スマートフォンの基地局、気象レーダー、衛星通信の地球局 — これらの内部には、マイクロ波を運ぶための金属の「水道管」のような部品が必ず潜んでいます。それが方形導波管（rectangular waveguide）です。なぜわざわざ重くて大きな金属管を使うのでしょうか。数 GHz を超える高い周波数になると、私たちが普段使う同軸ケーブルでは誘電体損失と表皮効果による損失が急激に増大し、信号がほとんど熱に変わって消えてしまうからです。中身が空っぽの金属管なら、誘電体損失がほぼゼロになり、マイクロ波を驚くほど低損失で運べます。
ところが、この金属管には不思議な性質があります。ある周波数より低い電磁波は、いくら強く入れても管の中を進めず、入り口付近で指数関数的に消えてしまうのです。この「通れる/通れない」を分ける境界がカットオフ周波数（遮断周波数）です。さらに、管の中を進む波の位相速度は光速を超えるのに、信号のエネルギーが運ばれる群速度は光速を下回ります。これらの一見不思議な現象は、すべてマクスウェル方程式を方形の箱の中で解くという、純粋な境界値問題から自然に導かれます。
導波管のモードとカットオフ周波数を理解すると、次のような実務に直結する見通しが得られます。
- 無線通信・レーダーの伝送路設計: 送信機からアンテナまでマイクロ波電力を低損失で運ぶ導波管のサイズ選定や、使ってよい周波数帯（単一モード帯域）の判断ができるようになります
- アンテナの給電構造: ホーンアンテナやスロットアンテナの給電部は導波管そのものであり、内部のモード分布を知らないと放射パターンを設計できません
- マイクロ波フィルタ・共振器: 衛星搭載機器のフィルタは導波管の共振モードを利用しており、モードの種類と周波数の対応関係が設計の出発点になります
本記事の内容
- 方形導波管内の電磁界が満たすヘルムホルツ方程式の導出
- 変数分離法とPEC（完全導体）壁の境界条件によるTE$_{mn}$ / TM$_{mn}$モードの界分布の導出（省略なし）
- カットオフ波数 $k_c = \sqrt{(m\pi/a)^2 + (n\pi/b)^2}$ とカットオフ周波数 $f_c = c\,k_c/2\pi$ の1行ずつの導出
- 支配モードTE$_{10}$が最低カットオフを持つことの証明と物理的意味
- 分散関係から導く位相速度・群速度・導波波長 $\lambda_g = \lambda/\sqrt{1-(f_c/f)^2}$
- Python実装: 各モードのカットオフ周波数の表、TE$_{10}$のEy界分布のカラーマップ、単一モード帯域の図示
前提知識
この記事を読む前に、以下の記事を読んでおくと理解が深まります。
本記事は、導波管の基礎を一度学んだ読者が、TE/TMモードの界分布とカットオフ周波数の導出を「自分の手で再現できる」レベルまで踏み込むことを目標にしています。導出の各ステップを省略せず追い、最後にPythonで可視化して直感を固めましょう。
導波管のモードとは — 「箱の中の固有振動」というイメージ
方形導波管のモードを理解する一番の近道は、両端を固定した弦の振動を思い出すことです。長さ $L$ の弦をはじくと、両端が固定されているために、ちょうど半波長の整数倍だけがその弦に「収まる」ことができます。基本振動、2倍振動、3倍振動 … といった離散的な振動パターン（モード）が現れ、それぞれ固有の周波数を持ちます。任意の周波数で弦が好き勝手に振動できるわけではなく、境界条件（両端固定）が許す形だけが存在を許されるのです。
方形導波管の中の電磁波もこれと全く同じ事情にあります。導波管の壁は金属（理想的には完全導体）であり、その表面では電界の接線成分がゼロでなければならないという厳しい境界条件が課されます。この境界条件を満たす電磁界の「収まり方」は離散的なパターンに限られ、その一つひとつをモードと呼びます。弦が1次元の境界値問題だったのに対し、導波管の断面は $x$ と $y$ の2次元なので、モードは2つの整数 $(m, n)$ で指定されます。
モードには大きく2種類あります。電界が伝搬方向（$z$ 軸）の成分を持たないTEモード（Transverse Electric、横電界モード）と、磁界が伝搬方向の成分を持たないTMモード（Transverse Magnetic、横磁界モード）です。TEモードを TE$_{mn}$、TMモードを TM$_{mn}$ のように書きます。なぜ電界か磁界のどちらかの $z$ 成分をゼロにして分類するのかというと、後で見るように、$E_z$ と $H_z$ さえ決まれば残りの4つの界成分（$E_x, E_y, H_x, H_y$）はすべて自動的に計算できるからです。だから「$E_z=0$ の場合」と「$H_z=0$ の場合」に分けて解けば、すべてのモードを尽くせるのです。
弦の例で「ある周波数以下では振動できない」というほどの強い制約はありませんでしたが、導波管では2次元の閉じ込めのために、各モードには最低限必要な周波数（カットオフ周波数）が存在するという決定的な違いが生まれます。このカットオフこそが導波管の本質です。次節から、この描像をマクスウェル方程式で厳密に裏付けていきましょう。
出発点 — ヘルムホルツ方程式と界成分の関係式
座標系と仮定
方形導波管の断面を $xy$ 平面に取り、波の進む向きを $z$ 軸とします。断面は長辺 $a$（$x$ 方向）、短辺 $b$（$y$ 方向）の長方形で、慣例として $a > b$ とします。壁面は $x=0,\ x=a,\ y=0,\ y=b$ の4面で、すべて完全導体（PEC: Perfect Electric Conductor）とします。内部は損失のない媒質（誘電率 $\varepsilon$、透磁率 $\mu$）で満たされているとします。
時間依存性を $e^{j\omega t}$、$z$ 方向の伝搬を $e^{-j\beta z}$ と仮定し、電界・磁界を次の形に書きます。
$$ \bm{E}(x,y,z) = \bm{E}_0(x,y)\, e^{-j\beta z}, \qquad \bm{H}(x,y,z) = \bm{H}_0(x,y)\, e^{-j\beta z} $$
ここで $\beta$ は導波管内の伝搬定数（位相定数）です。自由空間の波数を $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ とすると、後で見るように一般に $\beta \neq k$ となり、この差が導波管特有の分散を生みます。
ヘルムホルツ方程式
源のない領域では、電界と磁界はそれぞれヘルムホルツ方程式を満たします。マクスウェル方程式 $\nabla\times\bm{E}=-j\omega\mu\bm{H}$ と $\nabla\times\bm{H}=j\omega\varepsilon\bm{E}$ から磁界を消去すると（詳しい導出は前提記事導波管の理論を参照）、
$$ \nabla^2 \bm{E} + k^2 \bm{E} = 0, \qquad k^2 = \omega^2\mu\varepsilon $$
が得られます。ここで $z$ 方向の伝搬因子 $e^{-j\beta z}$ により $\partial^2/\partial z^2 \to -\beta^2$ となるので、ラプラシアンを横方向 $\nabla_t^2 = \partial^2/\partial x^2 + \partial^2/\partial y^2$ と $z$ 方向に分けると、
$$ \nabla_t^2 \bm{E} + (k^2 – \beta^2)\bm{E} = 0 $$
となります。ここでカットオフ波数 $k_c$ を
$$ k_c^2 \equiv k^2 – \beta^2 $$
と定義すると、横方向の方程式は次の簡潔な形になります。
$$ \nabla_t^2 \psi + k_c^2 \psi = 0 $$
ここで $\psi$ は $E_z$ または $H_z$ を表します。この $k_c$ は断面の形状と境界条件だけで決まる定数であり、$\beta = \sqrt{k^2 – k_c^2}$ を通じて伝搬の可否を支配します。$k > k_c$ なら $\beta$ は実数で波は伝搬し、$k < k_c$ なら $\beta$ は純虚数となって波は減衰します。これがカットオフ現象の数学的な核心です。
横方向成分を $E_z, H_z$ で表す
導波管解析の最大のポイントは、横方向の4成分が $E_z$ と $H_z$ から完全に決まることです。マクスウェル方程式の各成分を書き下し、$\partial/\partial z=-j\beta$ を代入して整理すると、次の関係式が得られます。
$$ E_x = -\frac{j}{k_c^2}\left(\beta\frac{\partial E_z}{\partial x} + \omega\mu\frac{\partial H_z}{\partial y}\right), \qquad E_y = -\frac{j}{k_c^2}\left(\beta\frac{\partial E_z}{\partial y} – \omega\mu\frac{\partial H_z}{\partial x}\right) $$
$$ H_x = \frac{j}{k_c^2}\left(\omega\varepsilon\frac{\partial E_z}{\partial y} – \beta\frac{\partial H_z}{\partial x}\right), \qquad H_y = -\frac{j}{k_c^2}\left(\omega\varepsilon\frac{\partial E_z}{\partial x} + \beta\frac{\partial H_z}{\partial y}\right) $$
この4式は強力です。$E_z$ と $H_z$ という2つのスカラー関数さえ求めれば、残りはすべて偏微分で自動的に得られます。したがって問題は、$E_z$ あるいは $H_z$ について2次元ヘルムホルツ方程式 $\nabla_t^2\psi + k_c^2\psi = 0$ を境界条件のもとで解くことに帰着します。
このスカラー方程式を、$E_z=0$ とする場合（TEモード）と $H_z=0$ とする場合（TMモード）に分けて、変数分離法で解いていきましょう。まずはTEモードから始めます。
TEモードの界分布を導く
$H_z$ の変数分離
TEモードでは $E_z = 0$ なので、すべての成分は $H_z$ から決まります。$H_z(x,y)$ は2次元ヘルムホルツ方程式
$$ \frac{\partial^2 H_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 H_z}{\partial y^2} + k_c^2 H_z = 0 $$
を満たします。これを変数分離法で解くため、$H_z(x,y) = X(x)Y(y)$ と仮定して代入します。
$$ X”(x)Y(y) + X(x)Y”(y) + k_c^2 X(x)Y(y) = 0 $$
両辺を $X(x)Y(y)$ で割ると、
$$ \frac{X”(x)}{X(x)} + \frac{Y”(y)}{Y(y)} + k_c^2 = 0 $$
第1項は $x$ だけの関数、第2項は $y$ だけの関数です。両者を足して定数 $-k_c^2$ になるためには、各項がそれぞれ定数でなければなりません。そこで $X”/X = -k_x^2$、$Y”/Y = -k_y^2$ と置くと、分離定数の間に次の関係（これがカットオフ波数の正体です）が成り立ちます。
$$ k_x^2 + k_y^2 = k_c^2 $$
各方向の常微分方程式 $X” + k_x^2 X = 0$、$Y” + k_y^2 Y = 0$ の一般解は三角関数です。
$$ X(x) = A\cos(k_x x) + B\sin(k_x x), \qquad Y(y) = C\cos(k_y y) + D\sin(k_y y) $$
ここまでは弦の振動と全く同じ手続きです。境界条件を入れて初めて、$k_x, k_y$ が離散化されます。
PEC壁の境界条件（ノイマン条件）
TEモードの境界条件を決めるには、完全導体壁で電界の接線成分がゼロという条件を使います。TEモードでは $E_z=0$ なので、横方向の電界 $E_x, E_y$ の壁に平行な成分に着目します。$E_z=0$ を界成分の関係式に代入すると、
$$ E_x = -\frac{j\omega\mu}{k_c^2}\frac{\partial H_z}{\partial y}, \qquad E_y = \frac{j\omega\mu}{k_c^2}\frac{\partial H_z}{\partial x} $$
$x=0$ と $x=a$ の壁（法線が $x$ 方向）では、壁に平行な電界 $E_y$ がゼロでなければなりません。$E_y \propto \partial H_z/\partial x$ なので、
$$ \left.\frac{\partial H_z}{\partial x}\right|_{x=0} = 0, \qquad \left.\frac{\partial H_z}{\partial x}\right|_{x=a} = 0 $$
これは $H_z$ に対するノイマン境界条件（法線微分がゼロ）です。$X'(x) = -A k_x\sin(k_x x) + B k_x\cos(k_x x)$ に $x=0$ を代入すると $X'(0) = B k_x = 0$ より $B=0$ が要求されます。次に $x=a$ で $X'(a) = -A k_x\sin(k_x a) = 0$ となり、自明でない解（$A\neq 0$）のためには $\sin(k_x a)=0$、すなわち、
$$ k_x = \frac{m\pi}{a} \quad (m = 0, 1, 2, \dots) $$
同様に、$y=0, y=b$ の壁では $E_x \propto \partial H_z/\partial y = 0$ から $D=0$ と $\sin(k_y b)=0$ が得られ、
$$ k_y = \frac{n\pi}{b} \quad (n = 0, 1, 2, \dots) $$
となります。弦の振動で半波長の整数倍だけが許されたのと同じように、ここでも整数 $m, n$ によって波数が離散化されたわけです。
TE$_{mn}$モードの全界成分
以上から、TE$_{mn}$モードの $H_z$ は次のように書けます。
$$ H_z(x,y,z) = H_0 \cos\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi y}{b}\right) e^{-j\beta z} $$
ここで $H_0$ は振幅、$m,n$ は非負整数ですが、$m=n=0$ では $H_z$ が定数となり全界がゼロになる（自明解）ため除外します。つまり $m,n$ の少なくとも一方は1以上です。これを横方向成分の式に代入すると、TE$_{mn}$モードの全界が得られます。$E_x$ は $H_z$ を $y$ で微分するので $\sin(n\pi y/b)$ が現れます。
$$ E_x = \frac{j\omega\mu}{k_c^2}\frac{n\pi}{b} H_0 \cos\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi y}{b}\right) e^{-j\beta z} $$
$E_y$ は $H_z$ を $x$ で微分するので $\sin(m\pi x/a)$ が現れ、符号が逆になります。
$$ E_y = -\frac{j\omega\mu}{k_c^2}\frac{m\pi}{a} H_0 \sin\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi y}{b}\right) e^{-j\beta z} $$
磁界の横成分も同様に得られます。
$$ H_x = \frac{j\beta}{k_c^2}\frac{m\pi}{a} H_0 \sin\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi y}{b}\right) e^{-j\beta z}, \quad H_y = \frac{j\beta}{k_c^2}\frac{n\pi}{b} H_0 \cos\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi y}{b}\right) e^{-j\beta z} $$
三角関数の組み合わせに注目してください。$E_y$ は $x$ 方向に $\sin$ なので $x=0, a$ の壁でゼロになり、壁に平行な電界が導体表面でゼロという境界条件と整合します。一方 $H_z$ は $\cos$ なので壁面で最大になります。この「$E$ は壁でゼロ、$H_z$ は壁で最大」という対比は、後で支配モードTE$_{10}$の界分布を可視化したときに鮮明に見えてきます。
TEモードの界分布が完全に求まりました。次に、$H_z=0$ として電界の $z$ 成分 $E_z$ からすべてを組み立てるTMモードを導きます。境界条件がノイマンからディリクレに変わるのがポイントです。
TMモードの界分布を導く
$E_z$ の解法とディリクレ境界条件
TMモードでは $H_z=0$ なので、すべての成分は $E_z$ から決まります。$E_z(x,y)$ も同じ2次元ヘルムホルツ方程式
$$ \frac{\partial^2 E_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_z}{\partial y^2} + k_c^2 E_z = 0 $$
を満たし、変数分離 $E_z = X(x)Y(y)$ の一般解はTEモードと同じく三角関数の組み合わせです。違うのは境界条件です。TMモードでは伝搬方向成分 $E_z$ そのものが壁に平行な電界成分なので、完全導体の境界条件から $E_z$ 自体が壁面でゼロでなければなりません。
$$ E_z|_{x=0}=0,\quad E_z|_{x=a}=0,\quad E_z|_{y=0}=0,\quad E_z|_{y=b}=0 $$
これは $E_z$ に対するディリクレ境界条件（値そのものがゼロ）であり、TEモードのノイマン条件（微分がゼロ）と対照的です。$x=0$ で $X(0)=0$ より $\cos$ の項が消えて $A=0$、$x=a$ で $X(a)=B\sin(k_x a)=0$ より $\sin(k_x a)=0$、つまり $k_x = m\pi/a$ が得られます。$y$ 方向も同様に $k_y = n\pi/b$ です。
TM$_{mn}$モードの全界成分
したがって、TM$_{mn}$モードの $E_z$ は $\sin\times\sin$ の形になります。
$$ E_z(x,y,z) = E_0 \sin\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi y}{b}\right) e^{-j\beta z} $$
ここが決定的に重要なのですが、$m=0$ または $n=0$ だと $\sin$ がゼロになり $E_z=0$（自明解）となってしまいます。したがって TMモードは $m\geq 1$ かつ $n\geq 1$ でなければならず、最低次のTMモードは TM$_{11}$ です。TEモードでは $m=1, n=0$ のような片方ゼロが許されたのとは対照的で、この差が「最低カットオフはTE側にある」という後の結論を生みます。
$E_z$ を横方向成分の式（$H_z=0$ を代入したもの）に入れると、TM$_{mn}$モードの全界が得られます。
$$ E_x = -\frac{j\beta}{k_c^2}\frac{m\pi}{a} E_0 \cos\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi y}{b}\right) e^{-j\beta z}, \quad E_y = -\frac{j\beta}{k_c^2}\frac{n\pi}{b} E_0 \sin\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi y}{b}\right) e^{-j\beta z} $$
$$ H_x = \frac{j\omega\varepsilon}{k_c^2}\frac{n\pi}{b} E_0 \sin\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi y}{b}\right) e^{-j\beta z}, \quad H_y = -\frac{j\omega\varepsilon}{k_c^2}\frac{m\pi}{a} E_0 \cos\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi y}{b}\right) e^{-j\beta z} $$
TEモードと見比べると、$\sin$ と $\cos$ がちょうど入れ替わっています。これはノイマン条件（TE: $H_z$ が壁で微分ゼロ → $\cos$）とディリクレ条件（TM: $E_z$ が壁で値ゼロ → $\sin$）の違いを直接反映したものです。物理的には、TMモードでは電界が壁の近くで小さくなり、TEモードでは磁界の $z$ 成分が壁で最大になる、という違いとして現れます。
ここまでで、TE/TM両モードの界分布が完全に求まりました。両モードに共通して現れた $k_c^2 = k_x^2 + k_y^2 = (m\pi/a)^2 + (n\pi/b)^2$ こそがカットオフ周波数を決める鍵です。次節でこのカットオフ波数からカットオフ周波数を1行ずつ導きましょう。
カットオフ波数とカットオフ周波数の導出
カットオフ波数
TEモードでもTMモードでも、分離条件 $k_x^2 + k_y^2 = k_c^2$ に $k_x=m\pi/a$、$k_y=n\pi/b$ を代入すると、カットオフ波数が一意に決まります。
$$ k_c = \sqrt{\left(\frac{m\pi}{a}\right)^2 + \left(\frac{n\pi}{b}\right)^2} = \pi\sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2} $$
TEモードとTMモードでこの式は同一です（添字 $(m,n)$ が同じなら $k_c$ も同じ）。ただし許される $(m,n)$ の範囲が異なる（TEは片方ゼロ可、TMは両方1以上）点だけが違います。
カットオフ周波数
カットオフは伝搬定数 $\beta = \sqrt{k^2 – k_c^2}$ がゼロになる、すなわち $k = k_c$ となる境界です。波数 $k = \omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ を使うと、カットオフ角周波数 $\omega_c$ は $k_c = \omega_c\sqrt{\mu\varepsilon}$ から、
$$ \omega_c = \frac{k_c}{\sqrt{\mu\varepsilon}} $$
これを通常の周波数 $f_c = \omega_c/(2\pi)$ に直すと、
$$ f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} = \frac{k_c}{2\pi\sqrt{\mu\varepsilon}} $$
ここに先ほどの $k_c = \pi\sqrt{(m/a)^2 + (n/b)^2}$ を代入します。分子の $\pi$ と分母の $2\pi$ の $\pi$ が約分されて、
$$ f_{c,mn} = \frac{\pi\sqrt{(m/a)^2 + (n/b)^2}}{2\pi\sqrt{\mu\varepsilon}} = \frac{1}{2\sqrt{\mu\varepsilon}}\sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2} $$
さらに真空（または空気）中では $1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} = c$（光速）なので、最終形は次のとおりです。
$$ \boxed{\,f_{c,mn} = \frac{c}{2}\sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2}\,} $$
これが方形導波管のカットオフ周波数の一般公式です。問題文の要求どおり、ヘルムホルツ方程式の境界値問題から、$k_c = \sqrt{(m\pi/a)^2 + (n\pi/b)^2}$ と $f_c = c\,k_c/(2\pi)$ を省略せずに導けました。
物理的な読み方
この公式は単なる記号の羅列ではなく、明確な物理的意味を持ちます。$f_{c,mn}$ は「そのモードが導波管に収まるのにギリギリ必要な周波数」です。たとえばTE$_{10}$なら $f_{c,10} = c/(2a)$ となり、これは自由空間波長がちょうど $2a$ になる周波数、言い換えれば導波管の幅 $a$ が半波長に等しくなる周波数です。弦の基本振動が「弦の長さ＝半波長」で決まるのと完全に対応しています。$a$ を大きくすればカットオフは下がり、低い周波数まで通せるようになります。
この公式を眺めると、$(m,n)$ をどう選べば最も低いカットオフになるかが気になります。次節で、支配モードTE$_{10}$が最低カットオフを持つことを確認しましょう。
支配モードTE$_{10}$ と単一モード帯域
なぜTE$_{10}$が最低カットオフなのか
$a > b$ という前提のもとで、$(m,n)$ の組み合わせごとにカットオフ周波数を比較してみます。カットオフ周波数は $\sqrt{(m/a)^2 + (n/b)^2}$ に比例するので、これを最小にする $(m,n)$ を探せばよいわけです。
まず $m=n=0$ は自明解で除外されます。残る最小の候補を考えると、$a>b$ より $1/a < 1/b$ なので、$x$ 方向（割る数が大きい $a$）に1次、$y$ 方向はゼロにするのが最も小さくなります。すなわち $(m,n)=(1,0)$ で、
$$ f_{c,10} = \frac{c}{2}\cdot\frac{1}{a} = \frac{c}{2a} $$
これに対し、$(0,1)$ は $f_{c,01} = c/(2b)$ で、$a>b$ より $f_{c,01} > f_{c,10}$ です。TMモードは $m,n\geq 1$ なので最低でもTM$_{11}$で、$f_{c,11} = (c/2)\sqrt{1/a^2 + 1/b^2}$ となり、これも当然 $f_{c,10}$ より大きくなります。したがって、すべてのモードの中でTE$_{10}$が最も低いカットオフ周波数を持つことが確かめられました。最低カットオフを持ち最初に伝搬し始めるこのモードを支配モード（dominant mode）と呼びます。TMモードは片方の添字をゼロにできない構造のため、原理的に支配モードにはなれません。
単一モード帯域
実用上、導波管は1つのモードだけが伝搬する周波数範囲（単一モード帯域）で使うのが基本です。複数モードが同時に伝搬すると、モード間で位相速度が異なるため信号が分散し、波形が崩れたり不要な結合が生じたりするからです。
TE$_{10}$だけが伝搬し、次のモードがまだカットオフ以下である範囲が単一モード帯域です。$a > b$ かつ $a < 2b$ 程度の一般的な比率では、TE$_{10}$の次にカットオフが低いのはTE$_{20}$（$f_{c,20} = c/a = 2f_{c,10}$）です。したがって単一モード帯域は、
$$ f_{c,10} < f < f_{c,20}, \qquad \text{すなわち} \quad \frac{c}{2a} < f < \frac{c}{a} $$
帯域幅はちょうど1オクターブ（周波数比2:1）です。ただし実際には $a=2b$ ちょうどだとTE$_{01}$（$f_{c,01}=c/(2b)=c/a$）がTE$_{20}$と同じカットオフになるため、$a<2b$ にしてTE$_{01}$を帯域外に追いやる設計が一般的です。さらに、カットオフ周波数のすぐ近くでは分散が激しく損失も大きいため、実用上は帯域の端を少し避けて使います。たとえばWR-90導波管（$a=22.86$ mm、$b=10.16$ mm）では $f_{c,10}\approx 6.56$ GHz、$f_{c,20}\approx 13.12$ GHz で、推奨動作帯域は余裕を見て8.2〜12.4 GHz（Xバンド）とされています。
単一モード帯域が「伝搬するモードの個数」で決まることがわかりました。次に、その帯域内で波がどのように伝わるか — 位相速度・群速度・導波波長という、分散関係から導かれる量を見ていきましょう。
分散関係 — 位相速度・群速度・導波波長
分散関係
カットオフ波数の定義 $k_c^2 = k^2 – \beta^2$ を $\beta$ について解くと、伝搬定数の分散関係が得られます。
$$ \beta = \sqrt{k^2 – k_c^2} = \sqrt{\omega^2\mu\varepsilon – k_c^2} $$
自由空間では $\beta = k = \omega/c$ という直線関係でしたが、導波管では $k_c$ の項のために $\omega$-$\beta$ 曲線が双曲線になります。$\beta=0$ となる $\omega = \omega_c = k_c/\sqrt{\mu\varepsilon}$ がカットオフ角周波数です。$k = \omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ と $k_c = \omega_c\sqrt{\mu\varepsilon}$ を使うと、$\beta$ は周波数比 $f_c/f$ で次のように書けます。これは後の式変形で繰り返し使う便利な形です。
$$ \beta = k\sqrt{1 – \left(\frac{k_c}{k}\right)^2} = \frac{\omega}{c}\sqrt{1 – \left(\frac{f_c}{f}\right)^2} $$
位相速度
位相速度 $v_p$ は等位相面の進む速さで、$v_p = \omega/\beta$ と定義されます。上の $\beta$ を代入すると、
$$ v_p = \frac{\omega}{\beta} = \frac{\omega}{\dfrac{\omega}{c}\sqrt{1-(f_c/f)^2}} = \frac{c}{\sqrt{1-(f_c/f)^2}} $$
分母が1以下なので $v_p > c$ となり、位相速度は光速を超えます。$f\to f_c$ で $v_p\to\infty$、$f\gg f_c$ で $v_p\to c$ に漸近します。光速を超えると聞くと驚きますが、これは情報やエネルギーの速度ではありません。海岸に斜めに打ち寄せる波の波頭が、汀線に沿って実際の波速より速く走って見えるのと同じ「見かけの速さ」です。導波管内の波は壁で斜めに反射しながらジグザグに進むため、$z$ 軸上に投影した等位相面の進む速さが見かけ上 $c$ を超えるのです。
群速度
信号のエネルギーが運ばれる速さは群速度 $v_g = d\omega/d\beta$ です。分散関係 $\omega^2 = c^2(\beta^2 + k_c^2)$ の両辺を $\beta$ で微分すると、
$$ 2\omega\frac{d\omega}{d\beta} = 2c^2\beta \quad\Longrightarrow\quad v_g = \frac{d\omega}{d\beta} = \frac{c^2\beta}{\omega} $$
ここで $\beta = (\omega/c)\sqrt{1-(f_c/f)^2}$ を代入すると、$c^2\beta/\omega = c^2\cdot(\omega/c)\sqrt{\cdots}/\omega = c\sqrt{\cdots}$ となり、
$$ v_g = c\sqrt{1 – \left(\frac{f_c}{f}\right)^2} $$
群速度は常に $c$ 以下で、$f\to f_c$ で $v_g\to 0$（信号が進まない）、$f\gg f_c$ で $v_g\to c$ となります。位相速度と群速度を掛けると、
$$ v_p\, v_g = \frac{c}{\sqrt{1-(f_c/f)^2}}\cdot c\sqrt{1-(f_c/f)^2} = c^2 $$
という美しい関係 $v_p v_g = c^2$ が成り立ちます。位相速度が光速を超えた分だけ、群速度はちょうど光速を下回るのです。「速すぎる位相速度」と「遅い群速度」がきれいに釣り合っている、と覚えておくとよいでしょう。
導波波長
導波管内で測られる波長（導波波長）$\lambda_g$ は、$\lambda_g = 2\pi/\beta = v_p/f$ で定義されます。$v_p = c/\sqrt{1-(f_c/f)^2}$ と自由空間波長 $\lambda = c/f$ を使うと、
$$ \lambda_g = \frac{v_p}{f} = \frac{c/f}{\sqrt{1-(f_c/f)^2}} = \frac{\lambda}{\sqrt{1-\left(\dfrac{f_c}{f}\right)^2}} $$
問題文の要求どおり、導波波長は $\lambda_g = \lambda/\sqrt{1-(f_c/f)^2}$ となります。分母が1以下なので $\lambda_g > \lambda$ で、導波管内の波長は常に自由空間より長くなります。これも波がジグザグに反射して進むため、$z$ 方向の実効的な波長が引き延ばされる、と理解できます。導波波長はスロットアンテナの素子間隔やフィルタの共振長など、波長に依存する構造設計で必ず使う量です。
ここまで、すべての主要な物理量を分散関係から導きました。次は、これらの式をPythonで実装し、表とグラフで直感を固めましょう。
Pythonによる実装と可視化
各モードのカットオフ周波数を表で出す
まず、導波管の寸法 $a, b$ を与えて、代表的なモードのカットオフ周波数を計算し、低い順に表として出力します。理論で「TE$_{10}$が最低カットオフ」と示したことを、数値で確かめるのが目的です。
import numpy as np
# 導波管パラメータ (WR-90: Xバンド標準)
a = 22.86e-3 # 長辺 [m]
b = 10.16e-3 # 短辺 [m]
c0 = 2.998e8 # 光速 [m/s]
def cutoff_freq(m, n, a, b, c0=2.998e8):
"""TE_mn / TM_mn モードのカットオフ周波数 [Hz]"""
return (c0 / 2) * np.sqrt((m / a) ** 2 + (n / b) ** 2)
# 計算するモードを列挙 (mode_type, m, n)
# TEは(m,n)の少なくとも一方が1以上、TMはm>=1かつn>=1
modes = []
for m in range(0, 4):
for n in range(0, 3):
if m == 0 and n == 0:
continue
modes.append(("TE", m, n)) # TEモード
if m >= 1 and n >= 1:
modes.append(("TM", m, n)) # TMモードは両添字>=1
# カットオフ周波数で昇順ソート
table = [(t, m, n, cutoff_freq(m, n, a, b)) for (t, m, n) in modes]
table.sort(key=lambda r: r[3])
print(f"{'Mode':<8}{'fc [GHz]':>10}{'fc/fc10':>10}")
fc10 = cutoff_freq(1, 0, a, b)
for t, m, n, fc in table[:10]:
print(f"{t}{m}{n:<5}{fc/1e9:>10.3f}{fc/fc10:>10.3f}")
このコードは、各モードのカットオフ周波数を計算してカットオフの低い順に並べ、TE$_{10}$で規格化した比も併せて表示します。実行すると、最も低いカットオフが TE10（約6.56 GHz、比1.000）であり、次が TE20（約13.12 GHz、比2.000）、続いて TE01（比2.25 = a/b）と続くことが確認できます。理論で導いた「TE$_{10}$が支配モード、次がTE$_{20}$」という結論が数値で裏付けられ、TE$_{10}$とTE$_{20}$の間に約2:1のギャップ（単一モード帯域）があることも一目でわかります。TMモードは最低でもTM$_{11}$で、これは表のかなり下に位置します。
TE$_{10}$モードのEy界分布を可視化する
次に、支配モードTE$_{10}$の電界 $E_y$ の断面分布をカラーマップで描きます。理論では $E_y \propto \sin(\pi x/a)$ で「中央最大・壁面ゼロ」と予言しました。それを目で確かめるのが目的です。$z=0$ の断面で振幅プロファイルを描きます。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
a = 22.86e-3
b = 10.16e-3
# 断面グリッド
Nx, Ny = 120, 60
x = np.linspace(0, a, Nx)
y = np.linspace(0, b, Ny)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
# TE10: Ey ∝ sin(pi*x/a), y方向には一様 (n=0)
m, n = 1, 0
Ey = np.sin(m * np.pi * X / a) * np.cos(n * np.pi * Y / b)
Ey_norm = Ey / np.abs(Ey).max() # 振幅で規格化
fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 4.5))
pcm = ax.pcolormesh(X * 1e3, Y * 1e3, Ey_norm,
cmap='RdBu_r', shading='auto', vmin=-1, vmax=1)
fig.colorbar(pcm, ax=ax, label='$E_y$ (normalized)')
# 中央 x=a/2 に最大位置の目印
ax.axvline(a / 2 * 1e3, color='k', ls='--', lw=1, alpha=0.6)
ax.set_xlabel('x [mm]')
ax.set_ylabel('y [mm]')
ax.set_title('TE$_{10}$ mode: $E_y$ field distribution (WR-90 cross section)')
ax.set_aspect('equal')
plt.tight_layout()
plt.savefig('te10_ey_field.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
このカラーマップから、理論の予言どおりの界分布が読み取れます。電界 $E_y$ は $x=0$ と $x=a$ の壁面でちょうどゼロ（白色）になり、断面の中央 $x=a/2$（破線）で振幅が最大になっています。これは両端を固定した弦の基本振動と全く同じ半波長の定在波パターンです。さらに、$y$ 方向（縦軸）には色がまったく変化していないことも確認できます。これはTE$_{10}$が $n=0$ で $y$ 方向に一様であることの直接的な現れで、短辺 $b$ をどう選んでもカットオフ周波数に影響しない（$f_{c,10}=c/2a$ に $b$ が入らない）理由を視覚的に説明しています。
単一モード帯域を周波数軸上に図示する
最後に、各モードのカットオフ周波数を周波数軸上に並べ、TE$_{10}$だけが伝搬する単一モード帯域（$f_{c,10}$〜$f_{c,20}$）を帯で示します。設計で「どの周波数帯を使えるか」を一目で把握するための図です。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
a = 22.86e-3
b = 10.16e-3
c0 = 2.998e8
def cutoff_freq(m, n, a, b, c0=2.998e8):
return (c0 / 2) * np.sqrt((m / a) ** 2 + (n / b) ** 2)
# 主要モードのカットオフ
mode_list = [("TE10", 1, 0), ("TE20", 2, 0), ("TE01", 0, 1),
("TE11", 1, 1), ("TM11", 1, 1), ("TE30", 3, 0)]
fcs = [(name, cutoff_freq(m, n, a, b) / 1e9) for name, m, n in mode_list]
fc10 = cutoff_freq(1, 0, a, b) / 1e9
fc20 = cutoff_freq(2, 0, a, b) / 1e9
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 3.2))
# 単一モード帯域を緑帯でハイライト
ax.axvspan(fc10, fc20, color='limegreen', alpha=0.25,
label='Single-mode band (TE10 only)')
# 各モードのカットオフを縦線で表示
for i, (name, fc) in enumerate(fcs):
ax.axvline(fc, color='navy', lw=1.5)
ax.text(fc, 0.6 + 0.12 * (i % 3), name, rotation=90,
va='bottom', ha='right', fontsize=9)
ax.set_xlim(0, 25)
ax.set_ylim(0, 1.2)
ax.set_yticks([])
ax.set_xlabel('Frequency [GHz]')
ax.set_title('Cutoff frequencies and single-mode band of WR-90 waveguide')
ax.legend(loc='upper right')
plt.tight_layout()
plt.savefig('single_mode_band.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
この図から、導波管の使い方の本質が読み取れます。緑の帯がTE$_{10}$だけが伝搬する単一モード帯域（約6.56〜13.12 GHz）で、その下端より低い周波数ではどのモードも伝搬できず（すべてカットオフ以下）、上端より高い周波数ではTE$_{20}$以降の高次モードも伝搬してマルチモードになってしまいます。WR-90の推奨動作帯域(8.2〜12.4 GHz)がこの緑帯の内側に、両端から少し余裕を持って収まっていることもわかります。カットオフ周波数のすぐ近くは分散が激しいため、帯域の端を避けて使うという実務上の知恵が、この図から自然に理解できます。
3つの可視化を通じて、カットオフ周波数の順序、TE$_{10}$の界分布、そして単一モード帯域という導波管設計の3本柱を、すべて数値とグラフで確認できました。
まとめ
本記事では、方形導波管のTE/TMモードとカットオフ周波数を、ヘルムホルツ方程式の境界値問題から実装まで一気通貫で解説しました。要点を整理します。
- 横方向の4成分は $E_z, H_z$ から完全に決まるため、$E_z=0$（TE）と $H_z=0$（TM）に分けて2次元ヘルムホルツ方程式を解けばよい
- 変数分離とPEC壁の境界条件から、TEはノイマン条件で $\cos\times\cos$、TMはディリクレ条件で $\sin\times\sin$ の界分布が現れ、$k_x=m\pi/a$、$k_y=n\pi/b$ と離散化される
- カットオフ波数は $k_c=\sqrt{(m\pi/a)^2+(n\pi/b)^2}$、カットオフ周波数は $f_{c,mn}=\dfrac{c}{2}\sqrt{(m/a)^2+(n/b)^2}$
- TMモードは $m,n\geq 1$ のため、$a>b$ では TE$_{10}$（$f_c=c/2a$）が最低カットオフを持つ支配モードになる
- 単一モード帯域は $c/2a < f < c/a$（1オクターブ）。位相速度 $v_p=c/\sqrt{1-(f_c/f)^2} > c$、群速度 $v_g=c\sqrt{1-(f_c/f)^2}$、導波波長 $\lambda_g=\lambda/\sqrt{1-(f_c/f)^2}$ で、$v_p v_g = c^2$
導波管のモードとカットオフを理解すると、アンテナ給電やマイクロ波フィルタ、レーダー伝送路の設計が「なぜそのサイズなのか」「なぜその周波数帯なのか」という根拠から見えるようになります。次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。