スカラー場が空間的にどのように変化するかを知りたいとき、その変化の方向と大きさを教えてくれるのが勾配（gradient）です。勾配はスカラー場からベクトル場を生成する演算であり、ベクトル解析の最も基本的な概念の一つです。
電場は電位の勾配、力は位置エネルギーの勾配、熱流は温度の勾配に関連しています。勾配を理解することは、物理現象の空間的な変化を定量的に捉える第一歩です。
本記事の内容
- 勾配の定義
- 幾何学的意味（最大増加方向、等位面に垂直）
- 方向微分との関係
- 具体例
- Pythonでの可視化
前提知識
勾配の定義
スカラー場 $\phi(x, y, z)$ の勾配は次で定義されます。
$$ \boxed{\nabla \phi = \text{grad} \, \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}\bm{e}_x + \frac{\partial \phi}{\partial y}\bm{e}_y + \frac{\partial \phi}{\partial z}\bm{e}_z = \left(\frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z}\right)} $$
ここで $\nabla$（ナブラ）は微分演算子ベクトルです。
$$ \nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right) $$
幾何学的意味
1. 最大増加方向
勾配 $\nabla \phi$ は、スカラー場 $\phi$ が最も急に増加する方向を向きます。その大きさ $|\nabla \phi|$ は最大増加率に等しくなります。
2. 等位面に垂直
勾配ベクトルは等位面 $\phi = c$ に垂直です。
証明: 等位面上の任意の曲線 $\bm{r}(t)$ に対し $\phi(\bm{r}(t)) = c$。両辺を $t$ で微分すると、
$$ \frac{d\phi}{dt} = \nabla\phi \cdot \frac{d\bm{r}}{dt} = 0 $$
$d\bm{r}/dt$ は等位面の接線ベクトルなので、$\nabla\phi$ は等位面に垂直です。
方向微分
単位ベクトル $\hat{\bm{n}}$ の方向への $\phi$ の変化率を方向微分と呼びます。
$$ \frac{\partial \phi}{\partial n} = \nabla\phi \cdot \hat{\bm{n}} = |\nabla\phi|\cos\theta $$
ここで $\theta$ は $\nabla\phi$ と $\hat{\bm{n}}$ のなす角です。
- $\theta = 0$（$\nabla\phi$ と同方向）: 変化率最大 $= |\nabla\phi|$
- $\theta = \pi/2$（等位面に沿う）: 変化率 $= 0$
- $\theta = \pi$（$\nabla\phi$ と逆方向）: 変化率最小 $= -|\nabla\phi|$
勾配の性質
- 線形性: $\nabla(a\phi + b\psi) = a\nabla\phi + b\nabla\psi$
- 積の法則: $\nabla(\phi\psi) = \phi\nabla\psi + \psi\nabla\phi$
- 連鎖律: $\nabla f(\phi) = f'(\phi)\nabla\phi$
具体例
例1: $\phi = x^2 + y^2 + z^2$（球対称スカラー場）
$$ \nabla\phi = (2x, 2y, 2z) = 2\bm{r} $$
勾配は原点から放射状に外向き。等位面は同心球面です。
例2: $\phi = xy + z$
$$ \nabla\phi = (y, x, 1) $$
例3: 点 $(1, 2, 3)$ での勾配と方向微分
$\phi = x^2y + yz^2$ の点 $(1, 2, 3)$ での勾配:
$$ \nabla\phi = (2xy, x^2+z^2, 2yz) = (4, 10, 12) $$
方向 $\hat{\bm{n}} = (1, 1, 1)/\sqrt{3}$ への方向微分:
$$ \frac{\partial\phi}{\partial n} = (4, 10, 12) \cdot \frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}} = \frac{26}{\sqrt{3}} \approx 15.0 $$
Pythonでの実装
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-3, 3, 200)
y = np.linspace(-3, 3, 200)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
# スカラー場: phi = sin(x) * cos(y)
phi = np.sin(X) * np.cos(Y)
# 勾配の計算（解析的）
grad_x = np.cos(X) * np.cos(Y)
grad_y = -np.sin(X) * np.sin(Y)
# 粗いグリッドでquiver
x_q = np.linspace(-3, 3, 15)
y_q = np.linspace(-3, 3, 15)
Xq, Yq = np.meshgrid(x_q, y_q)
Gx = np.cos(Xq) * np.cos(Yq)
Gy = -np.sin(Xq) * np.sin(Yq)
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 6))
# 等高線 + 勾配ベクトル
cs = axes[0].contourf(X, Y, phi, levels=20, cmap='RdBu_r', alpha=0.8)
axes[0].contour(X, Y, phi, levels=10, colors='k', linewidths=0.5)
axes[0].quiver(Xq, Yq, Gx, Gy, color='black', alpha=0.7, scale=15)
plt.colorbar(cs, ax=axes[0])
axes[0].set_title('$\\phi = \\sin x \\cos y$ と勾配ベクトル $\\nabla\\phi$')
axes[0].set_xlabel('x')
axes[0].set_ylabel('y')
axes[0].set_aspect('equal')
# ガウス型ポテンシャル + 勾配
phi2 = np.exp(-(X**2 + Y**2))
Gx2_q = -2*Xq * np.exp(-(Xq**2 + Yq**2))
Gy2_q = -2*Yq * np.exp(-(Xq**2 + Yq**2))
cs2 = axes[1].contourf(X, Y, phi2, levels=20, cmap='viridis', alpha=0.8)
axes[1].contour(X, Y, phi2, levels=10, colors='white', linewidths=0.5)
axes[1].quiver(Xq, Yq, Gx2_q, Gy2_q, color='red', alpha=0.8, scale=5)
plt.colorbar(cs2, ax=axes[1])
axes[1].set_title('$\\phi = e^{-(x^2+y^2)}$ と勾配（等位線に垂直）')
axes[1].set_xlabel('x')
axes[1].set_ylabel('y')
axes[1].set_aspect('equal')
plt.tight_layout()
plt.savefig('gradient_vector.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
勾配ベクトルが等高線に垂直に配置されていること、スカラー場の値が増加する方向を向いていることが明確に確認できます。
まとめ
- 勾配 $\nabla\phi = (\partial\phi/\partial x, \partial\phi/\partial y, \partial\phi/\partial z)$
- 勾配は最大増加方向を向き、その大きさは最大変化率
- 勾配は等位面に垂直
- 方向微分 $\partial\phi/\partial n = \nabla\phi \cdot \hat{\bm{n}}$
- 物理応用: 電場 $\bm{E} = -\nabla V$、力 $\bm{F} = -\nabla U$
次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。