ステップ応答とインパルス応答は、LTIシステムの特性を完全に記述する2つの基本的な応答です。インパルス応答がわかれば、畳み込み積分により任意の入力に対する応答を計算できます。
本記事では、インパルス応答の定義と伝達関数との関係、ステップ応答との関係、畳み込み積分の仕組み、Pythonでの可視化までを解説します。
本記事の内容
- インパルス応答の定義と伝達関数との関係
- ステップ応答とインパルス応答の微積分関係
- 畳み込み積分による任意入力への応答
- 応答特性の読み取り方
- Pythonでの可視化
前提知識
この記事を読む前に、以下の記事を読んでおくと理解が深まります。
インパルス応答とは
定義
インパルス応答 $g(t)$ は、システムに単位インパルス（ディラックのデルタ関数）$\delta(t)$ を入力したときの出力です。
$$ u(t) = \delta(t) \quad \Rightarrow \quad y(t) = g(t) $$
デルタ関数のラプラス変換は $\mathcal{L}[\delta(t)] = 1$ なので
$$ Y(s) = G(s) \cdot U(s) = G(s) \cdot 1 = G(s) $$
したがって
$$ \begin{equation} g(t) = \mathcal{L}^{-1}[G(s)] \end{equation} $$
つまり、インパルス応答は伝達関数の逆ラプラス変換です。
具体例: 1次遅れ系
$G(s) = \frac{1}{Ts + 1}$ の場合
$$ g(t) = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{Ts + 1}\right] = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1/T}{s + 1/T}\right] = \frac{1}{T} e^{-t/T} \quad (t \geq 0) $$
具体例: 2次遅れ系（不足減衰）
$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$ の場合（$0 < \zeta < 1$）
$$ g(t) = \frac{\omega_n}{\sqrt{1-\zeta^2}} e^{-\zeta\omega_n t} \sin(\omega_d t) \quad (t \geq 0) $$
ここで $\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ は減衰固有振動数です。
ステップ応答とインパルス応答の関係
ステップ応答の定義
ステップ応答 $h(t)$ は、単位ステップ入力に対する出力です。
$$ U(s) = \frac{1}{s} \quad \Rightarrow \quad Y(s) = G(s) \cdot \frac{1}{s} $$
微積分関係
ステップ入力は $u(t) = \int_0^t \delta(\tau) d\tau$（インパルスの積分）なので、LTIシステムの線形性と時不変性より
$$ \begin{equation} h(t) = \int_0^t g(\tau) d\tau \end{equation} $$
逆に
$$ \begin{equation} g(t) = \frac{dh(t)}{dt} \end{equation} $$
つまり、ステップ応答を微分するとインパルス応答、インパルス応答を積分するとステップ応答が得られます。
検証: 1次遅れ系
インパルス応答 $g(t) = \frac{1}{T} e^{-t/T}$ を積分すると
$$ h(t) = \int_0^t \frac{1}{T} e^{-\tau/T} d\tau = \left[-e^{-\tau/T}\right]_0^t = 1 – e^{-t/T} $$
これは確かに1次遅れ系のステップ応答です。
畳み込み積分
任意入力に対する応答
LTIシステムでは、任意の入力 $u(t)$ に対する出力は畳み込み積分で計算できます。
$$ \begin{equation} y(t) = \int_0^t g(t – \tau) u(\tau) d\tau = g(t) * u(t) \end{equation} $$
これは、入力を微小なインパルスの重ね合わせとみなし、各インパルスに対する応答を足し合わせたものです。
ラプラス変換との対応
畳み込み積分のラプラス変換は積になります。
$$ \mathcal{L}[g(t) * u(t)] = G(s) \cdot U(s) = Y(s) $$
これが伝達関数による入出力関係 $Y(s) = G(s) U(s)$ の時間領域での表現です。
応答特性の読み取り方
ステップ応答から読み取れる情報
| 特性 | 読み取り方 |
|---|---|
| 定常値 | 十分時間が経った後の値 |
| 立ち上がり時間 $t_r$ | 定常値の 10% から 90% に達する時間 |
| オーバーシュート $M_p$ | 定常値からの超過量 |
| 整定時間 $t_s$ | 定常値の $\pm 2\%$ に収まる時間 |
| 振動の有無 | 不足減衰か過減衰かの判定 |
インパルス応答から読み取れる情報
| 特性 | 読み取り方 |
|---|---|
| 安定性 | $t \to \infty$ で $g(t) \to 0$ なら安定 |
| 減衰の速さ | 包絡線の減衰率 |
| 振動数 | 振動の周期から固有振動数がわかる |
| 系の次数 | 応答の複雑さからおおよその次数が推定できる |
Pythonでの実装
ステップ応答とインパルス応答の比較
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import control as ctrl
# 2次遅れ系
wn = 2.0
zeta = 0.3
G = ctrl.tf([wn**2], [1, 2*zeta*wn, wn**2])
t = np.linspace(0, 8, 1000)
# ステップ応答
t_step, y_step = ctrl.step_response(G, T=t)
# インパルス応答
t_imp, y_imp = ctrl.impulse_response(G, T=t)
# ステップ応答の数値微分 → インパルス応答の近似
dt = t[1] - t[0]
y_diff = np.gradient(y_step, dt)
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 10))
# ステップ応答
axes[0, 0].plot(t_step, y_step, 'b', linewidth=2)
axes[0, 0].axhline(y=1.0, color='k', linestyle='--', alpha=0.3)
axes[0, 0].set_xlabel('Time [s]')
axes[0, 0].set_ylabel('h(t)')
axes[0, 0].set_title(f'Step Response (ζ={zeta}, ωn={wn})')
axes[0, 0].grid(True, alpha=0.3)
# インパルス応答
axes[0, 1].plot(t_imp, y_imp, 'r', linewidth=2)
axes[0, 1].axhline(y=0, color='k', linewidth=0.5)
axes[0, 1].set_xlabel('Time [s]')
axes[0, 1].set_ylabel('g(t)')
axes[0, 1].set_title(f'Impulse Response (ζ={zeta}, ωn={wn})')
axes[0, 1].grid(True, alpha=0.3)
# 微積分関係の検証: dh/dt ≈ g(t)
axes[1, 0].plot(t_imp, y_imp, 'r', linewidth=2, label='g(t) = impulse response')
axes[1, 0].plot(t_step, y_diff, 'b--', linewidth=1.5, label="dh/dt (numerical)")
axes[1, 0].set_xlabel('Time [s]')
axes[1, 0].set_ylabel('Response')
axes[1, 0].set_title('Verification: g(t) = dh(t)/dt')
axes[1, 0].legend()
axes[1, 0].grid(True, alpha=0.3)
# 積分関係の検証: ∫g(τ)dτ ≈ h(t)
y_int = np.cumsum(y_imp) * dt
axes[1, 1].plot(t_step, y_step, 'b', linewidth=2, label='h(t) = step response')
axes[1, 1].plot(t_imp, y_int, 'r--', linewidth=1.5, label='∫g(τ)dτ (numerical)')
axes[1, 1].set_xlabel('Time [s]')
axes[1, 1].set_ylabel('Response')
axes[1, 1].set_title('Verification: h(t) = ∫g(τ)dτ')
axes[1, 1].legend()
axes[1, 1].grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()
異なるシステムの応答比較
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import control as ctrl
# 3つのシステム
systems = {
'1st Order (T=1)': ctrl.tf([1], [1, 1]),
'2nd Order (ζ=0.3)': ctrl.tf([4], [1, 1.2, 4]),
'2nd Order (ζ=1.0)': ctrl.tf([4], [1, 4, 4]),
}
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))
t = np.linspace(0, 8, 1000)
for name, G in systems.items():
t_s, y_s = ctrl.step_response(G, T=t)
t_i, y_i = ctrl.impulse_response(G, T=t)
ax1.plot(t_s, y_s, linewidth=2, label=name)
ax2.plot(t_i, y_i, linewidth=2, label=name)
ax1.axhline(y=1.0, color='k', linestyle='--', alpha=0.3)
ax1.set_xlabel('Time [s]')
ax1.set_ylabel('h(t)')
ax1.set_title('Step Response Comparison')
ax1.legend()
ax1.grid(True, alpha=0.3)
ax2.axhline(y=0, color='k', linewidth=0.5)
ax2.set_xlabel('Time [s]')
ax2.set_ylabel('g(t)')
ax2.set_title('Impulse Response Comparison')
ax2.legend()
ax2.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()
畳み込み積分による任意入力の応答
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import control as ctrl
# システム: 1次遅れ系
T_sys = 1.0
G = ctrl.tf([1], [T_sys, 1])
# 時間軸
dt = 0.01
t = np.arange(0, 10, dt)
# 任意入力: 矩形波
u = np.zeros_like(t)
u[(t >= 1) & (t < 3)] = 1.0
u[(t >= 5) & (t < 7)] = 0.5
# インパルス応答
g = (1 / T_sys) * np.exp(-t / T_sys)
# 畳み込み積分で出力を計算
y_conv = np.convolve(g, u)[:len(t)] * dt
# python-controlでの検証
t_lsim, y_lsim = ctrl.forced_response(G, T=t, U=u)
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 8))
ax1.plot(t, u, 'b', linewidth=2)
ax1.set_xlabel('Time [s]')
ax1.set_ylabel('u(t)')
ax1.set_title('Input Signal')
ax1.grid(True, alpha=0.3)
ax1.set_xlim([0, 10])
ax2.plot(t, y_conv, 'r', linewidth=2, label='Convolution')
ax2.plot(t_lsim, y_lsim, 'b--', linewidth=1.5, label='python-control')
ax2.set_xlabel('Time [s]')
ax2.set_ylabel('y(t)')
ax2.set_title('Output: Convolution vs python-control')
ax2.legend()
ax2.grid(True, alpha=0.3)
ax2.set_xlim([0, 10])
plt.tight_layout()
plt.show()
畳み込み積分の結果と python-control の forced_response の結果がほぼ一致することが確認できます。
まとめ
本記事では、ステップ応答とインパルス応答について解説しました。
- インパルス応答は伝達関数の逆ラプラス変換 $g(t) = \mathcal{L}^{-1}[G(s)]$
- ステップ応答はインパルス応答の積分 $h(t) = \int_0^t g(\tau) d\tau$、逆に $g(t) = \frac{dh}{dt}$
- 畳み込み積分 $y(t) = g(t) * u(t)$ により任意の入力に対する応答が計算できる
- ステップ応答から定常値・オーバーシュート・整定時間などの過渡特性を読み取れる
次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。