誘電率（Permittivity）は、物質が電場に対してどのように応答するかを表す物理量です。電磁波の伝搬速度、コンデンサの容量、アンテナの設計など、電気・電子工学のあらゆる分野で登場する基本概念です。

本記事では、誘電率の定義から物理的な直感、数学的な取り扱い、そしてPythonによる可視化までを解説します。

本記事の内容

• 誘電率の定義と物理的な意味
• 真空の誘電率と比誘電率
• 誘電分極のメカニズム
• 複素誘電率と損失
• Pythonでのシミュレーション

前提知識

この記事を読む前に、以下の概念を理解しておくと読みやすくなります。

• 電場の基本的な定義
• クーロンの法則

誘電率とは

誘電率 $\varepsilon$ は、物質中に電場を加えたとき、物質がどの程度「電気的に分極するか」を表す定数です。

大雑把に言うと、誘電率が大きい物質ほど、電場をかけたときに内部の電荷が大きく偏り、電場を弱める効果が強くなります。

真空の誘電率

まず、真空の誘電率 $\varepsilon_0$ について確認しましょう。これはクーロンの法則に現れる基本定数です。

$$ \begin{equation} F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \end{equation} $$

真空の誘電率の値は

$$ \begin{equation} \varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \quad [\text{F/m}] \end{equation} $$

です。単位はファラド毎メートル（F/m）です。

比誘電率

物質の誘電率 $\varepsilon$ は、真空の誘電率 $\varepsilon_0$ との比で表すことが多く、これを比誘電率 $\varepsilon_r$ と呼びます。

$$ \begin{equation} \varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0 \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \varepsilon_r = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} \end{equation} $$

代表的な材料の比誘電率を以下に示します。

水の比誘電率が80と非常に大きいのは、水分子が大きな永久双極子モーメントを持っているためです。

誘電分極のメカニズム

物質に電場 $\bm{E}$ を加えると、内部の電荷が偏り分極 $\bm{P}$ が生じます。この関係は次のように表されます。

$$ \begin{equation} \bm{P} = \varepsilon_0 \chi_e \bm{E} \end{equation} $$

ここで $\chi_e$ は電気感受率（Electric Susceptibility）で、比誘電率との関係は

$$ \begin{equation} \varepsilon_r = 1 + \chi_e \end{equation} $$

です。

分極のメカニズムには主に以下の4種類があります。

1. 電子分極: 電場により原子内の電子雲が変位（全ての物質で生じる、周波数 $\sim 10^{15}$ Hz）
2. イオン分極: イオン結晶中の正負イオンが相対的に変位（周波数 $\sim 10^{13}$ Hz）
3. 配向分極: 永久双極子モーメントを持つ分子が電場方向に配向（周波数 $\sim 10^{9}$ Hz）
4. 界面分極: 異なる材料の界面に電荷が蓄積（周波数 $\sim 10^{3}$ Hz）

電束密度と誘電率

電束密度 $\bm{D}$ は、真空中の電場と分極の効果を合わせた量です。

$$ \begin{equation} \bm{D} = \varepsilon_0 \bm{E} + \bm{P} = \varepsilon_0(1 + \chi_e)\bm{E} = \varepsilon \bm{E} \end{equation} $$

この関係はマクスウェル方程式の中で重要な役割を果たします。ガウスの法則は

$$ \begin{equation} \nabla \cdot \bm{D} = \rho_f \end{equation} $$

と書かれ、ここで $\rho_f$ は自由電荷密度です。誘電体内部では束縛電荷を含めた全電荷密度は

$$ \begin{equation} \nabla \cdot \bm{E} = \frac{\rho_f + \rho_b}{\varepsilon_0} \end{equation} $$

ですが、$\bm{D}$ を使うことで束縛電荷を陽に扱わずに済みます。

複素誘電率

実際の材料では、交流電場に対して分極の応答に遅れ（位相差）が生じます。これを表現するために複素誘電率を導入します。

$$ \begin{equation} \varepsilon(\omega) = \varepsilon'(\omega) – j\varepsilon”(\omega) \end{equation} $$

• $\varepsilon’$：実部（蓄積されるエネルギーに対応）
• $\varepsilon”$：虚部（損失に対応）

損失正接（tan $\delta$）は材料の損失の指標です。

$$ \begin{equation} \tan \delta = \frac{\varepsilon”}{\varepsilon’} \end{equation} $$

Debyeモデル

配向分極の周波数依存性を記述する代表的なモデルがDebyeモデルです。

$$ \begin{equation} \varepsilon(\omega) = \varepsilon_\infty + \frac{\varepsilon_s – \varepsilon_\infty}{1 + j\omega\tau} \end{equation} $$

ここで、

• $\varepsilon_s$：静的誘電率（$\omega \to 0$ での値）
• $\varepsilon_\infty$：光学誘電率（$\omega \to \infty$ での値）
• $\tau$：緩和時間

実部と虚部に分離すると

$$ \begin{align} \varepsilon'(\omega) &= \varepsilon_\infty + \frac{\varepsilon_s – \varepsilon_\infty}{1 + \omega^2\tau^2} \\ \varepsilon”(\omega) &= \frac{(\varepsilon_s – \varepsilon_\infty)\omega\tau}{1 + \omega^2\tau^2} \end{align} $$

となります。$\varepsilon”$ は $\omega = 1/\tau$ で最大値を取ります。

Pythonでの実装

Debyeモデルによる複素誘電率の周波数依存性を可視化します。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Debyeモデルのパラメータ（水を模擬）
eps_s = 80.0      # 静的誘電率
eps_inf = 4.0     # 光学誘電率
tau = 8.3e-12     # 緩和時間 [s]（水: 約8.3 ps）

# 周波数範囲
freq = np.logspace(7, 13, 1000)  # 10 MHz 〜 10 THz
omega = 2 * np.pi * freq

# Debyeモデル
eps_prime = eps_inf + (eps_s - eps_inf) / (1 + (omega * tau)**2)
eps_double_prime = (eps_s - eps_inf) * omega * tau / (1 + (omega * tau)**2)
tan_delta = eps_double_prime / eps_prime

# 電磁波の伝搬速度
c0 = 3e8  # 真空中の光速
v_phase = c0 / np.sqrt(eps_prime)

# 可視化
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 10))

# 左上: 複素誘電率の実部・虚部
axes[0, 0].semilogx(freq, eps_prime, 'b-', linewidth=2, label="$\\varepsilon'$ (real part)")
axes[0, 0].semilogx(freq, eps_double_prime, 'r-', linewidth=2, label="$\\varepsilon''$ (imaginary part)")
axes[0, 0].axvline(x=1/(2*np.pi*tau), color='gray', linestyle='--', alpha=0.5,
                   label=f'$f_r$ = {1/(2*np.pi*tau):.2e} Hz')
axes[0, 0].set_xlabel('Frequency [Hz]')
axes[0, 0].set_ylabel('Relative Permittivity')
axes[0, 0].set_title('Debye Model: Complex Permittivity')
axes[0, 0].legend()
axes[0, 0].grid(True, alpha=0.3)

# 右上: 損失正接
axes[0, 1].semilogx(freq, tan_delta, 'g-', linewidth=2)
axes[0, 1].axvline(x=1/(2*np.pi*tau), color='gray', linestyle='--', alpha=0.5)
axes[0, 1].set_xlabel('Frequency [Hz]')
axes[0, 1].set_ylabel('tan $\\delta$')
axes[0, 1].set_title('Loss Tangent')
axes[0, 1].grid(True, alpha=0.3)

# 左下: Cole-Coleプロット
axes[1, 0].plot(eps_prime, eps_double_prime, 'purple', linewidth=2)
axes[1, 0].set_xlabel("$\\varepsilon'$")
axes[1, 0].set_ylabel("$\\varepsilon''$")
axes[1, 0].set_title('Cole-Cole Plot')
axes[1, 0].set_aspect('equal')
axes[1, 0].grid(True, alpha=0.3)

# 右下: 位相速度
axes[1, 1].semilogx(freq, v_phase / 1e6, 'm-', linewidth=2)
axes[1, 1].set_xlabel('Frequency [Hz]')
axes[1, 1].set_ylabel('Phase Velocity [Mm/s]')
axes[1, 1].set_title('Phase Velocity in Medium')
axes[1, 1].grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

左上のグラフでは、周波数の増加とともに実部 $\varepsilon’$ が減少し（誘電分散）、虚部 $\varepsilon”$ が緩和周波数 $f_r = 1/(2\pi\tau)$ でピークを取る様子が確認できます。左下のCole-Coleプロットでは、Debyeモデルが半円を描くことがわかります。

コンデンサへの応用

平行平板コンデンサの静電容量は誘電率に直接依存します。

$$ \begin{equation} C = \varepsilon_r \varepsilon_0 \frac{A}{d} \end{equation} $$

ここで $A$ は極板の面積、$d$ は極板間の距離です。誘電体を挿入することで、真空時の $\varepsilon_r$ 倍の容量が得られます。

まとめ

本記事では、誘電率について解説しました。

• 誘電率 $\varepsilon$ は物質が電場に対してどの程度分極するかを表す物理量である
• 比誘電率 $\varepsilon_r = \varepsilon / \varepsilon_0$ で材料間を比較できる
• 分極のメカニズムには電子分極、イオン分極、配向分極、界面分極の4種類がある
• 交流電場に対しては複素誘電率 $\varepsilon = \varepsilon’ – j\varepsilon”$ で損失を記述する
• Debyeモデルにより、周波数依存性をモデル化できる

次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。

• 電場と電位の違い — 電磁気学の基礎
• 電磁波の伝搬 — 誘電率が電磁波に与える影響