ラプラス変換の基本性質と証明

ラプラス変換は、微分方程式を代数方程式に変換する強力な手法です。その威力は豊富な性質（変換公式）に支えられています。微分がかけ算に、積分がわり算に変わるという性質が、微分方程式を解く際の核心です。

本記事では、ラプラス変換の主要性質を一つずつ証明し、具体例で使い方を示します。

本記事の内容

• ラプラス変換の定義の復習
• 線形性
• 微分の変換（1階・$n$ 階）
• 積分の変換
• 第1推移定理（$s$ 軸シフト）
• 第2推移定理（$t$ 軸シフト）
• たたみ込み定理
• Pythonでの計算と可視化

前提知識

• ラプラス変換の定義と基本変換
• 1階線形微分方程式

ラプラス変換の定義

関数 $f(t)$（$t \geq 0$）のラプラス変換は：

$$ \boxed{\mathcal{L}[f(t)] = F(s) = \int_0^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt} $$

$s$ は複素数で、積分が収束する範囲で定義されます。以下では $\mathcal{L}[f(t)] = F(s)$ と略記します。

基本変換の一覧

性質1: 線形性

定理

$$ \boxed{\mathcal{L}[\alpha f(t) + \beta g(t)] = \alpha F(s) + \beta G(s)} $$

証明

積分の線形性から直接得られます：

$$ \mathcal{L}[\alpha f + \beta g] = \int_0^{\infty}[\alpha f(t) + \beta g(t)]e^{-st}\,dt $$

$$ = \alpha\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt + \beta\int_0^{\infty}g(t)e^{-st}\,dt $$

$$ = \alpha F(s) + \beta G(s) $$

具体例

$\mathcal{L}[3e^{2t} + 5\sin 4t]$ を求めます：

$$ = 3\cdot\frac{1}{s-2} + 5\cdot\frac{4}{s^2+16} = \frac{3}{s-2} + \frac{20}{s^2+16} $$

性質2: 微分の変換

1階微分

$$ \boxed{\mathcal{L}[f'(t)] = sF(s) – f(0)} $$

証明

部分積分を適用します：

$$ \mathcal{L}[f'(t)] = \int_0^{\infty}f'(t)e^{-st}\,dt $$

$u = e^{-st}$, $dv = f'(t)\,dt$ として部分積分すると：

$$ = \left[f(t)e^{-st}\right]_0^{\infty} – \int_0^{\infty}f(t)(-s)e^{-st}\,dt $$

$s$ が十分大きいとき $f(t)e^{-st} \to 0$ ($t\to\infty$) と仮定すると：

$$ = 0 – f(0) + s\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt = sF(s) – f(0) $$

$n$ 階微分

帰納法により：

$$ \boxed{\mathcal{L}[f^{(n)}(t)] = s^n F(s) – s^{n-1}f(0) – s^{n-2}f'(0) – \cdots – f^{(n-1)}(0)} $$

特に2階微分：

$$ \mathcal{L}[f”(t)] = s^2 F(s) – sf(0) – f'(0) $$

この性質が微分方程式を代数方程式に変える核心です。

具体例

$y” + 4y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$ をラプラス変換で解きます。

両辺にラプラス変換を適用すると：

$$ [s^2 Y(s) – s\cdot 1 – 0] + 4Y(s) = 0 $$

$$ (s^2 + 4)Y(s) = s $$

$$ Y(s) = \frac{s}{s^2 + 4} $$

逆変換すると $y(t) = \cos 2t$ です。

性質3: 積分の変換

定理

$$ \boxed{\mathcal{L}\left[\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right] = \frac{F(s)}{s}} $$

証明

$g(t) = \int_0^t f(\tau)\,d\tau$ とおくと、$g'(t) = f(t)$, $g(0) = 0$ です。

微分の変換公式より：

$$ \mathcal{L}[g'(t)] = s\,\mathcal{L}[g(t)] – g(0) = s\,\mathcal{L}[g(t)] $$

左辺は $\mathcal{L}[f(t)] = F(s)$ なので：

$$ F(s) = s\,\mathcal{L}[g(t)] $$

$$ \mathcal{L}[g(t)] = \frac{F(s)}{s} $$

具体例

$\mathcal{L}\left[\int_0^t \sin\tau\,d\tau\right]$ を求めます。

$\mathcal{L}[\sin t] = \frac{1}{s^2+1}$ なので：

$$ \mathcal{L}\left[\int_0^t \sin\tau\,d\tau\right] = \frac{1}{s(s^2+1)} $$

確認: $\int_0^t \sin\tau\,d\tau = 1 – \cos t$ で、$\mathcal{L}[1 – \cos t] = \frac{1}{s} – \frac{s}{s^2+1} = \frac{1}{s(s^2+1)}$ と一致します。

性質4: 第1推移定理（$s$ 軸シフト）

定理

$$ \boxed{\mathcal{L}[e^{at}f(t)] = F(s-a)} $$

証明

$$ \mathcal{L}[e^{at}f(t)] = \int_0^{\infty}e^{at}f(t)e^{-st}\,dt = \int_0^{\infty}f(t)e^{-(s-a)t}\,dt = F(s-a) $$

被積分関数の $e^{-st}$ が $e^{-(s-a)t}$ に置き換わるだけです。

具体例

$\mathcal{L}[e^{-3t}\cos 2t]$ を求めます。

$\mathcal{L}[\cos 2t] = \frac{s}{s^2+4}$ なので、$s$ を $s+3$ に置き換えて：

$$ \mathcal{L}[e^{-3t}\cos 2t] = \frac{s+3}{(s+3)^2+4} $$

性質5: 第2推移定理（$t$ 軸シフト）

定理

$u(t-a)$ を単位ステップ関数（$t < a$ で $0$、$t \geq a$ で $1$）とすると：

$$ \boxed{\mathcal{L}[f(t-a)\,u(t-a)] = e^{-as}F(s) \quad (a > 0)} $$

証明

$$ \mathcal{L}[f(t-a)u(t-a)] = \int_0^{\infty}f(t-a)u(t-a)e^{-st}\,dt = \int_a^{\infty}f(t-a)e^{-st}\,dt $$

$\tau = t – a$ と置換すると $t = \tau + a$, $dt = d\tau$ で：

$$ = \int_0^{\infty}f(\tau)e^{-s(\tau+a)}\,d\tau = e^{-as}\int_0^{\infty}f(\tau)e^{-s\tau}\,d\tau = e^{-as}F(s) $$

具体例

時刻 $t = 2$ で入る単位ステップ入力 $u(t-2)$ の変換：

$$ \mathcal{L}[u(t-2)] = \frac{e^{-2s}}{s} $$

性質6: たたみ込み定理

たたみ込みの定義

$$ (f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau $$

定理

$$ \boxed{\mathcal{L}[f * g] = F(s)\cdot G(s)} $$

時間領域のたたみ込みは $s$ 領域の積に対応します。

証明

$$ \mathcal{L}[f * g] = \int_0^{\infty}\left[\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau\right]e^{-st}\,dt $$

積分順序を交換します。$\tau \leq t < \infty$ なので：

$$ = \int_0^{\infty}f(\tau)\left[\int_\tau^{\infty}g(t-\tau)e^{-st}\,dt\right]d\tau $$

内側の積分で $u = t – \tau$ と置換すると：

$$ \int_\tau^{\infty}g(t-\tau)e^{-st}\,dt = \int_0^{\infty}g(u)e^{-s(u+\tau)}\,du = e^{-s\tau}\int_0^{\infty}g(u)e^{-su}\,du = e^{-s\tau}G(s) $$

よって：

$$ \mathcal{L}[f * g] = \int_0^{\infty}f(\tau)e^{-s\tau}G(s)\,d\tau = G(s)\int_0^{\infty}f(\tau)e^{-s\tau}\,d\tau = F(s)G(s) $$

具体例

$F(s) = \frac{1}{s^2} \cdot \frac{1}{s+1}$ の逆変換を、たたみ込みで求めます。

$\mathcal{L}^{-1}[1/s^2] = t$, $\mathcal{L}^{-1}[1/(s+1)] = e^{-t}$ なので：

$$ f(t) = \int_0^t \tau\cdot e^{-(t-\tau)}\,d\tau = e^{-t}\int_0^t \tau e^{\tau}\,d\tau $$

部分積分を実行します：

$$ \int_0^t \tau e^{\tau}\,d\tau = [\tau e^{\tau}]_0^t – \int_0^t e^{\tau}\,d\tau = te^t – (e^t – 1) = (t-1)e^t + 1 $$

$$ f(t) = e^{-t}[(t-1)e^t + 1] = t – 1 + e^{-t} $$

性質の一覧表

Pythonでの可視化

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.linspace(0, 10, 500)

fig, axes = plt.subplots(2, 3, figsize=(18, 10))

# --- (1) 基本関数と微分の変換 ---
# y'' + 4y = 0, y(0)=1, y'(0)=0 → y(t) = cos(2t)
y = np.cos(2*t)
axes[0, 0].plot(t, y, 'b-', lw=2)
axes[0, 0].set_title("$y'' + 4y = 0$,  $y = \\cos 2t$", fontsize=12)
axes[0, 0].set_xlabel('$t$'); axes[0, 0].set_ylabel('$y(t)$')
axes[0, 0].grid(True, alpha=0.3)

# --- (2) 第1推移定理 ---
f_orig = np.cos(2*t)
f_shift = np.exp(-3*t) * np.cos(2*t)
axes[0, 1].plot(t, f_orig, 'b--', lw=1.5, label='$\\cos 2t$')
axes[0, 1].plot(t, f_shift, 'r-', lw=2, label='$e^{-3t}\\cos 2t$')
axes[0, 1].set_title('First shift theorem', fontsize=12)
axes[0, 1].set_xlabel('$t$'); axes[0, 1].set_ylabel('$f(t)$')
axes[0, 1].legend(fontsize=11)
axes[0, 1].grid(True, alpha=0.3)

# --- (3) 第2推移定理 ---
a = 2.0
step = np.where(t >= a, 1.0, 0.0)
f_delayed = np.where(t >= a, np.sin(t - a), 0.0)
axes[0, 2].plot(t, np.sin(t), 'b--', lw=1.5, label='$\\sin t$')
axes[0, 2].plot(t, f_delayed, 'r-', lw=2, label='$\\sin(t-2)\\,u(t-2)$')
axes[0, 2].axvline(a, color='gray', ls=':', alpha=0.5)
axes[0, 2].set_title('Second shift theorem ($a=2$)', fontsize=12)
axes[0, 2].set_xlabel('$t$'); axes[0, 2].set_ylabel('$f(t)$')
axes[0, 2].legend(fontsize=11)
axes[0, 2].grid(True, alpha=0.3)

# --- (4) 積分の変換 ---
f_sin = np.sin(t)
f_int = 1 - np.cos(t)  # ∫sin(τ)dτ = 1-cos(t)
axes[1, 0].plot(t, f_sin, 'b--', lw=1.5, label='$\\sin t$')
axes[1, 0].plot(t, f_int, 'r-', lw=2, label='$\\int_0^t \\sin\\tau\\,d\\tau = 1-\\cos t$')
axes[1, 0].set_title('Integration property', fontsize=12)
axes[1, 0].set_xlabel('$t$'); axes[1, 0].set_ylabel('$f(t)$')
axes[1, 0].legend(fontsize=10)
axes[1, 0].grid(True, alpha=0.3)

# --- (5) たたみ込み ---
dt_val = t[1] - t[0]
f1 = t  # L^{-1}[1/s^2]
f2 = np.exp(-t)  # L^{-1}[1/(s+1)]
conv = np.convolve(f1, f2, mode='full')[:len(t)] * dt_val
conv_exact = t - 1 + np.exp(-t)

axes[1, 1].plot(t, conv, 'b-', lw=2, label='Numerical convolution')
axes[1, 1].plot(t, conv_exact, 'r--', lw=2, label='$t - 1 + e^{-t}$')
axes[1, 1].set_title('Convolution: $t * e^{-t}$', fontsize=12)
axes[1, 1].set_xlabel('$t$'); axes[1, 1].set_ylabel('$(f*g)(t)$')
axes[1, 1].legend(fontsize=11)
axes[1, 1].grid(True, alpha=0.3)

# --- (6) s領域での表現 ---
s = np.linspace(0.1, 5, 300)
F_cos2 = s / (s**2 + 4)
F_shifted = (s + 3) / ((s + 3)**2 + 4)

axes[1, 2].plot(s, F_cos2, 'b-', lw=2, label='$s/(s^2+4)$: $\\mathcal{L}[\\cos 2t]$')
axes[1, 2].plot(s, F_shifted, 'r-', lw=2,
                label='$(s+3)/((s+3)^2+4)$: $\\mathcal{L}[e^{-3t}\\cos 2t]$')
axes[1, 2].set_title('$s$-domain representations', fontsize=12)
axes[1, 2].set_xlabel('$s$'); axes[1, 2].set_ylabel('$F(s)$')
axes[1, 2].legend(fontsize=9)
axes[1, 2].grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('laplace_properties.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()

まとめ

本記事では、ラプラス変換の主要性質を証明付きで解説しました。

• 線形性: 積分の線形性から直接導かれる
• 微分の変換: $\mathcal{L}[f'(t)] = sF(s) – f(0)$。微分方程式を代数方程式に変える核心
• 積分の変換: $\mathcal{L}[\int_0^t f\,d\tau] = F(s)/s$。微分の変換の「逆」
• 第1推移定理: $e^{at}$ を掛けると $s \to s-a$ に置換
• 第2推移定理: 時間遅れ $u(t-a)$ は $e^{-as}$ に対応
• たたみ込み定理: 時間領域の畳み込みが $s$ 領域の積に対応

これらの性質を組み合わせることで、定数係数線形微分方程式を系統的に解くことができます。

次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。

• 逆ラプラス変換の方法
• 2階線形微分方程式
• 伝達関数と制御工学