【LaTeX】黒板太字ℝℕℤ・花文字の書き方｜mathbb・mathcal・mathscr・mathfrakをコピペ実例で解説

「実数全体の集合 $\mathbb{R}$ を出したいのに、\mathbb{R} と打っても普通の R にしかならない」「損失関数の $\mathcal{L}$ の、あの丸っこい花文字はどうやって書くの？」——数式を書いていると、文字そのものの”書体（フォント）”を変えたい 場面がよくあります。集合を表す黒板太字 $\mathbb{R}$、期待値の $\mathbb{E}$、機械学習の損失 $\mathcal{L}$、フーリエ変換 $\mathcal{F}$。これらは普通の斜体アルファベットとは別の書体で、意味を持って使い分けられています。

この記事では、数式で使う特殊な書体を一気に整理します。

• 黒板太字 \mathbb{} — 実数 $\mathbb{R}$・自然数 $\mathbb{N}$・整数 $\mathbb{Z}$ など数の集合、期待値 $\mathbb{E}$、確率 $\mathbb{P}$
• 花文字（カリグラフィ） \mathcal{} — 損失 $\mathcal{L}$、フーリエ変換 $\mathcal{F}$、ヒルベルト空間 $\mathcal{H}$、正規分布 $\mathcal{N}$
• 筆記体 \mathscr{}、ドイツ文字（フラクトゥール） \mathfrak{} — リー代数 $\mathfrak{g}$ など
• 立体太字 \mathbf{} や イタリック太字 \bm との違いと使い分け

書体を正しく選べると、「これは集合」「これは作用素」といった意味が読み手にひと目で伝わります。集合論・解析学・確率統計・機械学習のどの分野でも効いてくる、地味だけれど重要な記法です。

前提知識

この記事を読む前に、以下の記事を読んでおくと理解が深まります。

• 集合の記号をLaTeXで書く — $\in$ $\subset$ $\cup$ など集合演算の記号
• ギリシャ文字をLaTeXで書く — 数式で使うもう一つの特殊文字

逆引き早見表：やりたいことからコマンドを引く

細かい解説の前に、よく使うパターンを一覧にします。「とりあえずこれをコピペしたい」場合はこの表で足りることも多いはずです。

やりたいことが決まっている人はこの表だけで用が足りるはずです。以下では、それぞれの書体の意味と使いどころを順番に見ていきます。

黒板太字 \mathbb{} — 数の集合を表す

まず、いちばん需要の多い黒板太字（blackboard bold）から。黒板太字は、その名のとおり「黒板でチョークで太字を書こうとして、線を二重にした」ことに由来する書体です。$\mathbb{R}$ の縦線が二重になっているのはそのためです。数学では主に数の集合を表す記号として、ほぼ約束事のように使われます。

数の集合には包含関係があります。自然数は整数の一部、整数は有理数の一部…という入れ子構造です。

この図のように、$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ という包含が成り立ちます。いちばん内側の自然数 $\mathbb{N}$（1, 2, 3, …）から、負の数を加えた整数 $\mathbb{Z}$、分数を加えた有理数 $\mathbb{Q}$、$\sqrt{2}$ のような無理数まで含む実数 $\mathbb{R}$、そして虚数 $i$ を含む複素数 $\mathbb{C}$ まで、外側にいくほど「数の世界」が広がっていきます。これらをLaTeXでどう書くか見ていきましょう。

基本の書き方

各数体は、対応するアルファベットを \mathbb{} で囲むだけです。

$$ \mathbb{N},\quad \mathbb{Z},\quad \mathbb{Q},\quad \mathbb{R},\quad \mathbb{C} $$

$$
\mathbb{N},\quad \mathbb{Z},\quad \mathbb{Q},\quad \mathbb{R},\quad \mathbb{C}
$$

頭文字はそれぞれ、自然数 Natural、整数 Zahlen（ドイツ語）、有理数 Quotient、実数 Real、複素数 Complex に由来します。どのアルファベットがどの集合か、由来と結びつけると覚えやすいはずです。

図は主要なアルファベットを黒板太字で並べたものです。数体記号（$\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$）のほか、確率論では期待値 $\mathbb{E}$、確率 $\mathbb{P}$、標本空間 $\Omega$ なども黒板太字で書かれることがあります。

集合への所属・空間の次元

黒板太字は集合記号なので、$\in$（属する）や上付きの次元と組み合わせて使うのが定番です。

$$ x \in \mathbb{R}, \qquad x \notin \mathbb{R}, \qquad \bm{v} \in \mathbb{R}^n, \qquad z \in \mathbb{C} $$

$$
x \in \mathbb{R}, \qquad x \notin \mathbb{R}, \qquad
\bm{v} \in \mathbb{R}^n, \qquad z \in \mathbb{C}
$$

$x \in \mathbb{R}$ は「$x$ は実数である」、$x \notin \mathbb{R}$（\notin）は「$x$ は実数でない」。$\mathbb{R}^n$ は $n$ 個の実数の組（$n$ 次元実ベクトル空間）を表し、機械学習で特徴ベクトルを $\bm{x} \in \mathbb{R}^d$ と書くときによく登場します。

期待値・確率

確率統計では、期待値と確率を黒板太字で書く流儀があります。

$$ \mathbb{E}[X] = \int x\, p(x)\, dx, \qquad \mathbb{P}(A) \in [0, 1] $$

$$
\mathbb{E}[X] = \int x\, p(x)\, dx, \qquad \mathbb{P}(A) \in [0, 1]
$$

$\mathbb{E}$ は期待値（Expectation）、$\mathbb{P}$ は確率（Probability）です。$E[X]$ や $P(A)$ のように普通のイタリック大文字で書く流儀もありますが、黒板太字にすると「これは確率測度に基づく作用」という意味が明確になり、他の変数と区別しやすくなります。

黒板太字が「数の集合」を担うことがわかりました。次は、作用素や特別な対象に使う花文字を見ていきます。

花文字（カリグラフィ）\mathcal{} — 作用素や特別な集合に

花文字（calligraphic）は、$\mathcal{L}$ や $\mathcal{F}$ のような、装飾的で丸みのある書体です。大文字専用 で、\mathcal{} で囲んで使います。数学では、作用素・変換・特別な集合・確率分布の記号など、「普通の変数とは格が違う対象」に使われることが多い書体です。

$$ \mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{F}, \mathcal{H}, \mathcal{L}, \mathcal{N}, \mathcal{O}, \mathcal{P} $$

$$
\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{F}, \mathcal{H},
\mathcal{L}, \mathcal{N}, \mathcal{O}, \mathcal{P}
$$

図はA〜Zの花文字グリフと、理工系でよく使われる文字の用途を示したものです。代表的な使い方を挙げると次のとおりです。

たとえば正規分布は $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$、機械学習の損失最小化は $\min_{\bm{\theta}} \mathcal{L}(\bm{\theta})$、計算量は $\mathcal{O}(n^2)$ のように書きます。

花文字は大文字だけ

注意点として、\mathcal{} は大文字専用です。小文字を入れると、環境によっては普通の文字のまま出たり、意図しない見た目になったりします。花文字が欲しいときは必ず大文字を使いましょう。

$$ \mathcal{L}(\bm{\theta}) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ell\big(y_i, f(\bm{x}_i; \bm{\theta})\big) $$

$$
\mathcal{L}(\bm{\theta}) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}
\ell\big(y_i, f(\bm{x}_i; \bm{\theta})\big)
$$

この式では、全体の損失を花文字の $\mathcal{L}$、各データ点の損失を普通の小文字 $\ell$（\ell）で書き分けています。花文字と \ell を組み合わせると、「集約された損失」と「個別の損失」がひと目で区別できます。

花文字で作用素や分布を書けるようになりました。次は、さらに装飾的な筆記体とドイツ文字に触れます。

筆記体 \mathscr{} とドイツ文字 \mathfrak{}

花文字よりさらに装飾的な書体として、筆記体（script）とドイツ文字（フラクトゥール、Fraktur）があります。使用頻度は黒板太字・花文字より低めですが、特定分野で定番の記法です。

ドイツ文字 \mathfrak{}

ドイツ文字は、主にリー代数（リー群に付随する代数構造）で使われます。リー群を大文字 $G$、対応するリー代数を小文字のドイツ文字 $\mathfrak{g}$ で書くのが慣習です。

$$ \mathfrak{g}, \quad \mathfrak{su}(2), \quad \mathfrak{so}(3), \quad \mathfrak{p} $$

$$
\mathfrak{g}, \quad \mathfrak{su}(2), \quad \mathfrak{so}(3), \quad \mathfrak{p}
$$

図のように、ドイツ文字は大文字・小文字とも独特の装飾を持ちます。$\mathfrak{su}(2)$ や $\mathfrak{so}(3)$ は物理（量子力学・剛体の回転）でおなじみのリー代数です。可換環論では素イデアルを $\mathfrak{p}$、極大イデアルを $\mathfrak{m}$ とドイツ文字で書くこともあります。

筆記体 \mathscr{}

筆記体は花文字とよく似ていますが、より流れるような装飾が特徴です。ただし \mathscr{} は標準の amsmath では使えず、mathrsfs パッケージが必要です。また後述のとおり、Web数式（KaTeX）では対応が限定的なので、ブログでは無理に使わず \mathcal{} で代用するのが無難です。

% プリアンブルで \usepackage{mathrsfs} が必要
$\mathscr{L}, \mathscr{F}, \mathscr{H}$

筆記体とドイツ文字まで揃いました。ここまで5種類の書体が出てきたので、いったん横並びで見比べて違いを掴みましょう。

書体の一覧比較 — 同じ文字がどう変わるか

同じアルファベットでも、書体を変えると見た目がまったく変わります。代表的な書体を横並びにしてみます。

図は「R」「L」「H」「G」の4文字を、通常斜体・\mathrm（立体）・\mathbf（立体太字）・\mathbb（黒板太字）・\mathcal（花文字）・\mathfrak（ドイツ文字）で並べたものです。同じ文字でも、書体が変われば指す対象が変わります。$R$（変数）、$\mathbb{R}$（実数の集合）、$\mathcal{R}$（何かの作用素や集合）はすべて別物として読まれる、という点が重要です。

$$ R, \quad \mathrm{R}, \quad \mathbf{R}, \quad \mathbb{R}, \quad \mathcal{R}, \quad \mathfrak{R} $$

$$
R, \quad \mathrm{R}, \quad \mathbf{R}, \quad
\mathbb{R}, \quad \mathcal{R}, \quad \mathfrak{R}
$$

見比べると、それぞれの書体が明確に区別できます。この「書体で意味を分ける」感覚が身につくと、数式が格段に読みやすくなります。

書体の見た目の違いがわかったところで、実務で迷いやすい「太字系との使い分け」を整理します。

太字系（\mathbf / \bm）との使い分け

黒板太字 \mathbb と、立体太字 \mathbf、イタリック太字 \bm（\boldsymbol）は、どれも「太い」ので混同しがちです。しかし役割はまったく別です。

覚え方はシンプルです。「集合なら黒板太字 \mathbb」「ベクトル・行列なら太字 \mathbf か \bm」「作用素・分布なら花文字 \mathcal」。たとえば「$d$ 次元実ベクトル $\bm{x}$」を厳密に書くと $\bm{x} \in \mathbb{R}^d$ となり、ベクトルは \bm、それが属する空間は \mathbb と、役割ごとに書体を変えているのがわかります。

図の対応表のとおり、「太字だから」と何でも \mathbf にせず、対象が集合なのかベクトルなのか作用素なのかで書体を選ぶのがコツです。特に機械学習の論文では、$\bm{x} \in \mathbb{R}^d$、パラメータ $\bm{\theta}$、損失 $\mathcal{L}$、確率 $\mathbb{P}$ が同じ式に共存するので、書体の使い分けが読みやすさを大きく左右します。

実際の分野での使われ方も見ておきましょう。

図は、機械学習と物理での典型的な使用例です。正規分布 $\mathcal{N}(\bm{\mu}, \bm{\Sigma})$、期待値 $\mathbb{E}[\mathcal{L}]$、特徴空間 $\mathbb{R}^d$、リー代数 $\mathfrak{su}(2)$ のように、複数の書体が自然に組み合わさって使われています。それぞれの書体が担う意味を知っていれば、他人の論文の数式も正しく読み解けます。

分野での使われ方まで押さえたところで、Web（KaTeX）での互換性を確認しましょう。

LaTeX vs KaTeX の注意点

当ブログの数式はKaTeXでレンダリングしています。書体系コマンドのKaTeX対応状況は次のとおりです。

図の互換表のとおり、\mathbb \mathcal \mathfrak \mathbf \bm は問題なく使えます。唯一注意が必要なのは筆記体 \mathscr で、これは対応していない環境があります。Web記事では \mathscr を避け、花文字 \mathcal で代用するのが安全です。

互換性を確認したところで、最後によくある間違いを潰しておきましょう。

よくある間違いとTips

間違い1：\mathbb R と \mathbb{R} の違い

引数を中括弧で囲まないと、最初の1文字だけに書体が適用されます。1文字なら \mathbb R でも動きますが、複数文字を黒板太字にしたいときは必ず中括弧が必要です。

% 1文字なら中括弧なしでも動く（が、癖をつけるため中括弧推奨）
$\mathbb R$

% 複数文字は中括弧が必須
$\mathbb{RP}$   % 射影空間 RP など

常に \mathbb{R} のように中括弧を付ける癖をつけておくと、複数文字のときに崩れる事故を防げます。

間違い2：\mathcal に小文字を入れる

花文字 \mathcal{} は大文字専用です。\mathcal{l} のように小文字を入れると、花文字にならなかったり意図しない見た目になります。花文字が欲しければ大文字を使いましょう。

% NG: 小文字は花文字にならない
$\mathcal{l}$

% OK: 大文字を使う
$\mathcal{L}$

間違い3：黒板太字とベクトル太字の混同

「太字」と一括りにして \mathbf を乱用すると、集合とベクトルの区別が消えてしまいます。集合は \mathbb、ベクトル・行列は \mathbf か \bm、と対象で使い分けましょう。

% 集合は黒板太字、ベクトルは bm
$\bm{x} \in \mathbb{R}^d$

Tips：mathbbm との違い

\mathbb とよく似た名前に \mathbbm（bbm パッケージ）があります。これは指示関数 $\mathbb{1}$（1 の黒板太字）を出すときなどに使われる別パッケージです。通常の数体記号には標準の \mathbb を使えば十分で、KaTeXでは指示関数は \mathbb{1} で出せます。

まとめ

本記事では、LaTeXで黒板太字・花文字などの数式書体を書く方法を解説しました。

• 黒板太字 \mathbb{}: 数の集合（$\mathbb{R}$ 実数、$\mathbb{N}$ 自然数、$\mathbb{Z}$ 整数、$\mathbb{Q}$ 有理数、$\mathbb{C}$ 複素数）、期待値 $\mathbb{E}$、確率 $\mathbb{P}$
• 花文字 \mathcal{}: 作用素・特別な集合・分布（損失 $\mathcal{L}$、フーリエ $\mathcal{F}$、正規分布 $\mathcal{N}$、オーダー $\mathcal{O}$）。大文字専用
• ドイツ文字 \mathfrak{}: リー代数 $\mathfrak{g}$ など。筆記体 \mathscr{} はKaTeXで未対応の場合があり \mathcal で代用
• 太字との使い分け: 集合は \mathbb、ベクトル・行列は \mathbf/\bm、作用素は \mathcal
• 中括弧を付ける: 複数文字には \mathbb{RP} のように必ず {}

書体は「見た目のおしゃれ」ではなく、対象の種類を伝える情報です。$\bm{x} \in \mathbb{R}^d$ のように、ベクトルと空間で書体を変えるだけで数式の意味が明確になります。使い分けを覚えておくと、レポートも論文も一段読みやすくなります。

次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。

• 集合の記号をLaTeXで書く — 黒板太字とセットで使う集合演算
• ギリシャ文字をLaTeXで書く — もう一つの特殊文字

関連記事：LaTeX数式記法シリーズ

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