ベクトル場がある点から「湧き出している」のか「吸い込まれている」のかを定量化するのが発散（divergence）です。流体の湧き出しや吸い込み、電荷による電場の発散など、物理学の基本法則を記述するのに不可欠な概念です。
ガウスの法則（電磁気学）や連続の方程式（流体力学）は、発散を用いて表現されます。本記事では、発散の定義、物理的意味、そしてガウスの発散定理との関係を解説します。
本記事の内容
- 発散の定義
- 物理的意味（湧き出し・吸い込み）
- ガウスの発散定理
- 連続の方程式への応用
- Pythonでの可視化
前提知識
発散の定義
ベクトル場 $\bm{F} = (F_x, F_y, F_z)$ の発散は次で定義されます。
$$ \boxed{\text{div} \, \bm{F} = \nabla \cdot \bm{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}} $$
発散はベクトル場からスカラー場を生成する演算です。
物理的意味
発散は、ある点におけるベクトル場の湧き出しの強さを表します。
- $\nabla \cdot \bm{F} > 0$: その点は湧き出し（source） — ベクトル場が外向きに広がる
- $\nabla \cdot \bm{F} < 0$: その点は吸い込み（sink） — ベクトル場が内向きに集まる
- $\nabla \cdot \bm{F} = 0$: 湧き出しなし（ソレノイダル場） — 入る量と出る量が等しい
直感的理解
微小な箱を考えたとき、箱から出ていくベクトル場のフラックスの正味の量が発散です。
$$ \nabla \cdot \bm{F} = \lim_{\Delta V \to 0} \frac{1}{\Delta V} \oint_{\partial V} \bm{F} \cdot d\bm{A} $$
ガウスの発散定理
閉曲面 $\partial V$ で囲まれた体積 $V$ に対して、
$$ \boxed{\oint_{\partial V} \bm{F} \cdot d\bm{A} = \int_V \nabla \cdot \bm{F} \, dV} $$
左辺は閉曲面を通る全フラックス、右辺は体積内の湧き出しの総量です。
物理への応用
電磁気学: ガウスの法則
$$ \nabla \cdot \bm{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} $$
電荷密度 $\rho$ がある場所で電場 $\bm{E}$ が湧き出します。
流体力学: 連続の方程式
$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \bm{v}) = 0 $$
非圧縮性流体（$\rho$ = 一定）では $\nabla \cdot \bm{v} = 0$（湧き出しなし）。
磁場
$$ \nabla \cdot \bm{B} = 0 $$
磁気単極子が存在しないことを表します。
具体例
例1: $\bm{F} = (x, y, z)$（放射状場）
$$ \nabla \cdot \bm{F} = 1 + 1 + 1 = 3 $$
全空間で一様に湧き出しています。
例2: $\bm{F} = (-y, x, 0)$（渦場）
$$ \nabla \cdot \bm{F} = 0 + 0 + 0 = 0 $$
ソレノイダル場（湧き出しなし）。
例3: $\bm{F} = \frac{\bm{r}}{r^3} = \frac{(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$（クーロン場）
原点以外では $\nabla \cdot \bm{F} = 0$ です。原点では $\nabla \cdot \bm{F} = 4\pi\delta^3(\bm{r})$（デルタ関数的な湧き出し）。
Pythonでの実装
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-3, 3, 20)
y = np.linspace(-3, 3, 20)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(16, 5))
# 例1: F = (x, y) — div > 0（湧き出し）
Fx1, Fy1 = X, Y
axes[0].quiver(X, Y, Fx1, Fy1, np.sqrt(Fx1**2+Fy1**2), cmap='Reds', alpha=0.8)
axes[0].set_title('$\\mathbf{F}=(x,y)$, div$=2$ > 0（湧き出し）')
axes[0].set_xlabel('x')
axes[0].set_ylabel('y')
axes[0].set_aspect('equal')
# 例2: F = (-y, x) — div = 0（ソレノイダル）
Fx2, Fy2 = -Y, X
axes[1].quiver(X, Y, Fx2, Fy2, np.sqrt(Fx2**2+Fy2**2), cmap='Blues', alpha=0.8)
axes[1].set_title('$\\mathbf{F}=(-y,x)$, div$=0$（ソレノイダル）')
axes[1].set_xlabel('x')
axes[1].set_ylabel('y')
axes[1].set_aspect('equal')
# 例3: F = (-x, -y) — div < 0（吸い込み）
Fx3, Fy3 = -X, -Y
axes[2].quiver(X, Y, Fx3, Fy3, np.sqrt(Fx3**2+Fy3**2), cmap='Greens', alpha=0.8)
axes[2].set_title('$\\mathbf{F}=(-x,-y)$, div$=-2$ < 0（吸い込み）')
axes[2].set_xlabel('x')
axes[2].set_ylabel('y')
axes[2].set_aspect('equal')
plt.tight_layout()
plt.savefig('divergence_vector.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
湧き出し（左）、ソレノイダル（中央）、吸い込み（右）の3つのベクトル場の違いが視覚的に確認できます。
まとめ
- 発散 $\nabla \cdot \bm{F} = \partial F_x/\partial x + \partial F_y/\partial y + \partial F_z/\partial z$
- 発散は湧き出しの強さを表すスカラー量
- $\nabla \cdot \bm{F} > 0$: 湧き出し、$< 0$: 吸い込み、$= 0$: ソレノイダル
- ガウスの発散定理: 閉曲面のフラックス = 体積内の湧き出し総量
- 物理応用: ガウスの法則、連続の方程式、$\nabla \cdot \bm{B} = 0$
次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。