ニュートンの運動の3法則は、古典力学の根幹を成す原理であり、惑星の運動からロケットの打ち上げまで、マクロな物体の運動を記述する基礎です。1687年に『プリンキピア』で発表されたこれらの法則は、300年以上経った今でも工学の基盤として使われています。
本記事の内容
- 第1法則（慣性の法則）
- 第2法則（運動の法則 $\bm{F} = m\bm{a}$）
- 第3法則（作用反作用の法則）
- 各法則の数学的表現と具体例
- Pythonでのシミュレーション
第1法則（慣性の法則）
外力が作用しない限り、静止している物体は静止し続け、等速直線運動をしている物体は等速直線運動を続ける。
数学的には:
$$ \bm{F} = \bm{0} \implies \bm{v} = \text{const} $$
この法則は慣性系（ニュートンの法則が成り立つ座標系）の存在を宣言するものでもあります。
第2法則（運動の法則）
物体の加速度は、作用する合力に比例し、質量に反比例する。
$$ \boxed{\bm{F} = m\bm{a} = m\frac{d\bm{v}}{dt} = m\frac{d^2\bm{r}}{dt^2}} $$
より一般的には運動量 $\bm{p} = m\bm{v}$ を用いて:
$$ \bm{F} = \frac{d\bm{p}}{dt} $$
成分表示:
$$ F_x = m\ddot{x}, \quad F_y = m\ddot{y}, \quad F_z = m\ddot{z} $$
第3法則（作用反作用の法則）
物体Aが物体Bに力を及ぼすとき、物体Bは物体Aに大きさが等しく向きが逆の力を及ぼす。
$$ \bm{F}_{AB} = -\bm{F}_{BA} $$
この法則から運動量保存則が導かれます。
具体例
自由落下
地表付近で質量 $m$ の物体に作用する重力は $\bm{F} = -mg\hat{\bm{e}}_z$。
$$ m\ddot{z} = -mg \implies \ddot{z} = -g $$
初期条件 $z(0) = h$, $\dot{z}(0) = 0$ のとき:
$$ z(t) = h – \frac{1}{2}gt^2 $$
斜面上の物体
角度 $\theta$ の滑らかな斜面上の物体（摩擦なし）:
$$ ma = mg\sin\theta \implies a = g\sin\theta $$
Pythonでの実装
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp
g = 9.8 # 重力加速度 [m/s^2]
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(15, 5))
# 自由落下
t = np.linspace(0, 3, 100)
h = 50 # 初期高さ [m]
z = h - 0.5*g*t**2
v = -g*t
mask = z >= 0
axes[0].plot(t[mask], z[mask], 'b-', linewidth=2, label='位置 $z(t)$')
axes[0].plot(t[mask], -v[mask], 'r--', linewidth=1.5, label='速度 $|v(t)|$')
axes[0].set_title('自由落下')
axes[0].set_xlabel('時間 [s]')
axes[0].set_ylabel('高さ [m] / 速度 [m/s]')
axes[0].legend()
axes[0].grid(True, alpha=0.3)
# 斜面上の運動
theta_vals = [15, 30, 45, 60]
for theta_deg in theta_vals:
theta = np.radians(theta_deg)
a = g * np.sin(theta)
x_slope = 0.5 * a * t**2
axes[1].plot(t, x_slope, label=f'$\\theta={theta_deg}°$')
axes[1].set_title('斜面上の運動（摩擦なし）')
axes[1].set_xlabel('時間 [s]')
axes[1].set_ylabel('移動距離 [m]')
axes[1].legend()
axes[1].grid(True, alpha=0.3)
# 空気抵抗付き落下: m*dv/dt = mg - b*v^2
m = 70 # kg
b = 0.25 # 抗力係数 [kg/m]
v_terminal = np.sqrt(m*g/b)
def falling_with_drag(t, y):
v = y[0]
return [g - (b/m)*v**2]
sol = solve_ivp(falling_with_drag, [0, 30], [0], t_eval=np.linspace(0, 30, 300))
axes[2].plot(sol.t, sol.y[0], 'b-', linewidth=2, label='空気抵抗あり')
axes[2].axhline(y=v_terminal, color='r', linestyle='--',
label=f'終端速度 {v_terminal:.1f} m/s')
axes[2].plot(t, g*t, 'g--', alpha=0.5, label='空気抵抗なし')
axes[2].set_title('空気抵抗付き落下')
axes[2].set_xlabel('時間 [s]')
axes[2].set_ylabel('速度 [m/s]')
axes[2].set_ylim(0, 80)
axes[2].legend()
axes[2].grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.savefig('newton_laws.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
まとめ
- 第1法則: 慣性系の定義。力なし→等速直線運動
- 第2法則: $\bm{F} = m\bm{a}$。力学の中心方程式
- 第3法則: 作用反作用。運動量保存則の基礎
- 微分方程式として定式化し、解析的・数値的に解く
次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。