電磁誘導は、磁束の時間変化が起電力を生み出す現象です。発電機、変圧器、誘導加熱など、現代技術の基盤となっています。
本記事の内容
- 磁束と磁束の変化
- ファラデーの法則 $\mathcal{E} = -d\Phi_B/dt$
- レンツの法則
- 運動起電力と変圧器起電力
- 微分形 $\nabla\times\bm{E} = -\partial\bm{B}/\partial t$
- Pythonでの可視化
前提知識
磁束
閉曲面 $S$ を貫く磁束：
$$ \Phi_B = \int_S \bm{B} \cdot d\bm{A} $$
単位はウェーバー [Wb] = [V·s] です。
ファラデーの法則
閉回路を貫く磁束が時間変化すると、回路に起電力（EMF）が誘導されます：
$$ \boxed{\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}} $$
$N$ 巻きコイルの場合：$\mathcal{E} = -N\frac{d\Phi_B}{dt}$
レンツの法則
マイナス符号の意味：誘導電流は、磁束の変化を打ち消す方向に流れる。これはエネルギー保存の帰結です。
運動起電力
一様磁場 $\bm{B}$ 中で長さ $l$ の導体が速度 $\bm{v}$ で運動するとき：
$$ \mathcal{E} = \int (\bm{v}\times\bm{B}) \cdot d\bm{l} $$
直交する場合：$\mathcal{E} = Blv$
微分形
積分形にストークスの定理を適用すると：
$$ \oint \bm{E}\cdot d\bm{l} = -\frac{d}{dt}\int_S \bm{B}\cdot d\bm{A} $$
$$ \boxed{\nabla\times\bm{E} = -\frac{\partial\bm{B}}{\partial t}} $$
これはマクスウェル方程式の一つです。時間変化する磁場が電場の回転を生みます。
交流発電機
面積 $A$ のコイルが角速度 $\omega$ で一様磁場中を回転：
$$ \Phi_B(t) = BA\cos\omega t $$
$$ \mathcal{E}(t) = NBA\omega\sin\omega t = \mathcal{E}_0\sin\omega t $$
Pythonでの可視化
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(16, 5))
# (1) 回転コイルのEMF
t = np.linspace(0, 0.1, 500)
f = 50 # 50Hz
omega = 2*np.pi*f; N = 100; B = 0.5; A = 0.01
Phi = N*B*A*np.cos(omega*t)
EMF = N*B*A*omega*np.sin(omega*t)
ax1t = axes[0].twinx()
axes[0].plot(t*1e3, Phi*1e3, 'b-', lw=2, label='$\\Phi$ [mWb]')
ax1t.plot(t*1e3, EMF, 'r-', lw=2, label='EMF [V]')
axes[0].set_xlabel('Time [ms]'); axes[0].set_ylabel('$\\Phi$ [mWb]', color='b')
ax1t.set_ylabel('EMF [V]', color='r')
axes[0].set_title('AC Generator', fontsize=13)
# (2) EMF vs 回転速度
rpm = np.linspace(100, 5000, 200)
omega_range = 2*np.pi*rpm/60
EMF_max = N*B*A*omega_range
axes[1].plot(rpm, EMF_max, 'b-', lw=2.5)
axes[1].set_xlabel('Rotation speed [rpm]'); axes[1].set_ylabel('Peak EMF [V]')
axes[1].set_title('Peak EMF vs rotation speed', fontsize=13)
axes[1].grid(True, alpha=0.3)
# (3) 運動起電力の概念図
v_range = np.linspace(0, 10, 100)
l = 0.5; B_val = 0.2
EMF_motional = B_val * l * v_range
axes[2].plot(v_range, EMF_motional, 'g-', lw=2.5)
axes[2].set_xlabel('Velocity $v$ [m/s]'); axes[2].set_ylabel('EMF [V]')
axes[2].set_title(f'Motional EMF ($B$={B_val}T, $l$={l}m)', fontsize=13)
axes[2].grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()
まとめ
- ファラデーの法則: $\mathcal{E} = -d\Phi_B/dt$
- レンツの法則: 誘導電流は磁束変化を打ち消す方向
- 微分形: $\nabla\times\bm{E} = -\partial\bm{B}/\partial t$
- 交流発電: $\mathcal{E} = NBA\omega\sin\omega t$
次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。