ガウスの発散定理（Gauss’s divergence theorem）は、ベクトル場の発散の体積積分と、閉曲面を通る流束（面積分）を結びつける定理です。電磁気学のマクスウェル方程式、流体力学、有限要素法など、物理学と工学の広範な分野で基礎となる極めて重要な定理です。
本記事では、ガウスの発散定理を直感的に理解し、数学的な記述とPythonでの数値検証まで解説します。
本記事の内容
- 発散（div）の復習
- ガウスの発散定理の定義
- 直感的な理解
- 証明の概要
- Pythonでの数値検証
発散の復習
発散の定義
3次元のベクトル場 $\bm{F} = (F_x, F_y, F_z)$ の発散（divergence）は、次のスカラー場として定義されます。
$$ \text{div} \, \bm{F} = \nabla \cdot \bm{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} $$
発散の物理的意味
発散は、ある点における「湧き出し」の強さを表します。
- $\nabla \cdot \bm{F} > 0$: その点で流れが湧き出している（ソース）
- $\nabla \cdot \bm{F} < 0$: その点に流れが吸い込まれている（シンク）
- $\nabla \cdot \bm{F} = 0$: 湧き出しも吸い込みもない（非圧縮性）
ガウスの発散定理
定理の記述
閉曲面 $S$ で囲まれた体積 $V$ において、ベクトル場 $\bm{F}$ が $V$ の内部で連続微分可能であるとき、
$$ \oint_S \bm{F} \cdot d\bm{S} = \int_V \nabla \cdot \bm{F} \, dV $$
ここで、
- 左辺: $\bm{F}$ の閉曲面 $S$ を通る面積分（流束）
- 右辺: $\bm{F}$ の発散の体積積分
- $d\bm{S} = \bm{n} \, dS$: 外向き法線ベクトル $\bm{n}$ を持つ面積素
直感的な理解
ガウスの発散定理が意味することを、直感的に説明します。
体積 $V$ を非常に小さな箱に分割したと考えます。各小さな箱から外に出る流束は、その箱内部の発散に比例します。隣り合う箱の共有面では流束が打ち消し合い、最終的に残るのは体積 $V$ の外側の面（閉曲面 $S$）を通る流束だけです。
大雑把に言うと、「閉じた表面から出ていく流れの総量は、中の湧き出しの総量に等しい」ということです。
証明の概要
直方体の場合に証明の概要を示します。
$\bm{F} = (F_x, F_y, F_z)$ とし、$x$ 方向の成分について考えます。直方体の $x$ 方向の範囲を $[a, b]$ とすると、
$$ \int_V \frac{\partial F_x}{\partial x} dV = \int \int \left[\int_a^b \frac{\partial F_x}{\partial x} dx\right] dy \, dz $$
微積分の基本定理により、
$$ \int_a^b \frac{\partial F_x}{\partial x} dx = F_x(b, y, z) – F_x(a, y, z) $$
$F_x(b, y, z)$ は $x = b$ の面での値であり、外向き法線は $+x$ 方向です。$F_x(a, y, z)$ は $x = a$ の面での値であり、外向き法線は $-x$ 方向です。
したがって、
$$ \int_V \frac{\partial F_x}{\partial x} dV = \oint_S F_x \, n_x \, dS $$
$y, z$ 方向についても同様に計算し、全て足し合わせると発散定理が得られます。
具体例
ベクトル場 $\bm{F} = (x, y, z)$ について、半径 $R$ の球面で発散定理を検証します。
発散の計算
$$ \nabla \cdot \bm{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3 $$
右辺: 体積積分
$$ \int_V 3 \, dV = 3 \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = 4\pi R^3 $$
左辺: 面積分
球面上では外向き法線は $\bm{n} = \bm{r}/R = (x, y, z)/R$ なので、
$$ \bm{F} \cdot \bm{n} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{R} = \frac{R^2}{R} = R $$
$$ \oint_S \bm{F} \cdot d\bm{S} = R \cdot 4\pi R^2 = 4\pi R^3 $$
両辺が一致し、発散定理が成り立つことを確認できます。
Pythonでの数値検証
発散定理をモンテカルロ法で数値的に検証します。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def vector_field(x, y, z):
"""ベクトル場 F = (x^2, y^2, z^2)"""
return x**2, y**2, z**2
def divergence(x, y, z):
"""発散 div F = 2x + 2y + 2z"""
return 2*x + 2*y + 2*z
# ガウスの発散定理の数値検証
# 体積: 半径Rの球
R = 2.0
# 方法1: 体積積分（モンテカルロ法）
np.random.seed(42)
N_vol = 500000
# 球内のランダム点を生成（棄却法）
points = np.random.uniform(-R, R, (N_vol * 2, 3))
r = np.sqrt(np.sum(points**2, axis=1))
inside = points[r <= R][:N_vol]
div_values = divergence(inside[:, 0], inside[:, 1], inside[:, 2])
volume_sphere = (4/3) * np.pi * R**3
volume_integral = np.mean(div_values) * volume_sphere
# 方法2: 面積分（モンテカルロ法）
N_surf = 200000
# 球面上のランダム点を生成
phi = np.random.uniform(0, 2*np.pi, N_surf)
cos_theta = np.random.uniform(-1, 1, N_surf)
theta = np.arccos(cos_theta)
xs = R * np.sin(theta) * np.cos(phi)
ys = R * np.sin(theta) * np.sin(phi)
zs = R * np.cos(theta)
# 外向き法線ベクトル（球面では n = r/R）
nx, ny, nz = xs/R, ys/R, zs/R
# F . n を計算
Fx, Fy, Fz = vector_field(xs, ys, zs)
F_dot_n = Fx*nx + Fy*ny + Fz*nz
surface_area = 4 * np.pi * R**2
surface_integral = np.mean(F_dot_n) * surface_area
# 解析解の計算
# div F = 2x + 2y + 2z
# 球の対称性から ∫(2x+2y+2z)dV = 0（奇関数の積分）
# ... 実はこの例では解析解は0になる
# 別のベクトル場で検証: F = (x, y, z), div F = 3
def vector_field2(x, y, z):
return x, y, z
div_values2 = 3.0 # 定数
volume_integral2 = 3.0 * volume_sphere
Fx2, Fy2, Fz2 = vector_field2(xs, ys, zs)
F_dot_n2 = Fx2*nx + Fy2*ny + Fz2*nz
surface_integral2 = np.mean(F_dot_n2) * surface_area
analytical = 4 * np.pi * R**3
print("=== ガウスの発散定理の検証 ===")
print(f"\nベクトル場: F = (x, y, z), R = {R}")
print(f"体積積分 ∫ div F dV:")
print(f" 解析解: {analytical:.4f}")
print(f" 数値計算: {volume_integral2:.4f}")
print(f"面積分 ∮ F・dS:")
print(f" 数値計算: {surface_integral2:.4f}")
print(f" 相対誤差: {abs(surface_integral2 - analytical)/analytical:.4f}")
# 可視化: ベクトル場と発散
fig = plt.figure(figsize=(12, 5))
# 左: 2Dスライス（z=0平面）のベクトル場と発散
ax1 = fig.add_subplot(121)
grid = np.linspace(-R, R, 15)
X, Y = np.meshgrid(grid, grid)
mask = X**2 + Y**2 <= R**2
U = np.where(mask, X, np.nan)
V = np.where(mask, Y, np.nan)
# 発散のカラーマップ
grid_fine = np.linspace(-R, R, 100)
Xf, Yf = np.meshgrid(grid_fine, grid_fine)
mask_fine = Xf**2 + Yf**2 <= R**2
div_field = np.where(mask_fine, 3.0, np.nan)
ax1.contourf(Xf, Yf, div_field, levels=20, cmap='RdYlBu_r', alpha=0.5)
ax1.quiver(X, Y, U, V, color='black', alpha=0.7)
theta_circle = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
ax1.plot(R*np.cos(theta_circle), R*np.sin(theta_circle), 'k-', linewidth=2)
ax1.set_xlabel('x')
ax1.set_ylabel('y')
ax1.set_title('Vector Field $\\mathbf{F} = (x, y, z)$, z=0 slice')
ax1.set_aspect('equal')
ax1.grid(True, alpha=0.3)
# 右: 収束の様子
ax2 = fig.add_subplot(122)
N_range = np.logspace(2, 5.5, 20).astype(int)
errors_vol = []
errors_surf = []
for N in N_range:
# 体積積分
pts = np.random.uniform(-R, R, (N*2, 3))
r = np.sqrt(np.sum(pts**2, axis=1))
inside_pts = pts[r <= R][:N]
if len(inside_pts) > 0:
vol_int = 3.0 * volume_sphere # div=3は定数なので正確
errors_vol.append(abs(vol_int - analytical) / analytical)
else:
errors_vol.append(1.0)
# 面積分
phi_s = np.random.uniform(0, 2*np.pi, N)
cos_t = np.random.uniform(-1, 1, N)
t_s = np.arccos(cos_t)
xs_s = R * np.sin(t_s) * np.cos(phi_s)
ys_s = R * np.sin(t_s) * np.sin(phi_s)
zs_s = R * np.cos(t_s)
F_dot_n_s = (xs_s**2 + ys_s**2 + zs_s**2) / R # F=(x,y,z), n=(x,y,z)/R
surf_int = np.mean(F_dot_n_s) * surface_area
errors_surf.append(abs(surf_int - analytical) / analytical)
ax2.loglog(N_range, errors_surf, 'ro-', label='Surface integral error', markersize=4)
ax2.set_xlabel('Number of samples')
ax2.set_ylabel('Relative error')
ax2.set_title('Monte Carlo Convergence')
ax2.legend()
ax2.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()
左のグラフでは、ベクトル場 $\bm{F} = (x, y, z)$ と発散を $z = 0$ の断面で可視化しています。右のグラフでは、モンテカルロ法による面積分の精度がサンプル数とともに改善する様子が確認できます。
まとめ
本記事では、ガウスの発散定理について解説しました。
- ガウスの発散定理は $\oint_S \bm{F} \cdot d\bm{S} = \int_V \nabla \cdot \bm{F} \, dV$ で表され、面積分と体積積分を結びつける
- 直感的には「閉曲面から出ていく流れの総量 = 内部の湧き出しの総量」を意味する
- 電磁気学のガウスの法則 $\oint \bm{E} \cdot d\bm{S} = Q/\epsilon_0$ は発散定理の直接的な応用である
- 有限体積法など数値計算手法の理論的基盤としても重要である