衛星通信の地上局でアンテナから受信した信号を 2 つの受信機に等分配したいとき、あるいはレーダーのモノパルス受信機で 2 本のアンテナ素子からの信号の「和」と「差」を同時に取り出したいとき、私たちは入力電力を正確な比率で、しかも特定の位相関係を保ったまま複数の経路に振り分ける回路を必要とします。さらに厄介な要求として、分配先の 2 つのポートどうしは互いに干渉しない（アイソレーションが取れている）ことも求められます。こうした「電力を分け、かつ分けた先を切り離す」という一見矛盾した働きを、損失をほとんど伴わずに実現するのがハイブリッドカプラ（hybrid coupler）です。
ハイブリッドカプラは、4 つのポートを持つマイクロ波受動回路で、1 つのポートに入れた電力を 2 つのポートに 3 dB ずつ（つまり半分ずつ）に等分配し、残り 1 つのポートには電力が漏れない（アイソレーションポートになる）という性質を持ちます。分配された 2 つの出力の位相差によって、90 度ハイブリッド（ブランチラインカプラ）と 180 度ハイブリッド（ラットレースカプラ）の 2 種類に大きく分かれます。
このデバイスの理論を理解すると、以下のような応用分野が一気に見通せるようになります。
- バランスドアンプ: 2 個の増幅器を 90 度ハイブリッドで挟み込み、反射波を打ち消して広帯域で良好な整合を得る構成。携帯基地局や衛星トランスポンダで標準的に使われます
- モノパルスレーダー: 180 度ハイブリッドで複数アンテナ素子の和信号（Σ）と差信号（Δ）を生成し、目標の角度を高精度に測定します
- 平衡変調器・ミキサ: 90 度ハイブリッドで局部発振信号を直交位相に分け、イメージ信号を抑圧する直交変調・復調を実現します
- アンテナ給電網: 円偏波アンテナの励振や、フェーズドアレイのビームフォーミング回路（バトラーマトリクスなど）の基本構成要素になります
本記事の内容
- 4 ポートハイブリッドの S パラメータ行列とその意味
- 理想ハイブリッドが満たすべき条件（無損失・整合・相反性）の導出
- 偶奇モード解析（even-odd mode analysis）の考え方
- ブランチラインカプラ（90 度ハイブリッド）の S パラメータの完全導出
- 各枝の特性インピーダンスが $Z_0/\sqrt{2}$ になる設計根拠
- ラットレースカプラ（180 度ハイブリッド）の和・差ポートの導出
- Python による周波数掃引: $S_{21}$, $S_{31}$, $S_{41}$ と 3 dB 分配点・アイソレーション帯域・位相差の可視化
前提知識
この記事を読む前に、以下の記事を読んでおくと理解が深まります。
ハイブリッドカプラとは
電力を「分けて」「切り離す」という要求
まず、なぜハイブリッドカプラのような専用回路が必要なのかを直感的に押さえておきましょう。低周波の世界であれば、1 本の信号線を 2 本に分岐させるのは簡単です。配線を T 字に分ければよいだけです。しかしマイクロ波（数 GHz 以上）の世界では、線路の長さが波長と同程度になるため、単純な分岐は深刻な問題を引き起こします。
第一に、T 字分岐ではインピーダンスの不整合が生じます。特性インピーダンス $Z_0$ の線路を 2 本並列にすると合成インピーダンスは $Z_0/2$ になり、入力側から見ると大きな反射が発生して電力がうまく入りません。第二に、そして決定的な問題として、分岐した 2 つの出力ポートが互いに「見えて」しまいます。一方のポートに反射や信号が戻ると、それがもう一方のポートに筒抜けで漏れます。受信機どうしが互いの雑音を拾い合うことになり、実用になりません。
ハイブリッドカプラは、線路の長さ（位相）を巧みに設計することで、入力電力を 2 つの出力に等分配しつつ、その 2 つの出力ポートどうしを完全に切り離すという離れ業を実現します。鍵になるのは「2 つの経路を通ってきた波が、ある場所では強め合い、別の場所では打ち消し合う」という波の干渉です。電力を漏らしたくないポート（アイソレーションポート）では、2 経路の波がちょうど逆位相で到達して打ち消し合うように線路長を設計するのです。
4 ポートデバイスとしてのハイブリッド
ハイブリッドカプラは 4 つのポートを持ちます。慣例的にポート 1 を入力ポート、ポート 2 を直通（through）ポート、ポート 3 を結合（coupled）ポート、ポート 4 をアイソレーション（isolated）ポートと呼びます。ポート 1 に電力を入れると、ポート 2 とポート 3 に半分ずつ（電圧振幅で $1/\sqrt{2}$ ずつ）分配され、ポート 4 には何も出てきません。
「ハイブリッド」という名前は、もともと電話交換機で送話と受話の信号を分離するために使われた回路に由来しますが、現代のマイクロ波工学では「3 dB の等分配で 90 度または 180 度の位相差を持つ 4 ポートデバイス」を指します。3 dB という数字は、電力が半分（$10\log_{10}(1/2) \approx -3.01$ dB）に分けられることを意味します。
ここまでで、ハイブリッドカプラが「等分配」と「アイソレーション」を両立させるデバイスであることを把握しました。では、この性質を数学的にきちんと記述するために、4 ポート回路を表現する S パラメータ（散乱行列）を導入しましょう。
S パラメータによるハイブリッドの記述
散乱行列の復習
高周波回路の各ポートには、入っていく波（入射波）と出ていく波（反射波・透過波）があります。ポート $i$ の入射波の複素振幅を $a_i$、出射波の複素振幅を $b_i$ とすると、4 ポート回路の入出力関係は次の散乱行列 $\bm{S}$ で表されます。
$$ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} S_{11} & S_{12} & S_{13} & S_{14} \\ S_{21} & S_{22} & S_{23} & S_{24} \\ S_{31} & S_{32} & S_{33} & S_{34} \\ S_{41} & S_{42} & S_{43} & S_{44} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{pmatrix} $$
行列要素 $S_{ij}$ は、ポート $j$ にだけ波を入れたとき（他のポートは整合終端、すなわち $a_k = 0$ for $k \neq j$）に、ポート $i$ から出てくる波の比です。
$$ S_{ij} = \left.\frac{b_i}{a_j}\right|_{a_k = 0 \ (k \neq j)} $$
対角要素 $S_{ii}$ はポート $i$ の反射係数、非対角要素 $S_{ij}$（$i \neq j$）はポート $j$ からポート $i$ への透過係数です。S パラメータの詳しい意味については前提記事のSパラメータとはを参照してください。
理想ハイブリッドが満たすべき 3 つの条件
理想的なハイブリッドカプラは、3 つの物理的条件を同時に満たします。これらの条件が S 行列の形を強く制約することを見ていきましょう。
条件 1: 相反性（reciprocity）。受動素子で非可逆媒質（フェライトなど）を含まない回路は相反的であり、S 行列は対称になります。
$$ S_{ij} = S_{ji} $$
条件 2: 整合（matched）。すべてのポートが整合している、すなわち各ポートでの反射がゼロです。
$$ S_{11} = S_{22} = S_{33} = S_{44} = 0 $$
条件 3: 無損失（lossless）。回路内で電力が消費されない（金属損失や誘電体損失を無視）場合、S 行列はユニタリ行列になります。
$$ \bm{S}^\dagger \bm{S} = \bm{I} $$
ここで $\bm{S}^\dagger$ は $\bm{S}$ の共役転置（エルミート共役）、$\bm{I}$ は単位行列です。このユニタリ性は、入力電力の総和が出力電力の総和に等しいという電力保存則の数学的表現にほかなりません。
4 ポートが「方向性結合器」になる必然性
ここで非常に美しい定理があります。整合した無損失の相反 4 ポート回路は、必ず方向性結合器になる、つまりどれか 1 組のポート間が必ずアイソレーションされる、という定理です。これを軽く確認しておきましょう。
整合条件から対角成分はすべて 0 です。相反性から行列は対称です。ユニタリ性 $\bm{S}^\dagger \bm{S} = \bm{I}$ の各列ベクトルが正規直交であることから、列どうしの内積を計算すると、ある非対角要素が必ずゼロにならざるを得ないことが示されます。具体的には、1 列目と 2 列目の内積を取ると、
$$ S_{13}^* S_{23} + S_{14}^* S_{24} = 0 $$
のような関係式が現れ、これらの直交条件を整理すると、適切にポート番号を付け替えれば $S_{14} = S_{41} = 0$（ポート 1 とポート 4 のアイソレーション）を必ず実現できることがわかります。詳しい証明は方向性結合器の設計に譲りますが、要点は「無損失・整合・相反という 3 条件だけから、自動的にアイソレーションポートの存在が保証される」という点です。ハイブリッドはこの方向性結合器の一種で、結合度がちょうど 3 dB（等分配）のものを指します。
90 度ハイブリッドと 180 度ハイブリッドの S 行列
以上の条件のもとで、ポート 1 を入力、ポート 4 をアイソレーションポートとすると、理想ハイブリッドの S 行列は次の標準形になります。まず 90 度ハイブリッド（ブランチライン）は、
$$ \bm{S}_{90} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & j & 1 & 0 \\ j & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & j \\ 0 & 1 & j & 0 \end{pmatrix} $$
の形を持ちます。入力ポート 1 から見ると、ポート 2（直通）には $-j/\sqrt{2}$、ポート 3（結合）には $-1/\sqrt{2}$ が現れ、両者の位相差は 90 度です。ポート 4 への成分は 0 でアイソレーションされています。一方、180 度ハイブリッドは、
$$ \bm{S}_{180} = -\frac{j}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$
の形になります。こちらは出力 2 ポートの位相差が 0 度または 180 度です。ポート構成によって「和ポート」「差ポート」と呼ばれる使い方をします。
これらの S 行列はあくまで「理想ハイブリッドはこうあるべき」という目標です。問題は、これを実際の伝送線路でどう実現するかです。次節では、対称性を利用してこの解析を劇的に簡単にする「偶奇モード解析」という強力な手法を導入します。
偶奇モード解析の考え方
なぜ偶奇モードなのか
ブランチラインカプラは、4 つの伝送線路を四角形に組んだ回路です。これを真正面から解こうとすると、4 ポートの行列方程式を扱うことになり計算が煩雑です。しかし、この回路には対称面があります。対称性のある回路では、入力を「対称な成分」と「反対称な成分」に分解することで、4 ポート問題を 2 つの 2 ポート問題に分割できます。これが偶奇モード解析（even-odd mode analysis）の核心です。
直感的に説明しましょう。対称面を境に上下（あるいは左右）が鏡像になっている回路を考えます。入力 1 とその鏡像位置の入力 4 に、同じ振幅・同じ位相の信号を入れる（偶モード）と、対称面には電流が流れず、あたかも対称面が「磁気壁（開放）」であるかのように振る舞います。逆に、逆位相の信号を入れる（奇モード）と、対称面の電位がゼロになり、「電気壁（短絡）」として振る舞います。
任意の入力は、この偶モードと奇モードの重ね合わせで表せます。ポート 1 にだけ振幅 1 の波を入れる状況は、
$$ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \underbrace{\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\text{偶モード}} + \underbrace{\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}}_{\text{奇モード}} $$
と分解できます。偶モードの励振（振幅 $1/2$）と奇モードの励振（振幅 $1/2$）を別々に解き、最後に足し合わせれば、元の問題の答えが得られます。重ね合わせの原理が成り立つ線形回路だからこそ使える手法です。
反射係数と透過係数への分解
偶モードのときの入力ポートでの反射係数を $\Gamma_e$、対称面の向こう側のポートへの透過係数を $T_e$ とします。同様に奇モードの反射係数を $\Gamma_o$、透過係数を $T_o$ とします。すると、元の 4 ポート回路の各 S パラメータは、これら偶奇モードの量の単純な和・差で書けます。
$$ S_{11} = \frac{1}{2}(\Gamma_e + \Gamma_o), \qquad S_{41} = \frac{1}{2}(\Gamma_e – \Gamma_o) $$
$$ S_{21} = \frac{1}{2}(T_e + T_o), \qquad S_{31} = \frac{1}{2}(T_e – T_o) $$
これらの関係式は、入力をモードに分解し、各モードでの応答を求めて重ね合わせるという手続きから自然に導かれます。$S_{11}$ と $S_{41}$ は反射係数の和差で、$S_{21}$ と $S_{31}$ は透過係数の和差で表される点に注目してください。
ここで分かるのは、もし $\Gamma_e = \Gamma_o$ なら $S_{41} = 0$、つまりアイソレーションが完璧になるということです。つまり「偶モードと奇モードで反射係数が一致するように回路を設計すれば、アイソレーションポートが自動的に実現される」のです。これが偶奇モード解析の威力です。
偶奇モード解析の枠組みが整いました。あとは、ブランチライン回路の偶モード・奇モードそれぞれについて 2 ポート回路を解き、$\Gamma_e, \Gamma_o, T_e, T_o$ を求めればよいわけです。次節で具体的に計算していきましょう。
ブランチラインカプラ（90 度ハイブリッド）の導出
回路構成と各枝のインピーダンス
ブランチラインカプラは、4 本の四分の一波長（$\lambda/4$）線路を正方形に接続した回路です。上下の横枝と左右の縦枝で特性インピーダンスが異なります。ポート 1 を左下、ポート 2 を左上、ポート 3 を右上、ポート 4 を右下に配置するのが標準です。
設計の結論を先に述べると、左右の縦の枝（直列枝）の特性インピーダンスは $Z_0/\sqrt{2}$、上下の横の枝（分路枝）の特性インピーダンスは $Z_0$ にします。$Z_0$ はポートに接続する線路の特性インピーダンス（通常 50 Ω）です。この $Z_0/\sqrt{2} \approx 35.4$ Ω という値がどこから来るのかを、これから偶奇モード解析で導出します。
各枝は電気長 90 度（$\lambda/4$）の伝送線路です。$\lambda/4$ 線路は、インピーダンス変換器として極めて重要な性質を持ちます。特性インピーダンス $Z$ の $\lambda/4$ 線路の終端に負荷 $Z_L$ をつなぐと、入力インピーダンスは、
$$ Z_{\text{in}} = \frac{Z^2}{Z_L} $$
になります。これは終端のインピーダンスを反転して見せる「インピーダンス・インバータ」の働きで、後の計算で繰り返し使います。
対称面の設定と規格化
ブランチライン回路は水平な対称面（ポート 1-2 の左半分とポート 4-3 の右半分を分ける面）を持ちます。この対称面に対して偶モード（磁気壁）と奇モード（電気壁）を考えます。各枝を $\lambda/4$ 線路として扱い、すべてのインピーダンスを $Z_0$ で規格化します（$Z_0 = 1$ とおく）。すると、直列枝の規格化インピーダンスは $1/\sqrt{2}$、分路枝は $1$ になります。
規格化された $\lambda/4$ 線路を 2 ポート回路として扱うには、ABCD 行列（縦続行列）が便利です。特性インピーダンス $Z$（規格化値 $z = Z/Z_0$）、電気長 $\theta$ の伝送線路の ABCD 行列は、
$$ \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & jz\sin\theta \\ \dfrac{j}{z}\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $$
です。$\lambda/4$ 線路では $\theta = 90°$ なので $\cos\theta = 0$, $\sin\theta = 1$ となり、
$$ \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & jz \\ \dfrac{j}{z} & 0 \end{pmatrix} $$
という非常にシンプルな形になります。
偶モードの 2 ポート回路
偶モードでは対称面が磁気壁（開放）になります。このとき、分路枝（横の $\lambda/4$ 線路、規格化インピーダンス $1$）は対称面で開放されるため、長さが半分の $\lambda/8$（電気長 45 度）の開放スタブとして各ポート側に現れます。電気長 45 度の開放スタブの入力アドミタンスは、開放端（$Y_L = 0$）を電気長 45 度の線路で見たものです。規格化アドミタンス $y = 1$ の開放スタブのサセプタンスは、
$$ jB_e = jy\tan\theta = j \cdot 1 \cdot \tan 45° = j $$
となります。つまり偶モードでは、各ポートに $jB_e = j$ の並列サセプタンスが付き、それらが直列枝（規格化インピーダンス $1/\sqrt{2}$ の $\lambda/4$ 線路）で結ばれた回路になります。この回路全体の ABCD 行列を、並列サセプタンス・直列線路・並列サセプタンスの縦続接続として求めます。
$$ \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}_e = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ j & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & j/\sqrt{2} \\ j\sqrt{2} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ j & 1 \end{pmatrix} $$
ここで両端の $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ j & 1 \end{pmatrix}$ は並列サセプタンス $jB_e = j$ を表す行列、中央が直列の $\lambda/4$ 線路（規格化インピーダンス $z = 1/\sqrt{2}$）の行列です。中央の線路は $z = 1/\sqrt{2}$ なので $B = jz = j/\sqrt{2}$、$C = j/z = j\sqrt{2}$ です。
この 3 つの行列を順に掛けましょう。まず中央の行列と右端の行列を掛けると、
$$ \begin{pmatrix} 0 & j/\sqrt{2} \\ j\sqrt{2} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ j & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (j/\sqrt{2})\cdot j & j/\sqrt{2} \\ j\sqrt{2} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/\sqrt{2} & j/\sqrt{2} \\ j\sqrt{2} & 0 \end{pmatrix} $$
次に左端の行列を掛けます。
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ j & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1/\sqrt{2} & j/\sqrt{2} \\ j\sqrt{2} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/\sqrt{2} & j/\sqrt{2} \\ -j/\sqrt{2}+j\sqrt{2} & j\cdot j/\sqrt{2} \end{pmatrix} $$
$(2,1)$ 成分は $j(-1/\sqrt{2}) + j\sqrt{2} = j(\sqrt{2}-1/\sqrt{2}) = j(2-1)/\sqrt{2} = j/\sqrt{2}$、$(2,2)$ 成分は $j \cdot j/\sqrt{2} = -1/\sqrt{2}$ です。したがって偶モードの ABCD 行列は、
$$ \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}_e = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 & j \\ j & -1 \end{pmatrix} $$
という対称な形にまとまりました。
奇モードの 2 ポート回路
奇モードでは対称面が電気壁（短絡）になります。このとき、分路枝は $\lambda/8$ の短絡スタブとして現れます。短絡端（$Y_L = \infty$）を電気長 45 度の線路で見たアドミタンスは、規格化アドミタンス $y = 1$ の短絡スタブのサセプタンスとして、
$$ jB_o = -jy\cot\theta = -j \cdot 1 \cdot \cot 45° = -j $$
になります（短絡スタブは開放スタブと符号が逆になります）。あとは偶モードと全く同じ構成で、並列サセプタンスが $-j$ になっただけです。同様に行列を掛けると、各 $j$ が $-j$ に置き換わるので、
$$ \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}_o = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & j \\ j & 1 \end{pmatrix} $$
が得られます。偶モードと比べると対角成分の符号だけが反転しています。
ABCD から反射・透過係数へ
2 ポート回路の ABCD 行列から、規格化された反射係数 $\Gamma$ と透過係数 $T$ は次の公式で求まります（両端を規格化インピーダンス 1 で終端した場合）。
$$ \Gamma = \frac{A + B – C – D}{A + B + C + D}, \qquad T = \frac{2}{A + B + C + D} $$
偶モードの行列 $A = D = -1/\sqrt{2}$, $B = C = j/\sqrt{2}$ を代入します。まず分母を計算すると、
$$ A + B + C + D = -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{j}{\sqrt{2}} + \frac{j}{\sqrt{2}} – \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{-2 + 2j}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}(-1 + j) $$
分子（$\Gamma_e$ 用）は $A + B – C – D = -1/\sqrt{2} + j/\sqrt{2} – j/\sqrt{2} + 1/\sqrt{2} = 0$ です。したがって、
$$ \Gamma_e = 0 $$
つまり偶モードでは反射がありません。透過係数は、
$$ T_e = \frac{2}{\sqrt{2}(-1+j)} = \frac{\sqrt{2}}{-1+j} = \frac{\sqrt{2}(-1-j)}{(-1+j)(-1-j)} = \frac{\sqrt{2}(-1-j)}{2} = \frac{-1-j}{\sqrt{2}} $$
ここで分母の有理化に $(-1+j)(-1-j) = 1 – j^2 = 2$ を使いました。この $T_e$ の大きさは $|T_e| = \sqrt{(1/2)+(1/2)} = 1$ で、位相は第 3 象限の $-135°$ です。
奇モードの行列 $A = D = 1/\sqrt{2}$, $B = C = j/\sqrt{2}$ も同様に代入します。分母は、
$$ A + B + C + D = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{j}{\sqrt{2}} + \frac{j}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2 + 2j}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}(1 + j) $$
分子（$\Gamma_o$ 用）は $A + B – C – D = 1/\sqrt{2} + j/\sqrt{2} – j/\sqrt{2} – 1/\sqrt{2} = 0$ なので、
$$ \Gamma_o = 0 $$
透過係数は、
$$ T_o = \frac{2}{\sqrt{2}(1+j)} = \frac{\sqrt{2}}{1+j} = \frac{\sqrt{2}(1-j)}{2} = \frac{1-j}{\sqrt{2}} $$
となります。こちらは位相が $-45°$ です。
S パラメータの組み立て
いよいよ偶奇モードの結果を組み合わせて、ブランチラインカプラの S パラメータを求めます。前に導いた重ね合わせの式に代入しましょう。まず入力ポートの反射 $S_{11}$ は、
$$ S_{11} = \frac{1}{2}(\Gamma_e + \Gamma_o) = \frac{1}{2}(0 + 0) = 0 $$
アイソレーションポートへの結合 $S_{41}$ は、
$$ S_{41} = \frac{1}{2}(\Gamma_e – \Gamma_o) = \frac{1}{2}(0 – 0) = 0 $$
$S_{11} = 0$ は入力ポートが完全整合していることを、$S_{41} = 0$ はポート 4 が完全にアイソレーションされていることを意味します。理想ハイブリッドの条件 2（整合）とアイソレーションが、設計値で見事に成立しています。
続いて直通ポート $S_{21}$ は、
$$ S_{21} = \frac{1}{2}(T_e + T_o) = \frac{1}{2}\left(\frac{-1-j}{\sqrt{2}} + \frac{1-j}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{-2j}{\sqrt{2}} = \frac{-j}{\sqrt{2}} $$
結合ポート $S_{31}$ は、
$$ S_{31} = \frac{1}{2}(T_e – T_o) = \frac{1}{2}\left(\frac{-1-j}{\sqrt{2}} – \frac{1-j}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{-2}{\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} $$
この 2 つの結果が決定的です。$S_{21} = -j/\sqrt{2}$ と $S_{31} = -1/\sqrt{2}$ は、いずれも振幅が $1/\sqrt{2}$、すなわち電力で半分（$|S_{21}|^2 = |S_{31}|^2 = 1/2$）の等分配を意味します。さらに、$-j = e^{-j90°}$ と $-1 = e^{-j180°}$ ですから、両者の位相差は、
$$ \angle S_{21} – \angle S_{31} = (-90°) – (-180°) = +90° $$
ちょうど 90 度です。これが「90 度ハイブリッド」という名前の由来です。直通ポートと結合ポートの出力は、必ず 90 度の位相差を持って現れます。
なぜ直列枝が $Z_0/\sqrt{2}$ なのか
ここで、設計の核心である「なぜ直列枝の特性インピーダンスが $Z_0/\sqrt{2}$ なのか」を改めて整理しましょう。偶モードの計算で $\Gamma_e = 0$ となるためには、ABCD 行列の分子 $A + B – C – D$ がゼロになる必要がありました。これは回路が整合する条件です。
一般に直列枝の規格化インピーダンスを $z_s$、分路枝の規格化アドミタンスを $y_p$ として偶モード回路を組み立て、整合条件 $\Gamma_e = 0$ と等分配条件 $|S_{21}| = |S_{31}| = 1/\sqrt{2}$ を課すと、
$$ z_s = \frac{1}{\sqrt{2}}, \qquad y_p = 1 \ (\text{すなわち分路枝の特性インピーダンスは } Z_0) $$
が一意に決まります。物理的には、入力ポートから見たとき、直通経路と結合経路の 2 つに電力が等分配される際、入力インピーダンス $Z_0$ が 2 つの $\lambda/4$ 線路を介して整合するためには、直列枝のインピーダンスがちょうど $Z_0/\sqrt{2}$ である必要があるのです。$\lambda/4$ 線路のインピーダンス変換則 $Z_{\text{in}} = Z^2/Z_L$ に照らすと、2 分配で各経路が $2Z_0$ 相当の負荷に見え、$Z = Z_0/\sqrt{2}$ の線路がこれを $Z^2/(2Z_0) = (Z_0^2/2)/(2Z_0) = Z_0/4$… と、複数経路の合成で $Z_0$ に整合するように働きます。要するに $1/\sqrt{2}$ という因子は、電力を 2 等分（電圧で $1/\sqrt{2}$）するという要求から必然的に出てくる値なのです。
ブランチラインカプラの全 S パラメータが導けました。次は、もう一方の代表選手である 180 度ハイブリッド（ラットレース）を見ていきます。
ラットレースカプラ（180 度ハイブリッド）の導出
リング状の回路構成
ラットレースカプラ（rat-race coupler、ハイブリッドリングとも呼ばれます）は、その名の通り「ネズミの競争コース」のようなリング状の回路です。全周 $1.5\lambda$（電気長 540 度）のリングに、4 つのポートを特定の間隔で配置します。ポート間の距離は、ポート 1 からポート 2 まで $\lambda/4$、ポート 2 からポート 3 まで $\lambda/4$、ポート 3 からポート 4 まで $\lambda/4$、そしてポート 4 からポート 1 まで $3\lambda/4$ という配置です。合計すると $\lambda/4 \times 3 + 3\lambda/4 = 6\lambda/4 = 1.5\lambda$ になります。
リングを構成する伝送線路の特性インピーダンスは、すべて $\sqrt{2}\,Z_0 \approx 70.7$ Ω です。ブランチラインの $Z_0/\sqrt{2}$ とは異なり、こちらは $\sqrt{2}$ 倍である点に注意してください。この値も偶奇モード解析から導かれます。
和ポートと差ポートの動作
ラットレースの最大の特徴は、入力するポートによって「和」と「差」の動作が切り替わることです。直感的に説明しましょう。あるポートに入れた波は、リングを左回りと右回りの 2 方向に分かれて進みます。別のポートに到達したとき、左回りと右回りで通った距離（=位相）が異なります。2 つの波の位相差が 0 度（同相）なら強め合って出力が現れ、位相差が 180 度（逆相）なら打ち消し合って出力がゼロ（アイソレーション）になります。
たとえばポート 1（和ポート、Σ）に入力すると、ポート 2 とポート 3 に同相・等振幅で出力され、ポート 4 はアイソレーションされます。一方、ポート 4（差ポート、Δ）に入力すると、ポート 2 とポート 3 に逆相・等振幅で出力され、ポート 1 がアイソレーションされます。このため、ポート 2 と 3 に 2 本のアンテナをつなぐと、ポート 1 からは 2 素子の信号の「和」、ポート 4 からは「差」が取り出せます。これがモノパルスレーダーの角度検出原理です。
偶奇モード解析による導出
ラットレースもブランチラインと同様、対称面を持つので偶奇モード解析が使えます。リングの対称面に対して偶モード・奇モードを考えると、それぞれ $\lambda/8$（45 度）と $3\lambda/8$（135 度）の開放・短絡スタブを含む 2 ポート回路に分解されます。
リングの各区間が特性インピーダンス $\sqrt{2}\,Z_0$（規格化値 $z = \sqrt{2}$）の線路であることを使って、偶モード・奇モードそれぞれの反射係数と透過係数を計算します。詳細な ABCD 行列の積はブランチラインと同様の手順なので結果のみ示すと、入力をポート 1、出力をポート 2・3、アイソレーションをポート 4 とした場合、
$$ S_{21} = \frac{-j}{\sqrt{2}}, \qquad S_{31} = \frac{-j}{\sqrt{2}}, \qquad S_{41} = 0 $$
が得られます。$S_{21}$ と $S_{31}$ がともに $-j/\sqrt{2}$、すなわち同相・等振幅です。位相差は 0 度です。
一方、差ポート（ポート 4）から入力した場合は、
$$ S_{24} = \frac{-j}{\sqrt{2}}, \qquad S_{34} = \frac{+j}{\sqrt{2}}, \qquad S_{14} = 0 $$
となり、$S_{24}$ と $S_{34}$ は符号が逆、すなわち位相差 180 度です。和ポートと差ポートで出力の位相関係が 0 度と 180 度に切り替わる——これが「180 度ハイブリッド」の名前の由来です。
リングの線路が $\sqrt{2}\,Z_0$ になる根拠
ブランチラインでは直列枝が $Z_0/\sqrt{2}$ でしたが、ラットレースではリング線路が $\sqrt{2}\,Z_0$ になります。この違いは回路トポロジーの違いから来ます。
ラットレースでは、入力ポートから見たとき電力が左右 2 方向に分かれてリングを伝わります。等分配のためには、入力ポートから左回り・右回りの 2 経路がそれぞれ $2Z_0$ のインピーダンスに見える必要があります（2 つの $2Z_0$ が並列で $Z_0$ になり整合）。$\lambda/4$ 線路のインピーダンス変換則を考えると、リングの線路インピーダンス $Z_r$ は、和ポートでの整合条件から $Z_r = \sqrt{2}\,Z_0$ と決まります。ブランチラインが「直列枝＋分路枝」の格子構造で電圧分割するのに対し、ラットレースは「1 本のリングを 2 方向に分ける」電流分割の構造であるため、必要なインピーダンスが逆数的な関係（$1/\sqrt{2}$ vs $\sqrt{2}$）になるわけです。
90 度・180 度の両ハイブリッドの S パラメータが理論的に導けました。ただし、これらはすべて「設計周波数ちょうど」での理想値です。実際の回路では、$\lambda/4$ という長さは特定の周波数でしか成り立たないため、周波数が設計値からずれると特性が劣化します。次節では、Python でこの周波数依存性を計算し、ハイブリッドの「帯域」がどれくらいなのかを定量的に調べましょう。
具体例 — 設計値の確認
実際の数値で設計値を確認しておきましょう。中心周波数 $f_0 = 10$ GHz、ポートインピーダンス $Z_0 = 50$ Ω のブランチラインカプラを設計します。
直列枝（縦の枝）の特性インピーダンスは、
$$ Z_{\text{series}} = \frac{Z_0}{\sqrt{2}} = \frac{50}{1.414} \approx 35.4 \ \Omega $$
分路枝（横の枝）の特性インピーダンスは $Z_{\text{shunt}} = Z_0 = 50$ Ω です。各枝の長さは設計周波数での $\lambda/4$ に相当します。基板の実効誘電率を $\varepsilon_{\text{eff}} = 6.5$（よくあるマイクロストリップの値）とすると、線路上の波長は、
$$ \lambda = \frac{c}{f_0\sqrt{\varepsilon_{\text{eff}}}} = \frac{3\times10^8}{10\times10^9 \times \sqrt{6.5}} \approx 11.8 \ \text{mm} $$
したがって各枝の長さは $\lambda/4 \approx 2.9$ mm 程度になります。これらの数値は直感に合います。35.4 Ω という低めのインピーダンスは、マイクロストリップでは線路幅を太くすることで実現でき、50 Ω 線路より幅広になります。
一方、ラットレースカプラでは、リングの特性インピーダンスが $\sqrt{2}\times50 \approx 70.7$ Ω となり、こちらは 50 Ω より細い線路で実現します。リングの全周は $1.5\lambda \approx 17.7$ mm です。
設計値が具体的な寸法として実現できることを確認できました。では、これらの設計が周波数に対してどう振る舞うかを Python で計算してみましょう。
Python による帯域特性の可視化
周波数掃引による S パラメータ計算
各枝を ABCD 行列でモデル化し、周波数を変えながら（電気長 $\theta = 90° \times f/f_0$ が周波数に比例して変化する）ブランチラインカプラの S パラメータを計算します。偶奇モード解析で求めた $T_e, T_o$ の式を周波数の関数として一般化し、$S_{21}, S_{31}, S_{41}$ を周波数掃引します。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 設計パラメータ
f0 = 10e9 # 中心周波数 [Hz]
Z0 = 1.0 # 規格化ポートインピーダンス
z_series = 1/np.sqrt(2) # 直列枝（規格化）
z_shunt = 1.0 # 分路枝（規格化）
def abcd_tline(z, theta):
"""特性インピーダンスz(規格化)、電気長theta[rad]の伝送線路のABCD行列"""
A = np.cos(theta)
B = 1j * z * np.sin(theta)
C = 1j / z * np.sin(theta)
D = np.cos(theta)
return np.array([[A, B], [C, D]], dtype=complex)
def abcd_shunt_stub(z, theta, kind):
"""並列スタブ(開放/短絡)のABCD行列。kind='open' or 'short'"""
# スタブの入力アドミタンス
if kind == 'open':
Y = 1j * (1/z) * np.tan(theta) # 開放スタブ
else:
Y = -1j * (1/z) * (1/np.tan(theta)) # 短絡スタブ
return np.array([[1, 0], [Y, 1]], dtype=complex)
ここまでで、伝送線路と並列スタブの ABCD 行列を生成する関数を用意しました。偶モードでは分路枝が開放スタブ（$\lambda/8$）、奇モードでは短絡スタブとして現れることを利用します。次に、これらを組み合わせて偶奇モードの反射・透過係数を計算します。
def gamma_T_from_abcd(M):
"""ABCD行列Mから反射係数Γと透過係数Tを計算(両端を規格化Z0=1で終端)"""
A, B = M[0, 0], M[0, 1]
C, D = M[1, 0], M[1, 1]
denom = A + B + C + D
Gamma = (A + B - C - D) / denom
T = 2 / denom
return Gamma, T
def branchline_S(f):
"""周波数fでのブランチラインカプラのS21,S31,S41を計算"""
theta = (np.pi/2) * (f / f0) # 直列枝の電気長(f0で90度)
theta_stub = theta / 2 # 分路枝は半分(f0で45度)
# 偶モード: 並列開放スタブ + 直列線路 + 並列開放スタブ
Me = (abcd_shunt_stub(z_shunt, theta_stub, 'open') @
abcd_tline(z_series, theta) @
abcd_shunt_stub(z_shunt, theta_stub, 'open'))
# 奇モード: 並列短絡スタブ + 直列線路 + 並列短絡スタブ
Mo = (abcd_shunt_stub(z_shunt, theta_stub, 'short') @
abcd_tline(z_series, theta) @
abcd_shunt_stub(z_shunt, theta_stub, 'short'))
Ge, Te = gamma_T_from_abcd(Me)
Go, To = gamma_T_from_abcd(Mo)
S21 = 0.5 * (Te + To)
S31 = 0.5 * (Te - To)
S41 = 0.5 * (Ge - Go)
S11 = 0.5 * (Ge + Go)
return S11, S21, S31, S41
この branchline_S 関数は、偶奇モードそれぞれの ABCD 行列を周波数ごとに構築し、反射・透過係数を経て 4 つの S パラメータを返します。電気長 theta が周波数に比例して変化する点が、帯域特性を生み出す本質です。次に、これを周波数掃引してプロットします。
# 周波数掃引(5GHz〜15GHz)
freqs = np.linspace(5e9, 15e9, 401)
S11_arr, S21_arr, S31_arr, S41_arr = [], [], [], []
for f in freqs:
s11, s21, s31, s41 = branchline_S(f)
S11_arr.append(s11); S21_arr.append(s21)
S31_arr.append(s31); S41_arr.append(s41)
S11_arr = np.array(S11_arr); S21_arr = np.array(S21_arr)
S31_arr = np.array(S31_arr); S41_arr = np.array(S41_arr)
# dB変換
def to_dB(s):
return 20 * np.log10(np.abs(s) + 1e-12)
plt.figure(figsize=(9, 6))
plt.plot(freqs/1e9, to_dB(S21_arr), label='|S21| (through)', lw=2)
plt.plot(freqs/1e9, to_dB(S31_arr), label='|S31| (coupled)', lw=2)
plt.plot(freqs/1e9, to_dB(S41_arr), label='|S41| (isolation)', lw=2)
plt.plot(freqs/1e9, to_dB(S11_arr), label='|S11| (return loss)', lw=2, ls='--')
plt.axhline(-3.01, color='gray', ls=':', label='-3 dB')
plt.axvline(10, color='k', ls=':', alpha=0.5)
plt.xlabel('Frequency [GHz]')
plt.ylabel('Magnitude [dB]')
plt.title('Branch-line Coupler — S-parameters vs Frequency')
plt.ylim(-40, 2)
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.savefig('branchline_sparams.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
このグラフから、ブランチラインカプラの帯域特性が読み取れます。第一に、中心周波数 10 GHz で $|S_{21}|$ と $|S_{31}|$ がともに $-3.01$ dB の点で交差しており、理論通り電力が正確に等分配されています。第二に、同じく 10 GHz で $|S_{41}|$（アイソレーション）と $|S_{11}|$（反射）が深い谷（理想的にはマイナス無限大）に落ち込んでおり、アイソレーションと整合が完璧に成立しています。第三に、周波数が中心から離れると分配比が崩れ、アイソレーションも劣化します。実用的にアイソレーションが 20 dB 以上取れる帯域はおよそ中心周波数の $\pm10\%$ 程度で、ブランチラインは比較的狭帯域なデバイスであることがわかります。
位相差の周波数依存性
次に、直通ポートと結合ポートの位相差が周波数に対してどう変化するかを調べます。90 度ハイブリッドの「90 度」がどれくらい安定しているかを確認します。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 位相差(S21とS31)の計算
phase_diff = np.angle(S21_arr, deg=True) - np.angle(S31_arr, deg=True)
# -180〜180に正規化
phase_diff = (phase_diff + 180) % 360 - 180
plt.figure(figsize=(9, 5))
plt.plot(freqs/1e9, phase_diff, lw=2, color='purple')
plt.axhline(90, color='gray', ls=':', label='90 deg (ideal)')
plt.axvline(10, color='k', ls=':', alpha=0.5)
plt.xlabel('Frequency [GHz]')
plt.ylabel('Phase(S21) - Phase(S31) [deg]')
plt.title('Branch-line Coupler — Output Phase Difference')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.savefig('branchline_phase.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
このグラフから、ブランチラインカプラの隠れた長所が見えてきます。振幅特性（$|S_{21}|, |S_{31}|$）は周波数で変化しましたが、出力位相差は広い帯域にわたってほぼ正確に 90 度を保っています。これはブランチラインの大きな利点で、振幅バランスは多少崩れても位相差は安定しているため、位相精度が重要な直交変調器や移相器の用途に向いています。設計周波数から $\pm20\%$ 離れても、位相差は 90 度から数度程度しかずれません。
分配特性のスミスチャート的確認と帯域の定量化
最後に、アイソレーションが 20 dB を超える帯域幅（=実用帯域）を定量的に求め、振幅バランスとあわせて確認します。
import numpy as np
# アイソレーション20dB以上の帯域を抽出
iso_dB = to_dB(S41_arr)
mask = iso_dB <= -20.0 # 20dB以上のアイソレーション
if np.any(mask):
f_band = freqs[mask]
f_low, f_high = f_band.min(), f_band.max()
bw = (f_high - f_low) / f0 * 100
print(f"アイソレーション20dB以上の帯域: "
f"{f_low/1e9:.2f} - {f_high/1e9:.2f} GHz")
print(f"比帯域幅: {bw:.1f} %")
# 中心周波数での値を確認
s11_0, s21_0, s31_0, s41_0 = branchline_S(f0)
print(f"f0=10GHz: |S21|={to_dB(s21_0):.2f}dB, "
f"|S31|={to_dB(s31_0):.2f}dB")
print(f" |S41|={to_dB(s41_0):.1f}dB, "
f"|S11|={to_dB(s11_0):.1f}dB")
print(f" phase(S21)-phase(S31)="
f"{np.angle(s21_0,deg=True)-np.angle(s31_0,deg=True):.1f} deg")
この出力から、設計の妥当性が数値で裏付けられます。中心周波数では $|S_{21}|$ も $|S_{31}|$ も $-3.0$ dB 付近、$|S_{41}|$ と $|S_{11}|$ は理論上マイナス無限大（数値計算では $-100$ dB 以下の非常に小さな値）になり、位相差はちょうど 90 度になります。アイソレーション 20 dB 以上の比帯域幅は約 20%（おおよそ 9〜11 GHz）と算出され、先ほどのグラフの読み取りと一致します。ブランチラインカプラが狭帯域である一方で、中心周波数では理想的な特性を示すことが定量的に確認できました。
ラットレースとの帯域比較
参考までに、ラットレースカプラの S パラメータも同じ枠組みで計算し、ブランチラインと帯域を比較してみましょう。ラットレースはリングの各区間（$\lambda/4$ と $3\lambda/4$）を ABCD 行列でつなぎ、4 ポートを直接計算します。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
f0 = 10e9
zr = np.sqrt(2) # リング線路の規格化インピーダンス
def ratrace_S41_S21(f):
"""ラットレースの和ポート入力時 S21(同相), S41(アイソレーション)を簡易計算"""
theta = (np.pi/2) * (f / f0) # λ/4区間の電気長
# 偶奇モード等価回路(λ/8開放/短絡 と 3λ/8開放/短絡 のスタブ)
th1 = theta / 2 # λ/8 → 45度 @ f0
th3 = 3 * theta / 2 # 3λ/8 → 135度 @ f0
def stub(kind, th):
if kind == 'open':
Y = 1j * (1/zr) * np.tan(th)
else:
Y = -1j * (1/zr) * (1/np.tan(th))
return np.array([[1, 0], [Y, 1]], dtype=complex)
line = lambda th: np.array([[np.cos(th), 1j*zr*np.sin(th)],
[1j/zr*np.sin(th), np.cos(th)]], dtype=complex)
# 偶: 開放スタブ-線路-開放スタブ / 奇: 短絡スタブ-線路-短絡スタブ
Me = stub('open', th1) @ line(theta) @ stub('open', th3)
Mo = stub('short', th1) @ line(theta) @ stub('short', th3)
def gT(M):
A,B,C,D = M[0,0],M[0,1],M[1,0],M[1,1]
den = A+B+C+D
return (A+B-C-D)/den, 2/den
Ge,Te = gT(Me); Go,To = gT(Mo)
S21 = 0.5*(Te+To); S41 = 0.5*(Ge-Go)
return S21, S41
freqs = np.linspace(5e9, 15e9, 401)
rr21 = np.array([ratrace_S41_S21(f)[0] for f in freqs])
rr41 = np.array([ratrace_S41_S21(f)[1] for f in freqs])
def to_dB(s): return 20*np.log10(np.abs(s)+1e-12)
plt.figure(figsize=(9, 5))
plt.plot(freqs/1e9, to_dB(rr21), label='|S21| rat-race (sum)', lw=2)
plt.plot(freqs/1e9, to_dB(rr41), label='|S41| rat-race (iso)', lw=2)
plt.axhline(-3.01, color='gray', ls=':', label='-3 dB')
plt.axvline(10, color='k', ls=':', alpha=0.5)
plt.xlabel('Frequency [GHz]'); plt.ylabel('Magnitude [dB]')
plt.title('Rat-race Coupler — S-parameters vs Frequency')
plt.ylim(-40, 2); plt.legend(); plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.savefig('ratrace_sparams.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
このグラフから、ラットレースカプラもブランチラインと同様、中心周波数 10 GHz で $|S_{21}|$ が $-3$ dB、アイソレーション $|S_{41}|$ が深い谷を示すことが読み取れます。ラットレースの帯域はブランチラインとおおむね同程度（比帯域で 20〜30% 程度）ですが、$3\lambda/4$ 区間を含むため周波数特性の対称性がやや崩れ、アイソレーションの谷が中心周波数から少しずれる傾向が見られます。両者を比べると、用途に応じて「90 度位相差が欲しいならブランチライン」「和差（0 度/180 度）が欲しいならラットレース」と使い分けることになります。
これらの可視化を通じて、理論で導いた理想 S パラメータが中心周波数で厳密に成立し、周波数が離れるにつれて特性が劣化していく様子を定量的に確認できました。ハイブリッドカプラの設計とは、要求される帯域と位相精度に応じて、適切なトポロジー（ブランチライン/ラットレース）と段数（多段化で広帯域化）を選ぶことに尽きます。
まとめ
本記事では、90 度ハイブリッド（ブランチラインカプラ）と 180 度ハイブリッド（ラットレースカプラ）の理論を、S パラメータと偶奇モード解析を用いて基礎から導出しました。要点を整理します。
- 理想ハイブリッドの S 行列: 無損失・整合・相反という 3 条件から、整合した 4 ポートは必ず方向性結合器になり、3 dB 等分配のものがハイブリッドである
- 偶奇モード解析: 対称面を持つ回路は、偶モード（磁気壁）と奇モードの 2 つの 2 ポート問題に分解でき、$S_{i1}$ は偶奇モードの反射・透過係数の和差で表せる
- ブランチラインの導出: $\Gamma_e = \Gamma_o = 0$ よりアイソレーションが成立し、$S_{21} = -j/\sqrt{2}$, $S_{31} = -1/\sqrt{2}$ で出力位相差は 90 度
- 設計値: 直列枝の特性インピーダンスは $Z_0/\sqrt{2} \approx 35.4$ Ω、分路枝は $Z_0$。この $1/\sqrt{2}$ 因子は電力 2 等分の要求から必然的に決まる
- ラットレースの導出: リング線路は $\sqrt{2}\,Z_0 \approx 70.7$ Ω、和ポート入力で 0 度、差ポート入力で 180 度の出力位相差を実現する
- 帯域特性: いずれも中心周波数で理想特性を示すが、$\lambda/4$ が周波数依存なため比帯域 20% 程度の狭帯域。ブランチラインは位相差が広帯域で安定するという長所を持つ
ハイブリッドカプラは、バランスドアンプ、モノパルスレーダー、直交変復調器、アンテナ給電網など、マイクロ波システムの至るところで使われる基本部品です。本記事で身につけた偶奇モード解析は、ウィルキンソン分配器やフィルタなど、対称性を持つ他の多くのマイクロ波回路にもそのまま応用できます。
次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。