インピーダンス（数百 $\Omega$）よりプリアンプの入力インピーダンスを十分大きく（数 k$\Omega$ 以上）する。電圧伝送を優先
- パワーアンプ → スピーカー: アンプの出力インピーダンスをスピーカーのインピーダンス（4/8 $\Omega$）より十分小さくする。ダンピングファクタ（$= Z_{\text{speaker}} / R_{out}$）を大きくすることでスピーカーの制動を改善
このように、テブナンの定理は回路の入出力特性を理解するための普遍的な枠組みを提供しています。
テブナンの定理の証明（重ね合わせの原理による）
ここまで直感的な理解と応用を中心に解説しましたが、テブナンの定理がなぜ成り立つのかを厳密に証明しておきましょう。証明には 重ね合わせの原理（線形回路の基本定理）を使います。
証明の方針
線形回路の端子 a-b に負荷 $R_L$ を接続したときの負荷電流 $I_L$ が、テブナン等価回路から計算した値と一致することを示します。
証明
端子 a-b に $R_L$ を接続した回路を考えます。重ね合わせの原理により、負荷 $R_L$ に流れる電流 $I_L$ は、回路内の各独立電源が単独で作用したときの寄与の和です。
ここで、回路を次の2つの状態に分解します。
状態1: 回路内の全ての独立電源が元の値で動作し、端子 a-b は 開放
この状態での端子間電圧が $V_{th}$（テブナン等価電圧）です。
状態2: 回路内の全ての独立電源をゼロにし、端子 a-b に電圧 $-V_L$（負荷電圧の逆極性）の電圧源を接続
この状態で端子 a-b から回路に流れ込む電流は $V_L / R_{th}$（$R_{th}$ は電源ゼロ時の等価抵抗）です。
重ね合わせの原理により、実際の回路での端子電圧は
$$ V_L = V_{th} – I_L R_{th} $$
です。ここで $I_L R_{th}$ は状態2の寄与（内部抵抗による電圧降下）です。一方、オームの法則から $V_L = I_L R_L$ なので
$$ I_L R_L = V_{th} – I_L R_{th} $$
$I_L$ について解くと
$$ I_L = \frac{V_{th}}{R_{th} + R_L} $$
が得られます。これはまさに $V_{th}$ と $R_{th}$ の直列接続（テブナン等価回路）に $R_L$ を接続したときの電流です。
この証明は 線形回路 に対してのみ有効です。ダイオードやトランジスタ（非線形素子）を含む回路では、動作点周りの小信号等価回路に対してテブナンの定理を適用します。
従属電源を含む回路のテブナン等価回路
実際の電子回路では、トランジスタの小信号モデルのように 従属電源（制御電源） を含む場合があります。従属電源を含む回路では、電源ゼロ法による $R_{th}$ の計算で従属電源を残す必要があるため、方法2（短絡電流法）または方法3（テスト電源法）を使います。
例題: 電流制御電圧源を含む回路
$V_s = 10$ V の独立電圧源に $R_1 = 2 \, \text{k}\Omega$ が直列接続されています。$R_1$ を流れる電流を $i_1$ として、制御電圧源 $3000 i_1$（$i_1$ に比例した電圧源）が $R_2 = 1 \, \text{k}\Omega$ と直列に入っています。端子 a-b は $R_2$ と制御電圧源の組み合わせの両端です。
$V_{th}$ の計算（開放電圧法）
端子 a-b を開放すると、$R_2$ に電流が流れません。$R_1$ を流れる電流は回路構成から $i_1 = V_s / R_1 = 10 / 2000 = 5$ mA です。
制御電圧源の電圧は $3000 \times 0.005 = 15$ V です。
開放電圧は $R_2$ の電圧降下（$i_1 = 0$ で $R_2$ に電流なし）と制御電圧源の和として
$$ V_{th} = 3000 i_1 = 15 \text{ V} $$
（$R_2$ には電流が流れないので $R_2$ の電圧降下はゼロ）
$I_N$ の計算（短絡電流法）
端子 a-b を短絡すると、$R_2$ と制御電圧源の直列回路が短絡されます。短絡電流は
$$ I_N = \frac{3000 i_1}{R_2} = \frac{15}{1000} = 15 \text{ mA} $$
$R_{th}$ の計算
$$ R_{th} = \frac{V_{th}}{I_N} = \frac{15}{0.015} = 1000 \, \Omega = 1 \, \text{k}\Omega $$
この結果は $R_2 = 1 \, \text{k}\Omega$ に等しく、この回路では従属電源が $R_{th}$ を変えていないことが分かります。ただし一般的には、従属電源の存在により $R_{th}$ は単純な受動素子の組み合わせとは異なる値になることがあります。
まとめ
本記事では、テブナンの定理とノートンの定理について解説しました。
- テブナンの定理 — 線形回路の二端子対は、開放電圧 $V_{th}$ と等価抵抗 $R_{th}$ の直列接続で等価的に置き換えられる
- ノートンの定理 — 同じ二端子対を、短絡電流 $I_N$ と等価抵抗 $R_N$ の並列接続で等価的に置き換えられる
- テブナン↔ノートン変換 — $V_{th} = I_N R_{th}$, $R_{th} = R_N$ で相互変換できる
- テブナン等価回路の求め方 — (1)開放電圧法+電源ゼロ法、(2)開放電圧法+短絡電流法、(3)テスト電源法の3つの方法がある
- 最大電力伝送定理 — $R_L = R_{th}$ のとき負荷電力が最大となり、最大電力は $P_{L,\max} = V_{th}^2 / (4R_{th})$。ただし効率は50%
- 交流回路への拡張 — 最大電力伝送の条件は $Z_L = Z_{th}^*$（共役整合）
- 応用 — アンプの出力段設計、RFインピーダンスマッチング（50 $\Omega$ 系）、オーディオ回路のインピーダンス設計
テブナンの定理は、回路を「外から見た振る舞い」に集約する強力な道具です。回路の内部構造を知らなくても、$V_{th}$ と $R_{th}$ の2つの値さえ分かれば（あるいは測定すれば）、任意の負荷に対する応答を予測できます。この「ブラックボックス化」の発想は、回路設計だけでなく、システム工学全般に通じる普遍的な考え方です。
次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。
- キルヒホッフの法則 — 電流則(KCL)と電圧則(KVL)による回路解析 — 等価回路の導出に必要な基礎
- 共振回路の理論 — RLC直列・並列共振とQ値の設計 — 交流回路でのインピーダンスとQ値