ある薬の効果を調べる臨床試験で、100人の被験者の症状改善スコアの平均が $\bar{x} = 3.2$ だったとします。この数値だけでは「たまたまこの値になったのか、真の効果が本当に3.2付近なのか」が判断できません。
もし「母平均は2.5から3.9の間にある可能性が95%」と言えたらどうでしょうか。点推定の数値だけでなく、推定の不確実性を幅として表現できれば、意思決定の質が格段に向上します。
この「推定の不確実性を区間で表現する」のが区間推定（interval estimation）であり、最も代表的な手法が信頼区間（confidence interval）です。
しかし、信頼区間の解釈は統計学の中でも最もよく誤解される概念の一つです。「95%信頼区間」は「真のパラメータがこの区間に入る確率が95%」を意味するのでしょうか。答えはNoです。
区間推定を正しく理解すると、以下のような場面で適切な判断ができます。
- 臨床試験: 薬の効果の大きさの不確実性の定量化
- 世論調査: 支持率の「誤差の範囲」の正しい報告
- 実験科学: 測定値の精度の表現
- 機械学習: モデルの予測区間の構成
本記事の内容
- 区間推定の動機と点推定との比較
- 信頼区間の数学的定義
- 信頼区間の正しい解釈
- 正規分布・t分布に基づく信頼区間の導出
- ベイズ信用区間との比較
- Pythonによる実装と可視化
前提知識
この記事を読む前に、以下の記事を読んでおくと理解が深まります。
区間推定の動機
点推定の限界
点推定量 $\hat{\theta}$ は母数 $\theta$ の「最良の1点予測」を与えますが、推定には必ず誤差が伴います。点推定値だけでは、
- 推定がどの程度信頼できるのか
- 真の値がどの範囲にありそうか
- サンプルサイズは十分か
といった情報が得られません。たとえば $\hat{\mu} = 3.2$ という推定値は、$n = 10$ の実験と $n = 10{,}000$ の実験では信頼度が全く異なります。
区間推定の考え方
区間推定では、点推定値の代わりに区間 $[L, U]$ を提示します。この区間は「真のパラメータ $\theta$ がこの中にある」ことを一定の確率で保証するように構成されます。
区間の幅は推定の不確実性を反映します。データが多ければ区間は狭くなり（推定が精密）、データが少なければ区間は広くなります（推定が粗い）。
では、信頼区間を数学的に定義しましょう。
信頼区間の数学的定義
ピボット量
信頼区間の構成にはピボット量（pivot quantity）が鍵となります。
ピボット量とは、データ $X_1, \ldots, X_n$ とパラメータ $\theta$ の関数 $Q(X_1, \ldots, X_n; \theta)$ で、その分布が $\theta$ に依存しないものです。
代表的な例として、$X_1, \ldots, X_n \sim N(\mu, \sigma^2)$ で $\sigma^2$ が既知のとき、
$$ Z = \frac{\bar{X} – \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1) $$
$Z$ の分布は $\mu$ に依存しないので、$Z$ はピボット量です。
信頼区間の定義
区間 $[L(X_1, \ldots, X_n), U(X_1, \ldots, X_n)]$ がパラメータ $\theta$ の信頼係数 $1 – \alpha$ の信頼区間であるとは、すべての $\theta$ に対して
$$ \begin{equation} P_\theta(L \leq \theta \leq U) \geq 1 – \alpha \end{equation} $$
が成り立つことです。
ここで重要なのは、$L$ と $U$ が確率変数（データの関数）であり、$\theta$ は固定された定数であるということです。「区間がパラメータを含む確率」であって、「パラメータが区間に入る確率」ではありません。
ピボット量からの信頼区間の構成
ピボット量 $Q(X; \theta)$ の分布 $F_Q$ が既知のとき、
$$ P(q_{\alpha/2} \leq Q \leq q_{1-\alpha/2}) = 1 – \alpha $$
を $\theta$ について解いて信頼区間を得ます。ここで $q_{\alpha/2}$ と $q_{1-\alpha/2}$ は $F_Q$ の分位点です。
この方法で構成された区間推定の「正しい解釈」は、次のセクションで詳しく議論します。
信頼区間の正しい解釈
よくある誤解
「95%信頼区間 $[2.5, 3.9]$」について、以下の解釈は誤りです。
- 「真のパラメータが $[2.5, 3.9]$ に入る確率は95%である」（$\theta$ は定数であり、「入るか入らないか」の二択。確率は0か1）
- 「データの95%がこの区間に入る」（信頼区間はパラメータの区間であり、データの区間ではない）
正しい解釈
正しい解釈は次の通りです。
頻度論的解釈: 同じ母集団から何度もサンプリングして信頼区間を構成することを繰り返したとき、そのうちの95%の区間が真のパラメータ $\theta$ を含む。
つまり、信頼区間は「手続きの信頼性」を表しています。「この具体的な区間が $\theta$ を含む確率が95%」ではなく、「この手続きは長期的に95%の成功率を持つ」ということです。
具体例で理解する
コインの表の確率 $p = 0.5$ を推定する実験を100回繰り返したとします。各実験で100回コインを投げ、95%信頼区間を計算します。
100個の信頼区間のうち、約95個は真の値 $p = 0.5$ を含み、約5個は含みません。しかし、個々の信頼区間について「この区間が $p$ を含む確率」は0か1であり、95%ではありません。
この「多数回の繰り返し」としての解釈は、ベイズ的な信用区間とは根本的に異なります。この違いは後ほど詳しく議論します。
まずは、最も基本的な正規分布の信頼区間を導出しましょう。
正規分布に基づく信頼区間
母分散が既知の場合（Z区間）
$X_1, \ldots, X_n \sim N(\mu, \sigma^2)$ で $\sigma^2$ が既知のとき、ピボット量
$$ Z = \frac{\bar{X} – \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1) $$
を使います。
$P(-z_{\alpha/2} \leq Z \leq z_{\alpha/2}) = 1 – \alpha$ を $\mu$ について解くと、
$-z_{\alpha/2} \leq \frac{\bar{X} – \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \leq z_{\alpha/2}$ の各辺に $-\sigma/\sqrt{n}$ を掛けて $\bar{X}$ を足すと、
$$ \begin{equation} \bar{X} – z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X} + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{equation} $$
95%信頼区間なら $z_{0.025} = 1.96$ なので、
$$ \bar{X} \pm 1.96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$
区間の幅は $2 \times 1.96\sigma/\sqrt{n}$ であり、$n$ に反比例して（正確には $\sqrt{n}$ に反比例して）狭くなります。サンプルサイズを4倍にすると区間の幅は半分になります。
母分散が未知の場合（t区間）
実際の問題では母分散 $\sigma^2$ は未知であることがほとんどです。$\sigma$ を標本標準偏差 $S = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum(X_i – \bar{X})^2}$ で置き換えると、
$$ T = \frac{\bar{X} – \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t_{n-1} $$
は自由度 $n – 1$ のt分布に従います。Z分布ではなくt分布を使う点が異なります。
$$ \begin{equation} \bar{X} – t_{\alpha/2, n-1}\frac{S}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X} + t_{\alpha/2, n-1}\frac{S}{\sqrt{n}} \end{equation} $$
t分布は正規分布より裾が重いため、$t_{\alpha/2, n-1} > z_{\alpha/2}$ であり、t区間はZ区間より広くなります。これは $\sigma$ の不確実性を反映しています。$n$ が大きくなると $t_{n-1} \to N(0,1)$ なので、両者の差はなくなります。
母分散の信頼区間
母分散 $\sigma^2$ の信頼区間は、ピボット量
$$ \chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} $$
を用いて構成します。$\chi^2$ 分布は非対称なので、
$$ \begin{equation} \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} \leq \sigma^2 \leq \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}} \end{equation} $$
カイ二乗分布の上側分位点 $\chi^2_{\alpha/2}$ は下側分位点 $\chi^2_{1-\alpha/2}$ より大きいため、区間が非対称になります。
これらの古典的な信頼区間の理論は、正規分布を前提としています。次に、ベイズ統計における対応する概念との違いを見ていきましょう。
ベイズ信用区間との比較
ベイズ信用区間の定義
ベイズ統計では、$\theta$ 自体が確率変数と見なされ、事後分布 $p(\theta | \text{data})$ が得られます。
ベイズ信用区間（credible interval）は、事後分布のもとで
$$ P(\theta \in [L, U] | \text{data}) = 1 – \alpha $$
を満たす区間です。
信頼区間との本質的な違い
| 信頼区間（頻度論） | 信用区間（ベイズ） | |
|---|---|---|
| $\theta$ の扱い | 固定された定数 | 確率変数 |
| 確率の意味 | 手続きの長期的な成功率 | $\theta$ が区間に入る事後確率 |
| 事前情報 | 使わない | 事前分布として組み込む |
| 解釈の自然さ | やや不自然（「多数回の繰り返し」） | 直感的（「$\theta$ はここにいる」） |
| 計算 | 通常は簡単 | 事後分布の計算が必要 |
ベイズ信用区間の解釈「$\theta$ がこの区間に入る確率が95%」は、まさに多くの人が信頼区間に期待する解釈です。しかし頻度論の信頼区間にこの解釈は適用できません。
一致する場合
無情報事前分布を使ったベイズ信用区間は、多くの場合、頻度論の信頼区間と数値的に一致します。正規分布の母平均に対して一様事前分布を置くと、事後分布は $\mu | \text{data} \sim N(\bar{x}, \sigma^2/n)$ となり、信用区間と信頼区間は完全に一致します。
Pythonで信頼区間の性質を視覚的に確認しましょう。
Pythonでの実装と可視化
信頼区間の「カバレッジ」の確認
95%信頼区間を100回構成して、そのうち何回が真のパラメータを含むかを確認します。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
np.random.seed(42)
mu_true = 5.0
sigma_true = 2.0
n = 30
alpha = 0.05
n_experiments = 100
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 8))
# (a) 100個の信頼区間を可視化
ax = axes[0]
covers = 0
for i in range(n_experiments):
sample = np.random.normal(mu_true, sigma_true, n)
xbar = np.mean(sample)
s = np.std(sample, ddof=1)
t_crit = stats.t.ppf(1 - alpha/2, n-1)
margin = t_crit * s / np.sqrt(n)
lower = xbar - margin
upper = xbar + margin
contains = lower <= mu_true <= upper
if contains:
covers += 1
color = 'blue'
else:
color = 'red'
ax.plot([lower, upper], [i, i], color=color, linewidth=1.5, alpha=0.7)
ax.plot(xbar, i, 'o', color=color, markersize=3)
ax.axvline(mu_true, color='green', linewidth=2, linestyle='--',
label=f'True $\\mu = {mu_true}$')
ax.set_xlabel('Value', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Experiment', fontsize=12)
ax.set_title(f'95% CI Coverage: {covers}/{n_experiments} = {covers/n_experiments:.0%}',
fontsize=13)
ax.legend(fontsize=10)
ax.grid(True, alpha=0.3, axis='x')
# (b) カバレッジ率の収束
ax = axes[1]
n_repetitions = np.arange(50, 10001, 50)
coverages = []
for n_rep in n_repetitions:
cover_count = 0
for _ in range(n_rep):
sample = np.random.normal(mu_true, sigma_true, n)
xbar = np.mean(sample)
s = np.std(sample, ddof=1)
t_crit = stats.t.ppf(1 - alpha/2, n-1)
margin = t_crit * s / np.sqrt(n)
if xbar - margin <= mu_true <= xbar + margin:
cover_count += 1
coverages.append(cover_count / n_rep)
ax.plot(n_repetitions, coverages, 'b-', linewidth=1.5, alpha=0.7)
ax.axhline(1 - alpha, color='red', linewidth=2, linestyle='--',
label=f'Nominal level = {1-alpha:.0%}')
ax.fill_between(n_repetitions, 0.93, 0.97, alpha=0.1, color='red')
ax.set_xlabel('Number of repetitions', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Coverage rate', fontsize=12)
ax.set_title('Coverage Rate Convergence', fontsize=13)
ax.legend(fontsize=10)
ax.grid(True, alpha=0.3)
ax.set_ylim(0.90, 1.0)
plt.tight_layout()
plt.savefig('confidence_interval_coverage.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
このグラフから信頼区間の意味が視覚的に理解できます。
-
左図: 100個の信頼区間のうち、青は真の値（緑の破線）を含み、赤は含みません。約95個が真の値をカバーしており、これが「95%信頼区間」の意味です。赤い区間が5個程度あることは想定通りであり、個々の区間が「95%の確率で正しい」のではなく、手続き全体としての成功率が95%ということです
-
右図: 実験の繰り返し回数を増やすと、カバレッジ率が公称水準の95%に収束していきます。これは大数の法則の帰結であり、信頼区間の頻度論的な解釈を実証しています
サンプルサイズと信頼区間の幅
サンプルサイズの変化が信頼区間の幅に与える影響を確認します。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
np.random.seed(42)
mu_true = 5.0
sigma_true = 2.0
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(16, 5))
# (a) サンプルサイズ vs 区間幅
ax = axes[0]
n_range = np.arange(5, 501)
alpha = 0.05
# Z区間の幅
width_z = 2 * stats.norm.ppf(1 - alpha/2) * sigma_true / np.sqrt(n_range)
# t区間の幅（期待値）
width_t = 2 * np.array([stats.t.ppf(1 - alpha/2, n-1) for n in n_range]) * sigma_true / np.sqrt(n_range)
ax.plot(n_range, width_z, 'b-', linewidth=2, label='Z interval (known $\\sigma$)')
ax.plot(n_range, width_t, 'r-', linewidth=2, label='t interval (unknown $\\sigma$)')
ax.set_xlabel('Sample size $n$', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Width of 95% CI', fontsize=12)
ax.set_title('CI Width vs Sample Size', fontsize=13)
ax.legend(fontsize=10)
ax.grid(True, alpha=0.3)
# (b) 信頼水準 vs 区間幅
ax = axes[1]
alphas = np.linspace(0.001, 0.5, 200)
n = 30
widths_90 = 2 * stats.t.ppf(1 - 0.10/2, n-1) * sigma_true / np.sqrt(n)
widths_95 = 2 * stats.t.ppf(1 - 0.05/2, n-1) * sigma_true / np.sqrt(n)
widths_99 = 2 * stats.t.ppf(1 - 0.01/2, n-1) * sigma_true / np.sqrt(n)
widths = [2 * stats.t.ppf(1 - a/2, n-1) * sigma_true / np.sqrt(n) for a in alphas]
conf_levels = 1 - alphas
ax.plot(conf_levels * 100, widths, 'b-', linewidth=2)
ax.axvline(90, color='gray', linestyle=':', alpha=0.5)
ax.axvline(95, color='gray', linestyle=':', alpha=0.5)
ax.axvline(99, color='gray', linestyle=':', alpha=0.5)
ax.annotate(f'90%: {widths_90:.2f}', xy=(90, widths_90), fontsize=9)
ax.annotate(f'95%: {widths_95:.2f}', xy=(95, widths_95), fontsize=9)
ax.annotate(f'99%: {widths_99:.2f}', xy=(99, widths_99), fontsize=9)
ax.set_xlabel('Confidence level (%)', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Width of CI', fontsize=12)
ax.set_title(f'CI Width vs Confidence Level (n={n})', fontsize=13)
ax.grid(True, alpha=0.3)
# (c) Z区間 vs t区間のカバレッジ比較
ax = axes[2]
n_values = [5, 10, 20, 50, 100]
n_sim = 5000
coverage_z = []
coverage_t = []
for n in n_values:
z_cover = 0
t_cover = 0
for _ in range(n_sim):
sample = np.random.normal(mu_true, sigma_true, n)
xbar = np.mean(sample)
s = np.std(sample, ddof=1)
# Z区間（σ既知として）
z_crit = stats.norm.ppf(0.975)
z_lower = xbar - z_crit * sigma_true / np.sqrt(n)
z_upper = xbar + z_crit * sigma_true / np.sqrt(n)
if z_lower <= mu_true <= z_upper:
z_cover += 1
# t区間（σ未知）
t_crit = stats.t.ppf(0.975, n-1)
t_lower = xbar - t_crit * s / np.sqrt(n)
t_upper = xbar + t_crit * s / np.sqrt(n)
if t_lower <= mu_true <= t_upper:
t_cover += 1
coverage_z.append(z_cover / n_sim)
coverage_t.append(t_cover / n_sim)
x_pos = np.arange(len(n_values))
width = 0.35
ax.bar(x_pos - width/2, coverage_z, width, color='blue', alpha=0.7, label='Z interval')
ax.bar(x_pos + width/2, coverage_t, width, color='red', alpha=0.7, label='t interval')
ax.axhline(0.95, color='black', linewidth=1.5, linestyle='--', label='Nominal 95%')
ax.set_xlabel('Sample size $n$', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Coverage rate', fontsize=12)
ax.set_title('Coverage: Z vs t Interval', fontsize=13)
ax.set_xticks(x_pos)
ax.set_xticklabels(n_values)
ax.legend(fontsize=9)
ax.grid(True, alpha=0.3, axis='y')
ax.set_ylim(0.92, 0.97)
plt.tight_layout()
plt.savefig('confidence_interval_width.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
このグラフから信頼区間の重要な性質が読み取れます。
-
左図: 区間幅は $\sqrt{n}$ に反比例して減少します。Z区間とt区間の差は $n$ が小さいとき顕著で、$n$ が大きくなると収束します。$n = 30$ 程度でほぼ一致するため、実用上は $n \geq 30$ でZ区間を使っても問題ないとされます
-
中央図: 信頼水準を上げると区間幅が急増します。95%から99%にすると幅が約30%増加します。これは「確信度を上げるには精度を犠牲にする」トレードオフを示しています
-
右図: Z区間の実際のカバレッジは $n$ が小さいとき95%を下回ります（$\sigma$ を既知と仮定しているのに実際は推定しているため）。一方、t区間はすべてのサンプルサイズで公称水準の95%を保っています。これがt区間を使うべき理由です
信頼区間とベイズ信用区間の比較
最後に、同じデータに対する信頼区間とベイズ信用区間を比較します。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
np.random.seed(42)
# データ生成
mu_true = 5.0
sigma_true = 2.0
n = 15
sample = np.random.normal(mu_true, sigma_true, n)
xbar = np.mean(sample)
s = np.std(sample, ddof=1)
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5.5))
# (a) 同じデータに対する頻度論 vs ベイズ
ax = axes[0]
# 頻度論: t区間
t_crit = stats.t.ppf(0.975, n-1)
freq_lower = xbar - t_crit * s / np.sqrt(n)
freq_upper = xbar + t_crit * s / np.sqrt(n)
# ベイズ: 無情報事前分布 → t分布の事後
# μ の事後分布: t(n-1) 位置xbar, スケール s/√n
mu_grid = np.linspace(2, 8, 500)
posterior = stats.t.pdf(mu_grid, df=n-1, loc=xbar, scale=s/np.sqrt(n))
bayes_lower = stats.t.ppf(0.025, df=n-1, loc=xbar, scale=s/np.sqrt(n))
bayes_upper = stats.t.ppf(0.975, df=n-1, loc=xbar, scale=s/np.sqrt(n))
ax.plot(mu_grid, posterior, 'b-', linewidth=2, label='Posterior $p(\\mu|data)$')
ax.axvspan(freq_lower, freq_upper, alpha=0.15, color='red', label=f'Freq. CI: [{freq_lower:.2f}, {freq_upper:.2f}]')
ax.axvspan(bayes_lower, bayes_upper, alpha=0.15, color='blue', label=f'Bayes CrI: [{bayes_lower:.2f}, {bayes_upper:.2f}]')
ax.axvline(mu_true, color='green', linewidth=2, linestyle='--', label=f'True $\\mu = {mu_true}$')
ax.axvline(xbar, color='black', linewidth=1.5, linestyle=':', label=f'$\\bar{{x}} = {xbar:.2f}$')
ax.set_xlabel('$\\mu$', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Posterior density', fontsize=12)
ax.set_title('Frequentist CI vs Bayesian Credible Interval\n(Flat prior)', fontsize=12)
ax.legend(fontsize=8, loc='upper right')
ax.grid(True, alpha=0.3)
# (b) 情報的事前分布の影響
ax = axes[1]
# 強い事前情報: μ ~ N(3, 0.5²) (真の値から離れた事前分布)
prior_mu = 3.0
prior_sigma = 0.5
prior_tau = 1 / prior_sigma**2
data_tau = n / s**2
# 事後分布: 正規-正規共役
post_tau = prior_tau + data_tau
post_mu = (prior_tau * prior_mu + data_tau * xbar) / post_tau
post_sigma = 1 / np.sqrt(post_tau)
mu_grid2 = np.linspace(1, 8, 500)
# 事前分布
prior_pdf = stats.norm.pdf(mu_grid2, prior_mu, prior_sigma)
ax.plot(mu_grid2, prior_pdf, 'gray', linewidth=1.5, linestyle='--', label='Prior $N(3, 0.25)$')
# 事後分布（情報的事前）
posterior_info = stats.norm.pdf(mu_grid2, post_mu, post_sigma)
bayes_info_lower = stats.norm.ppf(0.025, post_mu, post_sigma)
bayes_info_upper = stats.norm.ppf(0.975, post_mu, post_sigma)
ax.plot(mu_grid2, posterior_info, 'r-', linewidth=2, label=f'Posterior (informative prior)')
ax.axvspan(bayes_info_lower, bayes_info_upper, alpha=0.1, color='red',
label=f'Bayes CrI: [{bayes_info_lower:.2f}, {bayes_info_upper:.2f}]')
# 事後分布（無情報事前）
ax.plot(mu_grid, posterior, 'b-', linewidth=2, alpha=0.7, label='Posterior (flat prior)')
ax.axvspan(freq_lower, freq_upper, alpha=0.1, color='blue',
label=f'Freq. CI: [{freq_lower:.2f}, {freq_upper:.2f}]')
ax.axvline(mu_true, color='green', linewidth=2, linestyle='--', label=f'True $\\mu$')
ax.set_xlabel('$\\mu$', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Density', fontsize=12)
ax.set_title('Effect of Informative Prior', fontsize=12)
ax.legend(fontsize=7, loc='upper right')
ax.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.savefig('confidence_vs_credible.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
このグラフから、信頼区間とベイズ信用区間の関係がわかります。
-
左図: 無情報事前分布（一様事前分布）を使った場合、ベイズ信用区間と頻度論的信頼区間は数値的にほぼ一致します。これは理論的にも知られている結果です。ただし解釈は異なります。頻度論では「この手続きの95%が正しい」、ベイズでは「$\mu$ がこの区間にある事後確率が95%」です
-
右図: 情報的事前分布 $N(3, 0.25)$ を使うと、ベイズ信用区間は事前分布に引っ張られて低い方にシフトします。事前分布が強いと、データの情報だけでは信用区間が頻度論の信頼区間と乖離します。事前情報が正しければ推定精度の向上につながりますが、事前情報が誤っていれば偏った推定になります
まとめ
本記事では、区間推定と信頼区間の理論を解説しました。
- 信頼区間は「手続きの信頼性」を表す。95%信頼区間は、同じ手続きを繰り返したとき95%の区間が真の値を含むことを保証する
- ピボット量を用いて信頼区間を構成する。$\sigma$ 既知ではZ区間、$\sigma$ 未知ではt区間を使う
- t区間はZ区間より広いが、母分散の不確実性を正しく反映してカバレッジを保証する
- ベイズ信用区間は「$\theta$ がこの区間にある確率」という直感的な解釈を持つ
- 無情報事前分布では信頼区間と信用区間が一致するが、情報的事前分布では異なる
次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。
- 仮説検定の全体像 — 信頼区間と仮説検定の双対性
- クラメール・ラオの下限 — 信頼区間の幅の理論的限界
- ベイズ推定 — ベイズ信用区間の詳細