ラプラシアンはスカラー場に対する2階微分演算子であり、物理学のあらゆる場面で登場します。熱伝導、波動伝搬、静電場、重力場、量子力学など、偏微分方程式の中心的な演算子です。
ラプラシアンがゼロとなる関数（調和関数）は、平衡状態や定常状態を記述し、美しい数学的性質を持ちます。
本記事の内容
- ラプラシアンの定義（div(grad)）
- ラプラス方程式とポアソン方程式
- 調和関数の性質（平均値の性質、最大値原理）
- Pythonでの可視化
前提知識
ラプラシアンの定義
スカラー場 $\phi$ のラプラシアンは、勾配の発散として定義されます。
$$ \boxed{\nabla^2 \phi = \Delta \phi = \nabla \cdot (\nabla \phi) = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}} $$
直感的には、ある点での $\phi$ の値が周囲の平均値と比べてどれだけ高い（低い）かを表します。$\nabla^2\phi > 0$ なら周囲より低い（凹み）、$\nabla^2\phi < 0$ なら周囲より高い（突起）です。
ラプラス方程式とポアソン方程式
$$ \nabla^2 \phi = 0 \quad \text{（ラプラス方程式）} $$
$$ \nabla^2 \phi = f(\bm{r}) \quad \text{（ポアソン方程式）} $$
物理での登場
| 分野 | 方程式 | 意味 |
|---|---|---|
| 静電場（真空中） | $\nabla^2 V = -\rho/\varepsilon_0$ | ポアソン方程式 |
| 静電場（電荷なし） | $\nabla^2 V = 0$ | ラプラス方程式 |
| 定常熱伝導 | $\nabla^2 T = 0$ | 熱源なしの温度分布 |
| 重力ポテンシャル | $\nabla^2 \Phi = 4\pi G\rho$ | ポアソン方程式 |
| 非圧縮流体 | $\nabla^2 \psi = -\omega$ | 流れ関数と渦度 |
調和関数の性質
$\nabla^2 \phi = 0$ を満たす関数を調和関数と呼びます。
平均値の性質
調和関数 $\phi$ は、任意の球（2次元では円）の中心での値が、球面上の値の平均に等しいです。
$$ \phi(\bm{r}_0) = \frac{1}{4\pi R^2}\oint_{S_R} \phi \, dA $$
最大値原理
調和関数は、領域の内部で最大値も最小値もとりません（境界でのみ極値をとる）。
具体例
例1: $\phi = x^2 – y^2$
$$ \nabla^2\phi = 2 + (-2) = 0 $$
調和関数です。
例2: $\phi = e^x\sin y$
$$ \nabla^2\phi = e^x\sin y + (-e^x\sin y) = 0 $$
調和関数です。
例3: $\phi = x^2 + y^2$
$$ \nabla^2\phi = 2 + 2 = 4 \neq 0 $$
調和関数ではありません。
Pythonでの実装
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-2, 2, 200)
y = np.linspace(-2, 2, 200)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(16, 5))
# 調和関数1: phi = x^2 - y^2 (鞍点)
phi1 = X**2 - Y**2
cs1 = axes[0].contourf(X, Y, phi1, levels=20, cmap='RdBu_r')
axes[0].contour(X, Y, phi1, levels=15, colors='k', linewidths=0.5)
plt.colorbar(cs1, ax=axes[0])
axes[0].set_title('調和関数 $\\phi = x^2 - y^2$\n$\\nabla^2\\phi=0$')
axes[0].set_aspect('equal')
axes[0].set_xlabel('x')
axes[0].set_ylabel('y')
# 調和関数2: phi = e^x sin(y)
phi2 = np.exp(X) * np.sin(Y)
cs2 = axes[1].contourf(X, Y, phi2, levels=20, cmap='RdBu_r')
axes[1].contour(X, Y, phi2, levels=15, colors='k', linewidths=0.5)
plt.colorbar(cs2, ax=axes[1])
axes[1].set_title('調和関数 $\\phi = e^x \\sin y$\n$\\nabla^2\\phi=0$')
axes[1].set_aspect('equal')
axes[1].set_xlabel('x')
axes[1].set_ylabel('y')
# 非調和関数: phi = x^2 + y^2
phi3 = X**2 + Y**2
cs3 = axes[2].contourf(X, Y, phi3, levels=20, cmap='viridis')
axes[2].contour(X, Y, phi3, levels=15, colors='k', linewidths=0.5)
plt.colorbar(cs3, ax=axes[2])
axes[2].set_title('非調和関数 $\\phi = x^2 + y^2$\n$\\nabla^2\\phi=4$')
axes[2].set_aspect('equal')
axes[2].set_xlabel('x')
axes[2].set_ylabel('y')
plt.tight_layout()
plt.savefig('laplacian_harmonic.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
調和関数は内部に極値を持たない（鞍点はあるが）一方、非調和関数 $x^2+y^2$ は原点に最小値を持つことが確認できます。
まとめ
- ラプラシアン $\nabla^2 = \partial^2/\partial x^2 + \partial^2/\partial y^2 + \partial^2/\partial z^2$
- $\nabla^2\phi = 0$: ラプラス方程式、$\nabla^2\phi = f$: ポアソン方程式
- 調和関数は平均値の性質と最大値原理を持つ
- 物理の至る所で登場（静電場、熱伝導、重力場）
次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。