確率分布を調べたいとき、確率質量関数や確率密度関数を直接扱うのが最も素朴な方法です。しかし、「独立な確率変数の和の分布を求めたい」「分布の平均や分散を効率的に計算したい」「ある分布が別の分布と同じであることを証明したい」といった場面では、分布を直接操作するのは困難なことがあります。
そこで登場するのが母関数（generating function）という道具です。母関数は確率分布を「関数に変換」する技法であり、変換後の世界では畳み込みが単なる積に、モーメントの計算が微分に変わります。ラプラス変換やフーリエ変換が微分方程式を代数方程式に変えるのと同じ発想です。
母関数を理解すると、以下のような応用が可能になります。
- 和の分布の計算: 独立な確率変数の和の分布を、母関数の積として求める
- モーメントの導出: 期待値、分散、歪度、尖度を微分で体系的に計算する
- 分布の一意的特定: 母関数が一致すれば分布も一致する — 分布の同定に使える
- 中心極限定理の証明: 特性関数を用いたCLTの証明
本記事の内容
- 確率母関数（PGF）の定義と性質
- 積率母関数（MGF）の定義と性質
- 特性関数の定義と性質
- 3つの母関数の関係
- モーメントの計算方法
- Pythonでの実装と可視化
前提知識
この記事を読む前に、以下の概念を理解しておくとスムーズです。
確率母関数（PGF）
定義と直感
確率母関数（Probability Generating Function, PGF）は、非負整数値を取る離散確率変数に特化した母関数です。
非負整数値の確率変数 $X$（$P(X = k) = p_k$, $k = 0, 1, 2, \ldots$）に対して
$$ \begin{equation} G_X(s) = E[s^X] = \sum_{k=0}^{\infty} p_k s^k \end{equation} $$
「確率母関数」という名前は、この関数が確率分布の情報を「生成する（generate）」ことに由来します。$G_X(s)$ のべき級数展開の係数がそのまま確率 $p_k$ になるのです。
PGFを多項式のように考えると直感的です。$X$ が値 $0, 1, 2, \ldots$ を取る確率を「べき級数の係数」として詰め込んだ多項式（あるいは級数）がPGFです。$s$ は単なる「ラベル」で、$s^k$ の係数として $p_k$ が読み出せます。
PGFの基本性質
正規化: $G_X(1) = \sum_k p_k = 1$（確率の合計は1）
確率の復元: $p_k = \frac{G_X^{(k)}(0)}{k!}$（$k$ 回微分して $s=0$ を代入）
期待値: $E[X] = G_X'(1)$
分散: $\text{Var}(X) = G_X”(1) + G_X'(1) – [G_X'(1)]^2$
期待値の導出
$G_X'(s) = \sum_{k=1}^{\infty} k p_k s^{k-1}$ なので、$s = 1$ を代入すると
$$ G_X'(1) = \sum_{k=0}^{\infty} k p_k = E[X] $$
同様に、$G_X”(1) = E[X(X-1)]$（階乗モーメント）であり
$$ \text{Var}(X) = E[X^2] – (E[X])^2 = E[X(X-1)] + E[X] – (E[X])^2 = G_X”(1) + G_X'(1) – [G_X'(1)]^2 $$
和の分布
PGFの最も強力な性質は、独立な確率変数の和のPGFが各PGFの積になることです。
$X$ と $Y$ が独立のとき
$$ G_{X+Y}(s) = E[s^{X+Y}] = E[s^X s^Y] = E[s^X] E[s^Y] = G_X(s) G_Y(s) $$
畳み込み（和の分布を求める計算）が、PGFの世界では単なる掛け算に変わるのです。
主要な分布のPGF
| 分布 | PGF $G_X(s)$ |
|---|---|
| ベルヌーイ$(p)$ | $1 – p + ps$ |
| 二項$(n, p)$ | $(1 – p + ps)^n$ |
| ポアソン$(\lambda)$ | $e^{\lambda(s-1)}$ |
| 幾何$(p)$ | $\frac{ps}{1 – (1-p)s}$ |
二項分布のPGFがベルヌーイのPGFの $n$ 乗であることに注目してください。これは二項分布が $n$ 個の独立なベルヌーイ変数の和であることを反映しています。
PGFは非負整数値の確率変数に限定されていました。連続確率変数にも対応できるのが、次に見る積率母関数です。
積率母関数（MGF）
定義と直感
積率母関数（Moment Generating Function, MGF）は、任意の確率変数に対して定義できます。
$$ \begin{equation} M_X(t) = E[e^{tX}] \end{equation} $$
$e^{tX}$ をテイラー展開すると
$$ M_X(t) = E\left[\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(tX)^k}{k!}\right] = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{E[X^k]}{k!} t^k $$
つまり、MGFのテイラー展開の $k$ 次の係数に $E[X^k]/k!$ が含まれているのです。「積率（モーメント）を生成する関数」という名前の由来がここにあります。
モーメントの計算
MGFを $t = 0$ で $k$ 回微分すると、$k$ 次のモーメントが得られます。
$$ M_X^{(k)}(0) = E[X^k] $$
特に
$$ E[X] = M_X'(0), \quad E[X^2] = M_X”(0) $$
$$ \text{Var}(X) = M_X”(0) – [M_X'(0)]^2 $$
これはモーメントの計算を「積分」から「微分」に変換する強力な技法です。
MGFの存在条件
PGFと異なり、MGFは常に存在するとは限りません。$E[e^{tX}]$ が $t = 0$ のある近傍 $(-h, h)$ で有限な値を取る場合にのみ存在します。
裾が重い分布（コーシー分布、対数正規分布など）ではMGFが存在しないことがあります。この限界を克服するのが次に見る特性関数です。
MGFによる和の分布
PGFと同様に、独立な確率変数の和のMGFは各MGFの積になります。
$$ M_{X+Y}(t) = M_X(t) \cdot M_Y(t) $$
主要な分布のMGF
| 分布 | MGF $M_X(t)$ | 存在範囲 |
|---|---|---|
| 正規$(\mu, \sigma^2)$ | $\exp(\mu t + \sigma^2 t^2/2)$ | 全ての $t$ |
| 指数$(\lambda)$ | $\frac{\lambda}{\lambda – t}$ | $t < \lambda$ |
| ポアソン$(\lambda)$ | $\exp(\lambda(e^t – 1))$ | 全ての $t$ |
| ガンマ$(\alpha, \beta)$ | $\left(\frac{\beta}{\beta – t}\right)^\alpha$ | $t < \beta$ |
正規分布のMGFからモーメントを求めてみましょう。$M_X(t) = \exp(\mu t + \sigma^2 t^2 / 2)$ を微分すると
$$ M_X'(t) = (\mu + \sigma^2 t) \exp(\mu t + \sigma^2 t^2 / 2) $$
$t = 0$ で $M_X'(0) = \mu$（期待値）。もう一度微分すると
$$ M_X”(t) = (\sigma^2 + (\mu + \sigma^2 t)^2) \exp(\mu t + \sigma^2 t^2 / 2) $$
$t = 0$ で $M_X”(0) = \sigma^2 + \mu^2$、よって $\text{Var}(X) = \sigma^2 + \mu^2 – \mu^2 = \sigma^2$。正規分布の既知の結果が、MGFの微分だけで得られました。
MGFが存在しない分布もカバーできる、より一般的な道具が特性関数です。
特性関数
定義と直感
特性関数（characteristic function）は、MGFの $t$ を $it$ に置き換えたものです。
$$ \begin{equation} \varphi_X(t) = E[e^{itX}] \end{equation} $$
ここで $i = \sqrt{-1}$ は虚数単位です。オイラーの公式 $e^{itX} = \cos(tX) + i\sin(tX)$ より
$$ \varphi_X(t) = E[\cos(tX)] + i E[\sin(tX)] $$
特性関数の決定的な利点
特性関数はMGFと異なり、全ての確率変数に対して存在します。これは $|e^{itX}| = 1$ であるため、$E[e^{itX}]$ が常に有限値を取るからです。
特性関数は、実質的には確率分布のフーリエ変換です。信号処理でフーリエ変換が時間領域と周波数領域を結ぶように、特性関数は「確率領域」と「周波数領域」を結びます。
特性関数の性質
一意性: 2つの確率変数の特性関数が一致すれば、分布も一致する（分布を一意に決定する）
連続性定理（Levy’s theorem）: $\varphi_{X_n}(t) \to \varphi_X(t)$ ならば $X_n \xrightarrow{d} X$（中心極限定理の証明に使用）
和の特性関数: $X \perp Y$ ならば $\varphi_{X+Y}(t) = \varphi_X(t) \varphi_Y(t)$
モーメントとの関係: $E[|X|^k] < \infty$ ならば
$$ E[X^k] = \frac{1}{i^k} \varphi_X^{(k)}(0) $$
3つの母関数の関係
3つの母関数の関係をまとめます。
| PGF $G_X(s)$ | MGF $M_X(t)$ | 特性関数 $\varphi_X(t)$ | |
|---|---|---|---|
| 定義 | $E[s^X]$ | $E[e^{tX}]$ | $E[e^{itX}]$ |
| 対象 | 非負整数値 | 一般（存在すれば） | 全ての確率変数 |
| 存在性 | $|s| \leq 1$ で常に存在 | 存在しない場合あり | 常に存在 |
| 関係 | $G_X(s) = M_X(\ln s)$ | $M_X(t) = \varphi_X(-it)$ | $\varphi_X(t) = M_X(it)$ |
それでは、Pythonで母関数の性質を確認していきましょう。
Pythonでの実装と可視化
MGFによるモーメントの計算
各分布のMGFを可視化し、微分によるモーメント計算を確認します。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
t_range = np.linspace(-2, 2, 500)
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 10))
# (a) 正規分布のMGF
ax = axes[0, 0]
params_normal = [(0, 1), (0, 2), (1, 1), (2, 0.5)]
for mu, sigma2 in params_normal:
mgf = np.exp(mu * t_range + sigma2 * t_range**2 / 2)
ax.plot(t_range, mgf, linewidth=2,
label=f'N({mu}, {sigma2})')
ax.set_xlabel('t', fontsize=12)
ax.set_ylabel('$M_X(t)$', fontsize=12)
ax.set_title('MGF of Normal Distribution\n'
r'$M_X(t) = e^{\mu t + \sigma^2 t^2/2}$', fontsize=12)
ax.legend(fontsize=9)
ax.grid(True, alpha=0.3)
ax.set_ylim(0, 20)
# (b) ポアソン分布のMGF
ax = axes[0, 1]
lambdas = [1, 3, 5, 10]
for lam in lambdas:
mgf = np.exp(lam * (np.exp(t_range) - 1))
mgf = np.clip(mgf, 0, 50)
ax.plot(t_range, mgf, linewidth=2, label=f'Poisson({lam})')
ax.set_xlabel('t', fontsize=12)
ax.set_ylabel('$M_X(t)$', fontsize=12)
ax.set_title('MGF of Poisson Distribution\n'
r'$M_X(t) = e^{\lambda(e^t - 1)}$', fontsize=12)
ax.legend(fontsize=9)
ax.grid(True, alpha=0.3)
ax.set_ylim(0, 50)
# (c) MGFの微分によるモーメント計算（数値的検証）
ax = axes[1, 0]
# 指数分布 Exp(lambda=2): mu=0.5, sigma^2=0.25
lam = 2.0
dt = 1e-5
# 数値微分でモーメントを計算
t0 = 0
mgf_func = lambda t: lam / (lam - t)
m1_numerical = (mgf_func(t0 + dt) - mgf_func(t0 - dt)) / (2 * dt)
m2_numerical = (mgf_func(t0 + dt) - 2*mgf_func(t0) + mgf_func(t0 - dt)) / dt**2
# 理論値
m1_theory = 1 / lam
m2_theory = 2 / lam**2
moments_num = [m1_numerical, m2_numerical, m2_numerical - m1_numerical**2]
moments_theory = [m1_theory, m2_theory, m2_theory - m1_theory**2]
labels_mom = ["E[X]", "E[X²]", "Var(X)"]
x_pos = np.arange(3)
width = 0.35
ax.bar(x_pos - width/2, moments_num, width, color='steelblue', alpha=0.8,
label='MGF derivative (numerical)')
ax.bar(x_pos + width/2, moments_theory, width, color='salmon', alpha=0.8,
label='Theory')
ax.set_xticks(x_pos)
ax.set_xticklabels(labels_mom, fontsize=11)
ax.set_ylabel('Value', fontsize=12)
ax.set_title(f'Moments from MGF: Exp($\\lambda$={lam})', fontsize=12)
ax.legend(fontsize=10)
ax.grid(True, alpha=0.3, axis='y')
for i in range(3):
ax.text(i - width/2, moments_num[i] + 0.02, f'{moments_num[i]:.4f}',
ha='center', fontsize=9)
ax.text(i + width/2, moments_theory[i] + 0.02, f'{moments_theory[i]:.4f}',
ha='center', fontsize=9)
# (d) PGFの可視化
ax = axes[1, 1]
s_range = np.linspace(0, 1, 200)
# 各分布のPGF
pgf_binom = lambda s, n, p: (1 - p + p*s)**n
pgf_poisson = lambda s, lam: np.exp(lam * (s - 1))
pgf_geom = lambda s, p: p * s / (1 - (1-p)*s + 1e-10)
ax.plot(s_range, pgf_binom(s_range, 10, 0.3), linewidth=2,
label='Binomial(10, 0.3)')
ax.plot(s_range, pgf_poisson(s_range, 3), linewidth=2,
label='Poisson(3)')
ax.plot(s_range, pgf_geom(s_range, 0.4), linewidth=2,
label='Geometric(0.4)')
ax.plot(s_range, 1 - 0.5 + 0.5 * s_range, '--', linewidth=2,
label='Bernoulli(0.5)')
ax.set_xlabel('s', fontsize=12)
ax.set_ylabel('$G_X(s)$', fontsize=12)
ax.set_title('PGF of Various Distributions\n$G_X(s) = E[s^X]$', fontsize=12)
ax.legend(fontsize=9)
ax.grid(True, alpha=0.3)
ax.axhline(1, color='gray', linestyle='--', alpha=0.5)
ax.axvline(1, color='gray', linestyle='--', alpha=0.5)
plt.tight_layout()
plt.savefig('generating_functions.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
この可視化から、母関数の基本的な性質が確認できます。
-
左上（正規分布のMGF）: $M_X(t) = e^{\mu t + \sigma^2 t^2 / 2}$ は $t = 0$ で必ず1であり、パラメータによって曲線の形が変わります。$\mu > 0$ のとき右に偏り、$\sigma^2$ が大きいほど曲率が急です。
-
右上（ポアソン分布のMGF）: $\lambda$ が大きいほどMGFの増加が急速です。$e^t$ が指数の中に入っているため、$t > 0$ で急激に増大します。
-
左下（MGFの微分によるモーメント）: 指数分布のMGFを数値微分して得たモーメント（青）が理論値（赤）と完全に一致しています。MGFの微分がモーメントを生成することの数値的な確認です。
-
右下（PGF）: 全てのPGFは $s = 1$ で $G_X(1) = 1$（正規化条件）を満たしています。二項分布のPGFがベルヌーイのPGFの10乗であることが視覚的にも確認できます。
和の分布のMGFによる導出
独立な確率変数の和の分布を、MGFの積から求める例を示します。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
np.random.seed(42)
n_sim = 200000
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(16, 5))
# (a) ガンマ分布の加法性: Exp(λ) + Exp(λ) = Gamma(2, λ)
ax = axes[0]
lam = 2.0
X1 = np.random.exponential(1/lam, n_sim)
X2 = np.random.exponential(1/lam, n_sim)
S = X1 + X2
x_range = np.linspace(0, 3, 300)
ax.hist(S, bins=100, density=True, color='steelblue', alpha=0.6,
edgecolor='gray', linewidth=0.3, label='Simulation: $X_1 + X_2$')
ax.plot(x_range, stats.gamma.pdf(x_range, a=2, scale=1/lam), 'r-',
linewidth=2.5, label=r'Gamma(2, $\lambda$=2)')
ax.set_xlabel('x', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Density', fontsize=12)
ax.set_title('Exp + Exp = Gamma\n'
r'$M_{X_1+X_2}(t) = M_{X_1}(t) \cdot M_{X_2}(t)$',
fontsize=12)
ax.legend(fontsize=9)
ax.grid(True, alpha=0.3)
# (b) 正規分布の再生性: N(μ1,σ1²) + N(μ2,σ2²) = N(μ1+μ2, σ1²+σ2²)
ax = axes[1]
mu1, sigma1 = 2, 1
mu2, sigma2 = 3, 1.5
X1 = np.random.normal(mu1, sigma1, n_sim)
X2 = np.random.normal(mu2, sigma2, n_sim)
S = X1 + X2
sigma_sum = np.sqrt(sigma1**2 + sigma2**2)
x_range = np.linspace(mu1+mu2 - 4*sigma_sum, mu1+mu2 + 4*sigma_sum, 300)
ax.hist(S, bins=100, density=True, color='steelblue', alpha=0.6,
edgecolor='gray', linewidth=0.3, label='Simulation')
ax.plot(x_range, stats.norm.pdf(x_range, mu1+mu2, sigma_sum), 'r-',
linewidth=2.5,
label=f'N({mu1+mu2}, {sigma1**2+sigma2**2:.2f})')
ax.set_xlabel('x', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Density', fontsize=12)
ax.set_title('Normal + Normal = Normal\n(Reproductive property)',
fontsize=12)
ax.legend(fontsize=9)
ax.grid(True, alpha=0.3)
# (c) ポアソン分布の再生性: Poi(λ1) + Poi(λ2) = Poi(λ1+λ2)
ax = axes[2]
lam1, lam2 = 3, 5
X1 = np.random.poisson(lam1, n_sim)
X2 = np.random.poisson(lam2, n_sim)
S = X1 + X2
k_range = np.arange(0, 25)
ax.hist(S, bins=np.arange(-0.5, 25.5, 1), density=True, color='steelblue',
alpha=0.6, edgecolor='gray', linewidth=0.5, label='Simulation')
ax.plot(k_range, stats.poisson.pmf(k_range, lam1+lam2), 'ro-',
linewidth=2, markersize=6, label=f'Poisson({lam1+lam2})')
ax.set_xlabel('k', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Probability', fontsize=12)
ax.set_title('Poisson + Poisson = Poisson\n'
r'$e^{\lambda_1(e^t-1)} \cdot e^{\lambda_2(e^t-1)} = e^{(\lambda_1+\lambda_2)(e^t-1)}$',
fontsize=12)
ax.legend(fontsize=9)
ax.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.savefig('mgf_sum_distribution.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
この可視化から、MGFの積が和の分布に対応するという性質が明快に確認できます。
-
左図（指数→ガンマ）: 独立な指数分布の和はガンマ分布に従います。MGFの観点では、$(\lambda/(\lambda-t))^1 \times (\lambda/(\lambda-t))^1 = (\lambda/(\lambda-t))^2$ であり、これはガンマ分布（$\alpha = 2$）のMGFです。シミュレーションと理論分布が完全に一致しています。
-
中央図（正規の再生性）: 独立な正規分布の和は正規分布です。MGFで見ると $e^{\mu_1 t + \sigma_1^2 t^2/2} \times e^{\mu_2 t + \sigma_2^2 t^2/2} = e^{(\mu_1+\mu_2)t + (\sigma_1^2+\sigma_2^2)t^2/2}$ であり、平均と分散がそれぞれ足し合わされます。
-
右図（ポアソンの再生性）: 独立なポアソン分布の和もポアソン分布です。$e^{\lambda_1(e^t-1)} \times e^{\lambda_2(e^t-1)} = e^{(\lambda_1+\lambda_2)(e^t-1)}$ から、パラメータが足し合わされることがわかります。
特性関数の可視化
特性関数は複素数値なので、実部と虚部に分けて可視化します。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
t_range = np.linspace(-5, 5, 500)
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 10))
distributions_cf = {
'Normal(0,1)': lambda t: np.exp(-t**2/2),
'Exponential(1)': lambda t: 1 / (1 - 1j*t),
'Uniform(-1,1)': lambda t: np.where(np.abs(t) < 1e-10, 1.0, np.sin(t) / t),
'Cauchy(0,1)': lambda t: np.exp(-np.abs(t)),
}
for idx, (name, cf_func) in enumerate(distributions_cf.items()):
ax = axes[idx // 2, idx % 2]
cf_values = cf_func(t_range)
if np.iscomplexobj(cf_values):
ax.plot(t_range, np.real(cf_values), 'b-', linewidth=2,
label=r'Re$[\varphi(t)]$')
ax.plot(t_range, np.imag(cf_values), 'r--', linewidth=2,
label=r'Im$[\varphi(t)]$')
ax.plot(t_range, np.abs(cf_values), 'g:', linewidth=2,
label=r'$|\varphi(t)|$')
else:
ax.plot(t_range, np.real(cf_values), 'b-', linewidth=2,
label=r'Re$[\varphi(t)]$ (= $\varphi(t)$)')
ax.set_xlabel('t', fontsize=12)
ax.set_ylabel(r'$\varphi_X(t)$', fontsize=12)
ax.set_title(f'Characteristic Function: {name}', fontsize=12)
ax.legend(fontsize=9)
ax.grid(True, alpha=0.3)
ax.axhline(0, color='gray', linewidth=0.5)
ax.set_ylim(-1.2, 1.2)
plt.tight_layout()
plt.savefig('characteristic_functions.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
この特性関数の可視化から、分布の形と特性関数の形の対応が読み取れます。
-
正規分布: 特性関数 $e^{-t^2/2}$ はガウス関数であり、実数値です（対称分布の特性関数は常に実数値）。滑らかに減衰しています。
-
指数分布: 非対称な分布なので虚部（赤い破線）が非零です。$|\varphi(t)|$ は $1/\sqrt{1+t^2}$ で、裾が重い分布ほど特性関数の減衰が遅いことを示しています。
-
一様分布: 特性関数は $\sin(t)/t$（sinc関数）で、零点を持ちます。コンパクトサポート（有界な台）を持つ分布の特性関数は、零点を持つことが知られています。
-
コーシー分布: 特性関数 $e^{-|t|}$ は $t = 0$ で微分不可能です。これはコーシー分布の期待値が存在しないことと対応しています（特性関数が原点で微分可能ならば1次モーメントが存在する）。
キュムラント母関数
定義
MGFの対数を取った関数をキュムラント母関数（cumulant generating function）と呼びます。
$$ K_X(t) = \ln M_X(t) = \ln E[e^{tX}] $$
$K_X(t)$ をテイラー展開したときの係数 $\kappa_n$ をキュムラントと呼びます。
$$ K_X(t) = \sum_{n=1}^{\infty} \kappa_n \frac{t^n}{n!} $$
主要なキュムラントは
- $\kappa_1 = E[X]$（平均）
- $\kappa_2 = \text{Var}(X)$（分散）
- $\kappa_3 = E[(X – \mu)^3]$（3次中心モーメント、歪度に関連）
- $\kappa_4 = E[(X – \mu)^4] – 3\sigma^4$（尖度に関連）
キュムラントの加法性
独立な確率変数の和のキュムラント母関数は、各キュムラント母関数の和になります。
$$ K_{X+Y}(t) = \ln(M_X(t) M_Y(t)) = K_X(t) + K_Y(t) $$
したがって、各次数のキュムラントも加法的です。
$$ \kappa_n(X + Y) = \kappa_n(X) + \kappa_n(Y) $$
この性質は、正規分布のキュムラントが $\kappa_1 = \mu$、$\kappa_2 = \sigma^2$、$\kappa_3 = \kappa_4 = \cdots = 0$ であることと整合します。中心極限定理は、和のキュムラントの3次以上が消えていく（$\kappa_n / n^{n/2} \to 0$）過程と解釈できます。
まとめ
本記事では、確率母関数・積率母関数・特性関数の3つの母関数について解説しました。
- 確率母関数（PGF） $G_X(s) = E[s^X]$ は非負整数値の確率変数に特化し、確率分布の情報をべき級数に符号化する
- 積率母関数（MGF） $M_X(t) = E[e^{tX}]$ は微分によってモーメントを生成し、独立な和のMGFは各MGFの積になる
- 特性関数 $\varphi_X(t) = E[e^{itX}]$ は常に存在し、分布を一意に決定する — 中心極限定理の証明に不可欠
- 正規・ポアソン・ガンマなどの分布が再生性を持つことが、MGFの積から自然に理解できる
- キュムラント母関数はMGFの対数であり、キュムラントの加法性という便利な性質を持つ
次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。