電場はエネルギーを蓄えることができます。コンデンサに蓄えられるエネルギーは日常的なデバイスの基盤ですが、より深い視点では電場そのものがエネルギーを持つと理解されます。この考え方は電磁波のエネルギーや一般相対論まで通じる重要な概念です。
本記事の内容
- 点電荷系のエネルギー
- コンデンサのエネルギー
- 電場のエネルギー密度 $u = \varepsilon_0 E^2/2$ の導出
- Pythonでの可視化
前提知識
この記事を読む前に、以下の記事を読んでおくと理解が深まります。
2点電荷のエネルギー
電荷 $q_1$ が位置 $\bm{r}_1$ にあるとき、電荷 $q_2$ を無限遠から $\bm{r}_2$ まで運ぶのに必要な仕事は:
$$ W = q_2 V_1(\bm{r}_2) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{|\bm{r}_1 – \bm{r}_2|} $$
ここで $V_1(\bm{r}_2)$ は $q_1$ が点 $\bm{r}_2$ に作る電位です。この仕事が系の静電エネルギーとして蓄えられます。
$$ \boxed{U_{12} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r_{12}}} $$
$N$ 個の点電荷系のエネルギー
$N$ 個の電荷を1つずつ無限遠から配置していくときの全仕事を考えます。
1番目の電荷: 仕事 $W_1 = 0$（他に電荷がないため）
2番目の電荷: $W_2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r_{12}}$
3番目の電荷: $W_3 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1 q_3}{r_{13}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}}\right)$
全エネルギーは:
$$ U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j>i}\frac{q_i q_j}{r_{ij}} $$
二重和を対称化すると:
$$ \boxed{U = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N} q_i V(\bm{r}_i)} $$
ここで $V(\bm{r}_i)$ は電荷 $q_i$ の位置における他の全電荷が作る電位です。係数 $1/2$ は各ペアの二重計上を避けるためです。
連続的な電荷分布のエネルギー
離散的な電荷を連続分布 $\rho(\bm{r})$ に置き換えると:
$$ U = \frac{1}{2}\int \rho(\bm{r}) V(\bm{r}) \, dV $$
コンデンサのエネルギー
電荷 $Q$、電圧 $V$、静電容量 $C$ のコンデンサに蓄えられるエネルギーを導出します。
コンデンサを微小電荷 $dq$ ずつ充電していきます。電荷 $q$ が蓄えられた状態での電圧は $v = q/C$ なので、$dq$ を運ぶのに必要な仕事は:
$$ dW = v \, dq = \frac{q}{C} dq $$
全仕事（= 蓄えられるエネルギー）は:
$$ \begin{align} U &= \int_0^Q \frac{q}{C} dq \\ &= \frac{1}{C}\left[\frac{q^2}{2}\right]_0^Q \\ &= \frac{Q^2}{2C} \end{align} $$
$Q = CV$ を用いて3通りの表現が得られます。
$$ \boxed{U = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}QV} $$
電場のエネルギー密度の導出
コンデンサのエネルギーを電場の観点から再解釈します。
面積 $A$、間隔 $d$ の平行板コンデンサを考えます。$C = \varepsilon_0 A/d$、$E = V/d$ より:
$$ \begin{align} U &= \frac{1}{2}CV^2 \\ &= \frac{1}{2}\frac{\varepsilon_0 A}{d}(Ed)^2 \\ &= \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 \times (Ad) \end{align} $$
$Ad$ はコンデンサ内部の体積です。よって単位体積あたりのエネルギー（エネルギー密度）は:
$$ \boxed{u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2} $$
一般的に、空間全体の静電エネルギーは:
$$ U = \int \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 \, dV = \frac{\varepsilon_0}{2}\int |\bm{E}|^2 \, dV $$
一般的な導出
連続分布のエネルギー $U = \frac{1}{2}\int \rho V \, dV$ に $\rho = \varepsilon_0 \nabla \cdot \bm{E}$（ガウスの法則）を代入します。
$$ U = \frac{\varepsilon_0}{2}\int (\nabla \cdot \bm{E}) V \, dV $$
ベクトル恒等式 $\nabla \cdot (V\bm{E}) = (\nabla V) \cdot \bm{E} + V(\nabla \cdot \bm{E})$ と $\bm{E} = -\nabla V$ を用いると:
$$ V(\nabla \cdot \bm{E}) = \nabla \cdot (V\bm{E}) + E^2 $$
よって:
$$ U = \frac{\varepsilon_0}{2}\int \left[\nabla \cdot (V\bm{E}) + E^2\right] dV $$
ガウスの発散定理で第1項を面積分に変換し、積分領域を全空間に広げると、$V\bm{E}$ は無限遠で十分速く減衰するため面積分はゼロになります。
$$ U = \frac{\varepsilon_0}{2}\int E^2 \, dV $$
具体例：点電荷のエネルギー
点電荷 $q$ の電場 $E = q/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$ によるエネルギーを計算します。
$$ \begin{align} U &= \frac{\varepsilon_0}{2}\int_0^\infty \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\right)^2 4\pi r^2 \, dr \\ &= \frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0}\int_0^\infty \frac{dr}{r^2} = \infty \end{align} $$
積分が発散します。これは点電荷の自己エネルギーの発散として知られ、古典電磁気学の限界の一つです。量子電磁力学で解決されます。
Pythonでの実装
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(16, 5))
# --- (1) コンデンサの充電とエネルギー ---
C = 1e-6 # 1μF
V_max = 10.0 # 最大電圧
V = np.linspace(0, V_max, 200)
U_cap = 0.5 * C * V**2
# 充電曲線（微小仕事の累積）
q = C * V
dq = np.diff(q)
v_mid = 0.5 * (V[:-1] + V[1:])
dW = v_mid * dq
W_cumulative = np.concatenate([[0], np.cumsum(dW)])
axes[0].plot(V, U_cap * 1e6, 'b-', linewidth=2, label='$U = CV^2/2$')
axes[0].plot(V, W_cumulative * 1e6, 'r--', linewidth=2, label='累積仕事 $\\int v \\, dq$')
axes[0].fill_between(V, 0, U_cap * 1e6, alpha=0.1, color='blue')
axes[0].set_xlabel('電圧 $V$ [V]')
axes[0].set_ylabel('エネルギー [$\\mu$J]')
axes[0].set_title('コンデンサのエネルギー ($C = 1 \\mu$F)')
axes[0].legend()
axes[0].grid(True, alpha=0.3)
# --- (2) エネルギー密度の分布（点電荷） ---
r = np.linspace(0.1, 5, 500)
q_charge = 1.0 # 規格化
eps0 = 1.0 # 規格化
E_field = q_charge / (4*np.pi*eps0*r**2)
u_density = 0.5 * eps0 * E_field**2
axes[1].plot(r, u_density, 'r-', linewidth=2)
axes[1].fill_between(r, 0, u_density, alpha=0.2, color='red')
axes[1].set_xlabel('距離 $r$')
axes[1].set_ylabel('$u = \\varepsilon_0 E^2 / 2$')
axes[1].set_title('点電荷のエネルギー密度')
axes[1].set_yscale('log')
axes[1].set_ylim(1e-6, 10)
axes[1].grid(True, alpha=0.3)
axes[1].annotate('$u \\propto r^{-4}$', xy=(1.5, 0.01), fontsize=12, color='red')
# --- (3) 平行板コンデンサのエネルギー密度の2D可視化 ---
x = np.linspace(-3, 3, 200)
y = np.linspace(-2, 2, 200)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
# コンデンサの極板位置
d = 1.0 # 極板間距離
plate_half = d / 2
plate_width = 4.0
# 簡易的な電場モデル（極板間で一様、外で減衰）
E_magnitude = np.zeros_like(X)
# 極板間
mask_between = (np.abs(Y) < plate_half) & (np.abs(X) < plate_width/2)
E_magnitude[mask_between] = 1.0
# 端部で滑らかに減衰
mask_edge = ~mask_between
dist_from_center = np.sqrt(np.maximum(np.abs(X) - plate_width/2, 0)**2 +
np.maximum(np.abs(Y) - plate_half, 0)**2)
E_magnitude[mask_edge] = np.exp(-2*dist_from_center[mask_edge])
u_2d = 0.5 * E_magnitude**2
im = axes[2].pcolormesh(X, Y, u_2d, cmap='hot', shading='auto')
axes[2].axhline(y=plate_half, xmin=0.125, xmax=0.875, color='blue', linewidth=3, label='極板')
axes[2].axhline(y=-plate_half, xmin=0.125, xmax=0.875, color='blue', linewidth=3)
axes[2].set_xlabel('$x$')
axes[2].set_ylabel('$y$')
axes[2].set_title('平行板コンデンサのエネルギー密度')
axes[2].set_aspect('equal')
axes[2].legend(loc='upper right')
plt.colorbar(im, ax=axes[2], label='$u / u_0$')
plt.tight_layout()
plt.savefig('electrostatic_energy.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
# 数値例: コンデンサのエネルギー
C_val = 100e-6 # 100μF
V_val = 5.0 # 5V
U_val = 0.5 * C_val * V_val**2
print(f"コンデンサ ({C_val*1e6:.0f}μF, {V_val}V) のエネルギー: {U_val*1e3:.2f} mJ")
まとめ
本記事では、静電場のエネルギーについて解説しました。
- 点電荷系のエネルギー: $U = \frac{1}{2}\sum q_i V(\bm{r}_i)$
- コンデンサのエネルギー: $U = Q^2/(2C) = CV^2/2 = QV/2$
- 電場のエネルギー密度: $u = \varepsilon_0 E^2/2$
- 全静電エネルギー: $U = \frac{\varepsilon_0}{2}\int E^2 \, dV$
- 点電荷の自己エネルギーは発散する（古典電磁気学の限界）
次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。