電場と電位は電磁気学の最も基本的な概念ですが、初学者にとって混同しやすいものでもあります。どちらも「電荷が空間に作る影響」を記述しますが、電場はベクトル量、電位はスカラー量という根本的な違いがあります。
本記事では、点電荷が作る電場と電位を題材に、両者の定義・関係・違いを数式と図で丁寧に解説し、Pythonで可視化します。
本記事の内容
- 電場の定義とベクトルとしての性質
- 電位の定義とスカラーとしての性質
- 電場と電位の関係（勾配の関係）
- Pythonでの可視化
前提知識
この記事を読む前に、以下の概念を理解しておくと読みやすくなります。
- ベクトルの基本（大きさと向き）
- 微分・偏微分の基礎
電場とは
電場（Electric Field）$\bm{E}$ は、空間の各点で「試験電荷に作用する力の方向と大きさ」を表すベクトル場です。
正の試験電荷 $q_0$ を空間のある点に置いたとき、その電荷が受けるクーロン力 $\bm{F}$ を用いて電場は次のように定義されます。
$$ \begin{equation} \bm{E} = \frac{\bm{F}}{q_0} \end{equation} $$
単位は V/m（ボルト毎メートル）または N/C（ニュートン毎クーロン）です。
点電荷が作る電場
原点に置かれた点電荷 $Q$ が作る電場は、位置 $\bm{r}$ において
$$ \begin{equation} \bm{E}(\bm{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2} \hat{\bm{r}} \end{equation} $$
です。ここで $r = |\bm{r}|$ は電荷からの距離、$\hat{\bm{r}} = \bm{r}/r$ は動径方向の単位ベクトルです。
電場の重要な性質:
- ベクトル量: 各点で大きさと向きを持つ
- $Q > 0$ のとき外向き、$Q < 0$ のとき内向き
- 距離の2乗に反比例して減衰する（$|\bm{E}| \propto 1/r^2$）
電位とは
電位（Electric Potential）$V$ は、空間の各点で「単位正電荷が持つ位置エネルギー」を表すスカラー場です。
より厳密には、基準点（通常は無限遠）から点 $\bm{r}$ まで単位正電荷を運ぶのに必要な仕事として定義されます。
$$ \begin{equation} V(\bm{r}) = -\int_{\infty}^{\bm{r}} \bm{E} \cdot d\bm{l} \end{equation} $$
単位は V（ボルト）です。
点電荷が作る電位
原点に置かれた点電荷 $Q$ が作る電位は
$$ \begin{equation} V(\bm{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r} \end{equation} $$
です。
電位の重要な性質:
- スカラー量: 各点で大きさのみ（向きはない）
- $Q > 0$ のとき正、$Q < 0$ のとき負
- 距離に反比例して減衰する（$V \propto 1/r$）
電場と電位の違い
| 性質 | 電場 $\bm{E}$ | 電位 $V$ |
|---|---|---|
| 種類 | ベクトル場 | スカラー場 |
| 単位 | V/m | V |
| 距離依存性（点電荷） | $1/r^2$ | $1/r$ |
| 物理的意味 | 単位電荷に作用する力 | 単位電荷の位置エネルギー |
| 可視化 | 電気力線（矢印） | 等電位面（等高線） |
| 重ね合わせ | ベクトル和 | スカラー和 |
電場と電位の関係
電場と電位は密接に関連しています。電位の勾配（gradient）を取ると電場が得られます。
$$ \begin{equation} \bm{E} = -\nabla V = -\left(\frac{\partial V}{\partial x}\hat{\bm{x}} + \frac{\partial V}{\partial y}\hat{\bm{y}} + \frac{\partial V}{\partial z}\hat{\bm{z}}\right) \end{equation} $$
イメージとしては、電位を「地形の高さ」に例えると、電場は「最も急な下り坂の方向と傾き」に対応します。水は高い方から低い方へ流れるように、正電荷は高電位から低電位へ力を受けます。
導出
点電荷の場合で確認しましょう。球座標系で
$$ V(r) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r} $$
の勾配を計算します。
$$ \begin{align} \bm{E} &= -\nabla V = -\frac{dV}{dr}\hat{\bm{r}} \\ &= -\frac{d}{dr}\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}\right)\hat{\bm{r}} \\ &= -\left(-\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\right)\hat{\bm{r}} \\ &= \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\hat{\bm{r}} \end{align} $$
確かに、先ほどの電場の式と一致します。
等電位面と電気力線の関係
等電位面（電位が等しい点の集合）と電気力線（電場の方向を結んだ線）には重要な関係があります。
$$ \begin{equation} \bm{E} \cdot d\bm{l}_{\text{等電位面上}} = 0 \end{equation} $$
つまり、電気力線は等電位面に常に垂直です。等電位面上で電荷を移動させても仕事はゼロです。
重ね合わせの原理
複数の電荷がある場合、電場はベクトルの和、電位はスカラーの和で求められます。
2つの点電荷 $Q_1$, $Q_2$ がそれぞれ $\bm{r}_1$, $\bm{r}_2$ にある場合:
$$ \begin{align} \bm{E}(\bm{r}) &= \bm{E}_1(\bm{r}) + \bm{E}_2(\bm{r}) \quad \text{（ベクトル和）} \\ V(\bm{r}) &= V_1(\bm{r}) + V_2(\bm{r}) \quad \text{（スカラー和）} \end{align} $$
電位はスカラーの足し算だけで済むため、電場をベクトル的に足し合わせるよりも計算が簡単です。これが実用上の電位の大きな利点です。
Pythonでの実装
点電荷の電場と電位を可視化するPythonコードを示します。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 定数
k = 8.99e9 # クーロン定数 [N*m^2/C^2]
def electric_field(q, r_q, X, Y):
"""点電荷qが位置r_qに作る電場を計算"""
dx = X - r_q[0]
dy = Y - r_q[1]
r = np.sqrt(dx**2 + dy**2)
r = np.maximum(r, 0.1) # ゼロ除算防止
Ex = k * q * dx / r**3
Ey = k * q * dy / r**3
return Ex, Ey
def electric_potential(q, r_q, X, Y):
"""点電荷qが位置r_qに作る電位を計算"""
dx = X - r_q[0]
dy = Y - r_q[1]
r = np.sqrt(dx**2 + dy**2)
r = np.maximum(r, 0.1)
return k * q / r
# グリッド
x = np.linspace(-3, 3, 300)
y = np.linspace(-3, 3, 300)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
# 電荷の配置
charges = [
(1e-9, np.array([1.0, 0.0])), # 正電荷 (右)
(-1e-9, np.array([-1.0, 0.0])), # 負電荷 (左)
]
# 電場と電位の合計
Ex_total = np.zeros_like(X)
Ey_total = np.zeros_like(Y)
V_total = np.zeros_like(X)
for q, r_q in charges:
Ex, Ey = electric_field(q, r_q, X, Y)
Ex_total += Ex
Ey_total += Ey
V_total += electric_potential(q, r_q, X, Y)
# 電場の大きさ
E_mag = np.sqrt(Ex_total**2 + Ey_total**2)
# 可視化
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(18, 5))
# 左: 電場（電気力線）
# ストリームプロットで電気力線を描画
axes[0].streamplot(X, Y, Ex_total, Ey_total, color=np.log10(E_mag + 1),
cmap='inferno', density=2, linewidth=0.8, arrowsize=1.0)
for q, r_q in charges:
color = 'red' if q > 0 else 'blue'
label = '+Q' if q > 0 else '-Q'
axes[0].plot(r_q[0], r_q[1], 'o', color=color, markersize=15,
markeredgecolor='black', markeredgewidth=1.5, label=label)
axes[0].set_xlabel('x [m]')
axes[0].set_ylabel('y [m]')
axes[0].set_title('Electric Field Lines (Dipole)')
axes[0].set_aspect('equal')
axes[0].legend()
# 中央: 電位（等高線）
V_clipped = np.clip(V_total, -50, 50)
contour = axes[1].contourf(X, Y, V_clipped, levels=40, cmap='RdBu_r')
axes[1].contour(X, Y, V_clipped, levels=20, colors='black', linewidths=0.3, alpha=0.5)
plt.colorbar(contour, ax=axes[1], label='Potential [V]')
for q, r_q in charges:
color = 'red' if q > 0 else 'blue'
axes[1].plot(r_q[0], r_q[1], 'o', color=color, markersize=15,
markeredgecolor='black', markeredgewidth=1.5)
axes[1].set_xlabel('x [m]')
axes[1].set_ylabel('y [m]')
axes[1].set_title('Electric Potential (Equipotential Lines)')
axes[1].set_aspect('equal')
# 右: 電場と電位の1次元比較（x軸上）
x_line = np.linspace(-3, -1.2, 100)
x_line2 = np.linspace(-0.8, 0.8, 100)
x_line3 = np.linspace(1.2, 3, 100)
for x_seg in [x_line, x_line2, x_line3]:
V_line = np.zeros_like(x_seg)
E_line = np.zeros_like(x_seg)
for q, r_q in charges:
r = np.abs(x_seg - r_q[0])
r = np.maximum(r, 0.05)
V_line += k * q / r
E_line += k * q * (x_seg - r_q[0]) / r**3
axes[2].plot(x_seg, V_line / 1e1, 'b-', linewidth=2,
label='Potential V' if x_seg is x_line else '')
axes[2].plot(x_seg, E_line / 1e2, 'r-', linewidth=2,
label='Field Ex' if x_seg is x_line else '')
axes[2].axhline(y=0, color='gray', linestyle='-', alpha=0.3)
axes[2].set_xlabel('x [m]')
axes[2].set_ylabel('Normalized Value')
axes[2].set_title('E-field and Potential along x-axis')
axes[2].legend()
axes[2].set_ylim(-100, 100)
axes[2].grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()
左のグラフでは電気双極子（正電荷と負電荷のペア）の電気力線を描いています。電気力線は正電荷から出て負電荷に入ります。中央のグラフでは等電位線を描いています。等電位線が電気力線に垂直であることが確認できます。右のグラフでは、x軸上の電場と電位の値を比較し、距離依存性の違い（$1/r^2$ vs $1/r$）が視覚的にわかります。
まとめ
本記事では、電場と電位の違いについて解説しました。
- 電場 $\bm{E}$ はベクトル量で「力の場」、電位 $V$ はスカラー量で「エネルギーの場」を表す
- 点電荷の電場は $1/r^2$ で減衰し、電位は $1/r$ で減衰する
- 電場は電位の負の勾配 $\bm{E} = -\nabla V$ で関連づけられる
- 等電位面と電気力線は常に垂直の関係にある
- 複数電荷の場合、電位はスカラーの足し算で計算できるため実用上便利である
次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。