Learning Guide
カルマンフィルタ完全ガイド
確率と正規分布の基礎から、線形代数、ベイズ推定、状態空間モデルを経て、カルマンフィルタの理論と導出、制御理論への応用まで。7章・56記事で体系的に学ぶ。
01
確率と正規分布の基礎
カルマンフィルタの全ての情報は正規分布で表現される。まずは確率変数の基本量から多変量ガウス分布の条件付き・周辺分布まで、確率論の基礎を固める。
02
線形代数の計算手法
カルマンフィルタの更新式は行列演算の塊。固有値分解から正定値行列、コレスキー分解、シューア補行列まで、必要な線形代数のツールを揃える。
03
ベイズ推定の基礎
カルマンフィルタはベイズ推定の線形ガウス版。ベイズの定理からベイズ線形回帰、隠れマルコフモデルまで、逐次ベイズ更新の考え方を学ぶ。
04
確率過程と状態空間モデル
動的システムを確率的に記述する枠組みを学ぶ。確率過程の基礎からマルコフ連鎖、ブラウン運動、そして状態空間モデルの定式化まで。
05
カルマンフィルタの理論と導出
いよいよ本題。予測ステップと更新ステップの導出を1行ずつ追い、カルマンゲインの意味を理解する。EMアルゴリズムによるパラメータ学習まで。
06
制御理論への応用
カルマンフィルタは最適オブザーバでもある。状態フィードバック、極配置、LQR、そしてLQG制御へと統合する。
1更新予定
可制御性と可観測性
制御系設計の前提条件となる可制御・可観測の判定理論
2更新予定
状態フィードバック制御と極配置法
状態フィードバックによる極配置設計の理論と実装
3更新予定
オブザーバ（状態推定器）の設計
ルーエンベルガーオブザーバからカルマンフィルタへの橋渡し
4更新予定
カルマンフィルタと最適推定の制御応用
制御系におけるカルマンフィルタの位置づけと実装
5更新予定
LQR（線形二次レギュレータ）
LQR最適制御の理論とリカッチ方程式の導出・実装
6更新予定
LQG制御
LQRとカルマンフィルタを統合した最適出力フィードバック制御
07
発展的トピック
線形ガウスの仮定を超えた非線形フィルタリング。EKF、UKF、パーティクルフィルタ、そしてスムージングへ。