梁に曲げモーメントが作用すると、断面内には引張と圧縮の応力が分布します。この曲げ応力（bending stress） の大きさは、曲げモーメントだけでなく断面の形状に依存します。断面形状の「曲げに対する強さ」を表す量が断面二次モーメント（second moment of area） です。
本記事では、曲げ応力の公式 $\sigma = My/I$ を導出し、各種断面の断面二次モーメントの計算方法を解説します。
本記事の内容
- 曲げ応力の公式 $\sigma = My/I$ の導出
- 断面二次モーメント $I$ の定義と計算
- 矩形・円形・I形断面の $I$
- 平行軸の定理
- Pythonでの可視化
前提知識
この記事を読む前に、以下の記事を読んでおくと理解が深まります。
曲げ応力の導出
仮定
オイラー・ベルヌーイの梁理論（Euler-Bernoulli beam theory）では、以下の仮定を置きます:
- 平面保持の仮定: 変形前に平面であった断面は、変形後も平面を保つ
- 微小変形: ひずみは微小
- フックの法則が成立: 弾性範囲内
導出
曲率半径 $\rho$ で曲がった梁を考えます。中立面（変形しない面）から距離 $y$ の位置のひずみは:
$$ \varepsilon = \frac{y}{\rho} $$
フックの法則から:
$$ \sigma = E\varepsilon = \frac{Ey}{\rho} $$
断面に作用する曲げモーメントは、この応力分布による中立軸まわりのモーメントです:
$$ M = \int_A \sigma \cdot y \, dA = \int_A \frac{Ey^2}{\rho} \, dA = \frac{E}{\rho} \int_A y^2 \, dA $$
ここで、$\int_A y^2 \, dA$ が断面二次モーメント $I$ です:
$$ \boxed{I = \int_A y^2 \, dA} $$
したがって:
$$ M = \frac{EI}{\rho} \implies \frac{1}{\rho} = \frac{M}{EI} $$
$\sigma = Ey/\rho$ に代入すると:
$$ \boxed{\sigma = \frac{My}{I}} $$
これが曲げ応力の公式です。$y$ は中立軸からの距離、$M$ は曲げモーメント、$I$ は断面二次モーメントです。
最大曲げ応力
最大曲げ応力は中立軸から最も遠い位置 $y = c$（断面の上端または下端）で生じます:
$$ \sigma_{\max} = \frac{Mc}{I} = \frac{M}{Z} $$
ここで $Z = I/c$ は断面係数（section modulus） です。
各種断面の断面二次モーメント
矩形断面
幅 $b$、高さ $h$ の矩形断面:
$$ I = \int_{-h/2}^{h/2} y^2 \cdot b \, dy = b \left[\frac{y^3}{3}\right]_{-h/2}^{h/2} = b \cdot \frac{2}{3}\left(\frac{h}{2}\right)^3 $$
$$ \boxed{I = \frac{bh^3}{12}} $$
断面係数: $Z = I / (h/2) = bh^2/6$
円形断面
直径 $d$（半径 $r = d/2$）の円形断面:
$$ I = \int_A y^2 \, dA $$
極座標で $y = r\sin\theta$, $dA = r \, dr \, d\theta$ として:
$$ I = \int_0^{2\pi}\int_0^{d/2} (r\sin\theta)^2 \cdot r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi}\sin^2\theta \, d\theta \int_0^{d/2} r^3 \, dr $$
$$ = \pi \cdot \frac{(d/2)^4}{4} $$
$$ \boxed{I = \frac{\pi d^4}{64}} $$
中空円形断面
外径 $D$、内径 $d$ の中空円形断面:
$$ \boxed{I = \frac{\pi(D^4 – d^4)}{64}} $$
I形断面
I形断面（フランジ: 幅 $b_f$, 厚さ $t_f$、ウェブ: 高さ $h_w$, 厚さ $t_w$）の断面二次モーメントは、全体の矩形から中空部分を引いて計算します:
$$ I = \frac{b_f H^3}{12} – \frac{(b_f – t_w)h_w^3}{12} $$
ここで $H = h_w + 2t_f$ は全体の高さです。
平行軸の定理
断面の重心を通る軸（中心軸）に関する断面二次モーメントを $I_c$ とすると、中心軸から距離 $d$ だけ離れた平行軸に関する断面二次モーメント $I$ は:
$$ \boxed{I = I_c + Ad^2} $$
ここで $A$ は断面積です。この定理は、複合断面の断面二次モーメントを計算する際に不可欠です。
導出
$$ I = \int_A (y + d)^2 \, dA = \int_A y^2 \, dA + 2d\int_A y \, dA + d^2\int_A dA $$
重心に関しては $\int_A y \, dA = 0$ なので:
$$ I = I_c + Ad^2 $$
Pythonでの実装
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(16, 5))
# (1) 曲げ応力分布の可視化
h = 0.2 # 断面高さ [m]
b = 0.1 # 断面幅 [m]
I_rect = b * h**3 / 12
M = 50e3 # 曲げモーメント [N*m]
y = np.linspace(-h/2, h/2, 200)
sigma = M * y / I_rect / 1e6 # [MPa]
axes[0].plot(sigma, y * 1000, 'b-', linewidth=2.5)
axes[0].fill_betweenx(y * 1000, 0, sigma, alpha=0.3, color='blue')
axes[0].axvline(0, color='k', linewidth=0.5)
axes[0].axhline(0, color='r', linewidth=1, linestyle='--', label='Neutral Axis')
axes[0].set_xlabel('Bending Stress $\\sigma$ [MPa]')
axes[0].set_ylabel('y [mm]')
axes[0].set_title(f'Bending Stress Distribution\n(M={M/1e3:.0f} kN$\\cdot$m)')
axes[0].legend()
axes[0].grid(True, alpha=0.3)
# (2) 各断面の I の比較（同じ断面積で）
A_target = 5000e-6 # 目標断面積 [m^2]（50 cm^2）
# 正方形
s_sq = np.sqrt(A_target)
I_sq = s_sq**4 / 12
# 円形
d_circ = np.sqrt(4 * A_target / np.pi)
I_circ = np.pi * d_circ**4 / 64
# 矩形（幅:高さ = 1:3）
h_r = np.sqrt(3 * A_target)
b_r = A_target / h_r
I_r = b_r * h_r**3 / 12
# 矩形（幅:高さ = 1:5）
h_r2 = np.sqrt(5 * A_target)
b_r2 = A_target / h_r2
I_r2 = b_r2 * h_r2**3 / 12
# 中空円（外径/内径 = 2）
D_hol = (64 * A_target / (np.pi * (1 - (0.5)**4)))**(1/2) # 近似計算
# A = pi/4 * (D^2 - d^2), d=D/2
D_hol = np.sqrt(4 * A_target / (np.pi * 0.75))
d_hol = D_hol / 2
I_hol = np.pi * (D_hol**4 - d_hol**4) / 64
sections = ['Square', 'Circle', '1:3 Rect', '1:5 Rect', 'Hollow Circle']
I_values = [I_sq, I_circ, I_r, I_r2, I_hol]
I_normalized = [i / I_sq for i in I_values]
bars = axes[1].bar(sections, I_normalized, color=['steelblue', 'coral',
'mediumseagreen', 'goldenrod', 'mediumpurple'])
axes[1].set_ylabel('$I / I_{square}$')
axes[1].set_title(f'$I$ Comparison (Same Area = {A_target*1e4:.0f} cm$^2$)')
axes[1].grid(True, alpha=0.3, axis='y')
for bar, val in zip(bars, I_normalized):
axes[1].text(bar.get_x() + bar.get_width()/2, bar.get_height() + 0.05,
f'{val:.2f}', ha='center', fontsize=10)
# (3) 矩形断面の I: 高さ依存性
b_fixed = 0.05 # 幅固定 [m]
h_range = np.linspace(0.01, 0.5, 200)
I_range = b_fixed * h_range**3 / 12
Z_range = b_fixed * h_range**2 / 6
ax3_twin = axes[2].twinx()
line1, = axes[2].plot(h_range * 100, I_range * 1e8, 'b-', linewidth=2.5,
label='$I = bh^3/12$')
line2, = ax3_twin.plot(h_range * 100, Z_range * 1e6, 'r--', linewidth=2.5,
label='$Z = bh^2/6$')
axes[2].set_xlabel('Height h [cm]')
axes[2].set_ylabel('$I$ [cm$^4$]', color='b')
ax3_twin.set_ylabel('$Z$ [cm$^3$]', color='r')
axes[2].set_title(f'Rectangular Section (b={b_fixed*100:.0f} cm)')
axes[2].grid(True, alpha=0.3)
lines = [line1, line2]
axes[2].legend(lines, [l.get_label() for l in lines])
plt.tight_layout()
plt.savefig('bending_stress_moment_of_inertia.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
まとめ
本記事では、曲げ応力と断面二次モーメントについて解説しました。
- 曲げ応力の公式: $\sigma = My/I$（中立軸からの距離 $y$ に比例）
- 断面二次モーメント $I = \int y^2 \, dA$ は断面の曲げ剛性を表す
- 矩形断面: $I = bh^3/12$、円形断面: $I = \pi d^4/64$
- 平行軸の定理: $I = I_c + Ad^2$
- 同じ断面積でも、材料を中立軸から遠くに配置する（I形鋼など）ことで $I$ を大幅に増加できる
次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。