逆行列補題、またの名前をSherman-Morrison-Woodbury(シャーマンモリソン)の公式とも呼ばれている、逆行列の公式を掲載します。
カルマンフィルタ の導出にこの公式が登場し、面食らったため、備忘録として記事にします。
リッジ回帰の計算を高速化する際にも使われたりするそうです。
逆行列補題の公式
Sherman-Morrison-Woodburyの公式
下記の2つの変形が成り立つ。
\begin{equation}
(A + BCD)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}B(DA^{-1} B + C^{-1})^{-1}DA^{-1}
\end{equation}\begin{equation}
(A^{-1} + B^TC^{-1}B)^{-1}B^TC^{-1} = AB^T(BAB^T + C)^{-1}
\end{equation}(1)はともかく、(2)のようないかにも使うシーンがないような公式でも、案外使ったりするんですね。
逆行列補題の公式の証明
証明に関しては、ただ計算するだけなのですが、量が多いため、今後追加する予定です。