ラジオを聴いているとき、特定の周波数にチューニングして放送を受信します。もし妨害電波がその周波数に集中的に送られたら、放送は完全にかき消されてしまうでしょう。では、送信側と受信側が「秘密の時刻表」を共有し、数ミリ秒ごとに使う周波数をランダムに切り替えたらどうなるでしょうか？ 妨害者はどの周波数を狙えばいいか分からず、仮に1つの周波数を潰しても、すぐに別の周波数に逃げられてしまいます。これが 周波数ホッピングスペクトラム拡散（FH-SS: Frequency Hopping Spread Spectrum） の基本アイデアです。
FH-SS は、直接拡散方式（DS-SS）と並ぶスペクトラム拡散の代表的な手法であり、以下のような場面で広く活用されています。
- Bluetooth: 2.4 GHz 帯の 79 チャネル（Bluetooth 5 では 40 チャネル）を毎秒 1600 回ホッピングし、Wi-Fi や電子レンジなど同帯域の干渉を回避する
- 軍事通信: 敵の妨害電波（ジャミング）や傍受に対して高い耐性を持つ秘匿通信を実現する
- 無線LAN（IEEE 802.11 初期規格）: 初期の無線LAN 規格ではFH-SS が採用されていた
- IoT・センサーネットワーク: LoRa などの低電力広域ネットワーク（LPWAN）でも周波数ホッピングの概念が利用される
本記事の内容
- スペクトラム拡散の基本概念とFH-SS の位置づけ
- FH-SS の原理（送信・受信モデル）
- 高速ホッピング（FFH）と低速ホッピング（SFH）の違い
- PN系列（擬似雑音系列）によるホッピングパターン生成
- 処理利得と耐干渉性（ジャミングマージン）の定量的解析
- 秘匿性と多元接続（FH-CDMA）
- 応用：Bluetooth の適応型周波数ホッピング（AFH）
- Python によるFH-SSシステムのシミュレーションとスペクトログラム可視化
前提知識
この記事を読む前に、以下の記事を読んでおくと理解が深まります。
スペクトラム拡散とは
なぜ帯域を「拡散」するのか
通常の通信では、情報を伝えるために必要な最小限の帯域幅を使います。たとえば音声通話なら約 4 kHz、デジタルデータなら変調方式で決まるナイキスト帯域幅です。ところがスペクトラム拡散では、情報レートから決まる最小帯域よりもはるかに広い帯域を意図的に使います。
なぜわざわざ帯域を無駄遣いするのでしょうか？ その理由は、シャノンの通信路容量の式に隠されています。
$$ C = W \log_2\left(1 + \frac{S}{N}\right) $$
ここで $C$ は通信路容量（bps）、$W$ は帯域幅（Hz）、$S/N$ は信号対雑音比です。この式は「帯域幅 $W$ を広げれば、$S/N$ が低くても同じ容量 $C$ を維持できる」ことを教えてくれます。つまり、帯域を拡散して信号の電力密度を下げても、広い帯域で積分すれば情報を復元できるのです。
この原理は日常にもたとえられます。広い畑に種を薄くまいても、畑全体を刈り取れば同じ量の収穫が得られるようなものです。信号を広い帯域に「薄く」拡散しても、受信側で全帯域を正しく集めれば元の情報が復元できます。
スペクトラム拡散の2つの方式
スペクトラム拡散には大きく2つの方式があります。
直接拡散方式（DS-SS: Direct Sequence Spread Spectrum） は、情報ビットに高速なPN符号を乗算して広帯域信号に変換します。CDMA通信の理論で詳しく解説した方式であり、符号の相関演算によって信号を復元します。帯域全体に信号エネルギーを常時拡散する「面」的な拡散です。
周波数ホッピング方式（FH-SS: Frequency Hopping Spread Spectrum） は、搬送波周波数を高速に切り替えることで帯域を拡散します。ある瞬間には狭い帯域を使いますが、時間とともに使う周波数がランダムに変化するため、長い目で見ると広い帯域を使っています。これは「点」が時間とともに移動する拡散です。
DS-SS が空間全体に薄い霧を張るイメージなら、FH-SS は暗い部屋の中で懐中電灯が素早くあちこちを照らすイメージです。どちらも「広い帯域にエネルギーを分散させる」という目的は同じですが、その実現方法が根本的に異なります。
この2つの方式の違いを踏まえた上で、FH-SS の送受信メカニズムを数学的に定式化していきましょう。
FH-SS の原理
送信モデル
FH-SS 送信機の動作を数学的にモデル化します。情報信号 $d(t)$ を、時刻によって変化する搬送波周波数 $f_h(t)$ で変調します。
ホッピング帯域全体を $M$ 個の周波数スロット（チャネル）に分割します。各チャネルの中心周波数を $f_0, f_1, \dots, f_{M-1}$ とすると、時刻 $t$ におけるホッピング周波数は
$$ f_h(t) = f_{i(t)} $$
と表されます。ここで $i(t) \in \{0, 1, \dots, M-1\}$ はPN系列によって決定されるチャネルインデックスです。
ホッピング周期（1つの周波数にとどまる時間）を $T_h$ とすると、第 $n$ ホップ区間 $[nT_h, (n+1)T_h)$ における送信信号は
$$ s(t) = A \cos\left(2\pi (f_{i_n} + f_d(t)) \, t + \phi_n\right), \quad nT_h \leq t < (n+1)T_h $$
と書けます。ここで $A$ は振幅、$i_n$ は第 $n$ ホップのチャネルインデックス、$f_d(t)$ は情報信号による周波数偏移（FSK の場合）または位相変調成分、$\phi_n$ は初期位相です。
要するに、FH-SS の送信信号は「ホッピングパターンに従って搬送波周波数が離散的にジャンプする変調信号」です。
受信モデル
受信側では、送信側と同一のPN系列から同じホッピングパターンを生成し、受信信号の搬送波周波数をホップごとに追従させます。このプロセスを デホッピング（de-hopping） と呼びます。
受信信号 $r(t)$ に対して、受信側で生成したホッピング搬送波 $\cos(2\pi f_{i_n} t)$ を乗じると、周波数がベースバンド近傍にダウンコンバートされます。
$$ r_{\text{dehopped}}(t) = r(t) \cdot \cos(2\pi f_{i_n} t) $$
この信号をバンドパスフィルタ（BPF）に通すと、ホッピング周波数と一致する成分だけが抽出され、他の周波数に存在する干渉やジャミングは除去されます。
デホッピング後の信号は、通常の狭帯域信号として復調できます。FSK 変調なら非コヒーレント検波、PSK 変調ならコヒーレント検波（ホップ間の位相連続性が必要）を適用します。
ここで重要なのは、デホッピングにおいて送信側と受信側のPN系列が完全に同期していなければならない点です。PN系列の同期が外れると正しい周波数をトラッキングできず、信号を復元できません。この同期の仕組みが、FH-SS の秘匿性と耐干渉性の両方を支えています。
送受信の基本構造がわかったところで、FH-SS には2つの重要なバリエーションがあります。ホッピング速度と情報シンボル速度の関係で分類される「高速ホッピング」と「低速ホッピング」です。
高速ホッピング（FFH）と低速ホッピング（SFH）
分類の基準
FH-SS は、1つの情報シンボルの間に何回周波数をホッピングするかで2つに分類されます。情報シンボル周期を $T_s$、ホッピング周期を $T_h$ として比較します。
低速ホッピング（SFH: Slow Frequency Hopping） は $T_h \geq T_s$ の場合、すなわち1回のホップで1個以上のシンボルを送信する方式です。ホッピングレートがシンボルレートよりも低い（遅い）ため「低速」と呼ばれます。
高速ホッピング（FFH: Fast Frequency Hopping） は $T_h < T_s$ の場合、すなわち1つのシンボルが複数のホップにまたがって送信される方式です。ホッピングレートがシンボルレートよりも高い（速い）ため「高速」と呼ばれます。
この分類を数式で表すと、1シンボルあたりのホップ数 $L$ は
$$ L = \frac{T_s}{T_h} $$
で、$L < 1$ が SFH、$L = 1$ が境界、$L > 1$ が FFH に対応します。ただし慣例として $L \leq 1$（$T_h \geq T_s$）を SFH、$L > 1$（$T_h < T_s$）を FFH と呼びます。
低速ホッピング（SFH）の特徴
SFH では1つのホップ区間に複数のシンボルが含まれるため、そのホップの周波数がジャミングに遭うと、対応する複数のシンボルが連続して誤ります。これは バースト誤り を引き起こします。
たとえば $T_h = 4T_s$ のSFHシステムで、あるホップの周波数がジャマーに狙われると、そのホップ中の4シンボルがすべて破壊されます。この対策として、インターリーバ でシンボルの順序を入れ替え、バースト誤りをランダム誤りに変換した上で誤り訂正符号を適用する手法が一般的です。
SFH の利点は、ホッピングの切り替え速度が遅いため、周波数シンセサイザの要求仕様が緩和されることです。切り替え時間（セトリングタイム）に余裕があるため、安価なハードウェアで実現できます。Bluetooth のホッピングレート 1600 hops/s は SFH に分類されます。
高速ホッピング（FFH）の特徴
FFH では1つのシンボルが複数のホップに分散されるため、ある周波数がジャミングを受けても、そのシンボルの一部のホップが影響を受けるだけです。残りのホップから正しい情報を復元できる可能性があります。
1シンボルあたり $L$ ホップの FFH では、$L$ 個の異なる周波数で同じシンボルが繰り返し送信されるのと等価です。受信側では $L$ 個の受信結果を 多数決判定 や 非コヒーレント合成 で統合します。これは $L$ 次の 周波数ダイバーシティ に相当し、ジャミングやフェージングに対する耐性が大幅に向上します。
FFH のダイバーシティ効果を数式で表すと、ジャマーが $M$ チャネル中 $q$ チャネルを妨害している場合、1ホップが妨害される確率は
$$ p_j = \frac{q}{M} $$
です。$L$ ホップのうち過半数（$L/2$ 以上）が妨害されてシンボルが誤る確率は、二項分布から
$$ P_e \leq \sum_{k=\lceil L/2 \rceil}^{L} \binom{L}{k} p_j^k (1-p_j)^{L-k} $$
で上から抑えられます。$L$ が大きくなるほど $P_e$ は急速に減少し、耐ジャミング性が向上します。
ただし FFH は、非常に高速な周波数切り替えが必要であり、シンセサイザのセトリングタイムが性能のボトルネックになります。軍事通信など高い耐干渉性が求められる用途で採用されることが多い方式です。
ここまでで FH-SS の2つのバリエーションを理解しました。いずれの方式でも、ホッピングパターンの「ランダム性」が鍵を握ります。では、このパターンはどのように生成されるのでしょうか？
PN系列によるホッピングパターン生成
PN系列とは
PN系列（Pseudo-Noise sequence：擬似雑音系列）は、決定論的なアルゴリズムで生成されるにもかかわらず、統計的にはランダム雑音に近い性質を持つ二進系列です。FH-SS では、このPN系列を使ってホッピングする周波数の順序を決定します。
PN系列が「擬似」ランダムである点が重要です。真のランダム系列では送信側と受信側が同じ系列を共有できませんが、PN系列は初期状態（シード）と生成規則を共有するだけで、両者がまったく同じ系列を再現できます。外部の観察者にはランダムに見えるが、内部者には再現可能 — この性質がFH-SS の秘匿性を支えています。
LFSR（線形帰還シフトレジスタ）による生成
最も基本的なPN系列の生成器は、LFSR（Linear Feedback Shift Register） です。$n$ 段のLFSRは、$n$ 個のフリップフロップ（遅延素子）とXOR（排他的論理和）ゲートから構成され、クロックごとに1ビットを出力します。
$n$ 段のLFSRの状態は $n$ ビットのベクトル $\bm{s} = (s_0, s_1, \dots, s_{n-1})$ で表され、フィードバック多項式（生成多項式）
$$ g(x) = 1 + g_1 x + g_2 x^2 + \cdots + g_n x^n $$
に従って状態が更新されます。具体的には、新しいビット $s_{\text{new}}$ は
$$ s_{\text{new}} = g_1 s_0 \oplus g_2 s_1 \oplus \cdots \oplus g_n s_{n-1} $$
で計算されます（$\oplus$ はXOR演算）。
フィードバック多項式が 原始多項式（primitive polynomial） であれば、ゼロ状態を除く全ての $2^n – 1$ 個の状態を巡回してから元に戻ります。この場合、出力系列は周期 $2^n – 1$ の m系列（最長系列） となります。
m系列の性質
m系列は以下の優れた性質（ゴロムの3条件）を持ちます。
バランス性: 1周期中の「1」の個数と「0」の個数の差はちょうど1です。$2^n – 1$ ビット中、「1」が $2^{n-1}$ 個、「0」が $2^{n-1} – 1$ 個です。これはランダム系列に期待される等確率性に非常に近い性質です。
ラン性質: 連続する同じビットの並び（ラン）の長さの分布が、ランダム系列に近い特定の規則に従います。長さ $k$ のランの数は、長さ $k+1$ のランの数のおよそ2倍です。
自己相関性: 正規化された周期的自己相関関数は
$$ R(\tau) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} a[k] \, a[(k+\tau) \bmod N] $$
で定義されます（ここで $a[k] \in \{-1, +1\}$、$N = 2^n – 1$）。m系列の自己相関は2値を取ります。
$$ R(\tau) = \begin{cases} 1 & (\tau = 0) \\ -1/N & (\tau \neq 0) \end{cases} $$
$\tau = 0$ で鋭いピークを持ち、それ以外ではほぼゼロ（$N$ が大きいとき）です。この性質は「インパルス的な自己相関」と呼ばれ、PN系列がランダム雑音に類似していることを示しています。
PN系列からホッピングパターンへの変換
$M$ 個の周波数チャネルを選択するには、PN系列の出力を $\log_2 M$ ビットずつグループ化して、チャネルインデックスに変換します。
$M = 2^m$ チャネルの場合、PN系列から連続する $m$ ビット $(b_1, b_2, \dots, b_m)$ を取り出し、
$$ i_n = \sum_{k=1}^{m} b_k \cdot 2^{k-1} $$
でチャネルインデックス $i_n \in \{0, 1, \dots, M-1\}$ を計算します。第 $n$ ホップでは周波数 $f_{i_n}$ に切り替えます。
$M$ が2のべき乗でない場合は、$i_n \geq M$ となったら棄却して次のビットグループを使う方法や、剰余演算 $i_n \bmod M$ を適用する方法があります。ただし後者は厳密には一様分布になりませんが、実用上は十分に均一なホッピングパターンが得られます。
PN系列によるホッピングパターン生成の仕組みがわかりました。次に、FH-SS の最も重要な性能指標である「処理利得」と「耐干渉性」を定量的に解析しましょう。
処理利得と耐干渉性
処理利得の定義
スペクトラム拡散における 処理利得（Processing Gain） $G_p$ は、拡散前の帯域幅と拡散後の帯域幅の比です。FH-SS では、1ホップあたりの信号帯域幅 $W_s$ とホッピング帯域幅（全チャネルがカバーする帯域）$W_{ss}$ の比で定義されます。
$$ G_p = \frac{W_{ss}}{W_s} $$
$M$ チャネルのFH-SS では、各チャネルの帯域幅が $W_s$ であれば
$$ W_{ss} = M \cdot W_s $$
なので、処理利得は
$$ G_p = M $$
となります。$M = 79$（Bluetooth のチャネル数）なら $G_p \approx 19$ dB です。
処理利得の物理的な意味を考えましょう。送信信号は常に $M$ チャネルのうち1つしか使いませんが、広帯域の妨害電波は $M$ チャネル全体に電力を分散させます。デホッピング後にBPFで1チャネル分の帯域だけを通すと、妨害電波の電力は $1/M$ に減衰します。一方、目的の信号はそのチャネルに集中しているので減衰しません。この差が処理利得です。
ジャミングマージン
FH-SS の耐干渉性を定量的に評価する指標が ジャミングマージン（Jamming Margin） $M_j$ です。これは「システムが許容できるジャマー電力と信号電力の比」を表します。
ジャミングマージンは以下の式で与えられます。
$$ M_j = G_p – L_s – \left(\frac{S}{N}\right)_{\text{out, req}} $$
ここで各量はデシベル（dB）で表されており、$G_p$ は処理利得、$L_s$ はシステム実装損失（同期損失、フィルタ損失など）、$(S/N)_{\text{out, req}}$ は復調に必要な最小出力 SNR です。
たとえば $M = 1000$ チャネル（$G_p = 30$ dB）、$L_s = 2$ dB、復調に必要な SNR が 10 dB の場合、
$$ M_j = 30 – 2 – 10 = 18 \text{ dB} $$
です。つまり信号電力の $10^{1.8} \approx 63$ 倍の電力を持つジャマーに耐えられます。
各種ジャミング戦略と FH-SS の耐性
ジャマーの戦略に応じた FH-SS の耐性を解析します。
広帯域ジャミング（Barrage Jamming）: ジャマーが電力 $J$ をホッピング帯域全体 $W_{ss}$ に一様に分散させる場合、ジャミング電力スペクトル密度は $J/W_{ss}$ です。デホッピング後にBPFで帯域 $W_s$ を通すと、残留ジャミング電力は
$$ J_{\text{eff}} = \frac{J}{W_{ss}} \cdot W_s = \frac{J}{M} $$
となります。ジャマーの電力が処理利得 $M$ の因子だけ減衰し、FH-SS は広帯域ジャミングに対して非常に有効です。
部分帯域ジャミング（Partial-Band Jamming）: ジャマーが全帯域のうち割合 $\rho$（$0 < \rho \leq 1$）の帯域に電力 $J$ を集中させる戦略です。ジャミングされた帯域の密度は $J/(\rho W_{ss})$ に増加します。FH-SS のホップが妨害帯域に入る確率は $\rho$ なので、平均的なビット誤り率は
$$ P_e = \rho \cdot P_e\left(\frac{E_b}{J_0/\rho}\right) + (1-\rho) \cdot P_e\left(\frac{E_b}{N_0}\right) $$
で近似されます。ここで $J_0 = J/W_{ss}$、$E_b$ はビットエネルギーです。第1項はジャミングを受けたホップの誤り率、第2項は受けなかったホップの誤り率です。
ジャマーの最適戦略は、BER を最大化する $\rho$ を選ぶことです。$\rho$ が小さすぎると大部分のホップは影響を受けず、$\rho$ が大きすぎるとジャミング密度が下がります。最悪ケースの $\rho$ に対する BER が、システム設計のベースラインとなります。
フォロワージャミング: ジャマーがFH-SS の現在のホッピング周波数を検出し、その周波数に狙いを定めて妨害する高度な戦略です。しかし、ジャマーが周波数を検出してジャミング信号を送信するまでの遅延 $\Delta t$ がホッピング周期 $T_h$ に比べて十分大きければ、ジャマーが信号に追従するのは困難です。
$$ \Delta t \gg T_h \quad \Rightarrow \quad \text{フォロワージャミングは無効} $$
FFH ではホッピングレートが非常に高いため、フォロワージャミングに対する耐性が特に優れています。
処理利得と耐干渉性の定量的な理解が得られました。FH-SS のもう1つの重要な特徴である秘匿性と、複数ユーザが同時に通信する多元接続について見ていきましょう。
秘匿性と多元接続（FH-CDMA）
低被探知性（LPI: Low Probability of Intercept）
FH-SS の信号は、ホッピングパターンを知らない傍受者には検出が極めて困難です。その理由は3つあります。
第一に、低い瞬時電力密度 です。信号エネルギーは広い帯域にわたって時間的に分散されるため、ある瞬間にある周波数で見た信号電力は非常に小さく、雑音フロアに埋もれます。
第二に、周波数の不確定性 です。PN系列を知らない傍受者には、次にどの周波数にホッピングするか予測できません。$M$ チャネルの FH-SS を完全に傍受するには、全 $M$ チャネルを同時に監視する必要があり、受信機の複雑さが $M$ 倍になります。
第三に、信号の断片化 です。1つの周波数での滞留時間が短い（$T_h$ が小さい）ため、傍受者が信号を捕捉しても断片的な情報しか得られません。
これらの性質により、FH-SS は軍事通信における秘匿通信の基盤技術となっています。歴史的には、第二次世界大戦中に女優ヘディ・ラマーと作曲家ジョージ・アンタイルが周波数ホッピングの特許を取得したことが知られています。
FH-CDMA による多元接続
複数のユーザが同じホッピング帯域を共有して同時に通信する方式を FH-CDMA と呼びます。各ユーザに異なるPN系列（異なるホッピングパターン）を割り当てることで、ユーザ間の信号を区別します。
$K$ 人のユーザがそれぞれ異なるホッピングパターン $\{f_{i_n^{(1)}}\}, \{f_{i_n^{(2)}}\}, \dots, \{f_{i_n^{(K)}}\}$ を使用するとき、あるホップで2人のユーザが同じ周波数を選ぶ確率（ヒット確率）は
$$ P_{\text{hit}} = \frac{1}{M} $$
です（PN系列が一様ランダムに周波数を選ぶと仮定）。$K$ ユーザ中、ユーザ1以外の $K-1$ 人のいずれかと衝突する確率は
$$ P_{\text{collision}} = 1 – \left(1 – \frac{1}{M}\right)^{K-1} $$
で与えられます。$K-1 \ll M$ の場合、これは
$$ P_{\text{collision}} \approx \frac{K-1}{M} $$
と近似できます。
衝突が起きたホップでは、2つの信号が干渉し合い、その区間のデータが失われます。SFH の場合はバースト誤りとなりますが、誤り訂正符号とインターリーバの組み合わせにより、一定の衝突率までは信頼性を維持できます。
DS-CDMA との違いは、FH-CDMA では衝突が「全か無か（all-or-nothing）」の性質を持つ点です。DS-CDMA ではすべてのユーザが常時干渉し合い、MAI（多元接続干渉）が蓄積します。一方、FH-CDMA では衝突しないホップでは干渉がゼロ、衝突したホップでは大きな干渉が生じます。この「バースティ」な干渉特性が、FH-CDMA の容量解析をDS-CDMA とは異なるものにしています。
FH-CDMA の容量
FH-CDMA の容量を解析しましょう。目標 BER を $P_e^{\text{req}}$ とし、衝突ホップでは必ず誤りが生じる最悪ケースを仮定します。
SFH の場合、1ホップに $L_s$ シンボルが含まれるとすると、衝突ホップでは $L_s$ シンボルがすべて誤ります。符号化レート $R_c$ の誤り訂正符号が訂正できるランダム誤り率の上限を $p_{\max}$ とすると、インターリーバで誤りをランダム化した後の等価的なシンボル誤り率が $p_{\max}$ 以下であればよいので
$$ P_{\text{collision}} \leq p_{\max} $$
が必要です。これを $K$ について解くと
$$ K \leq 1 + M \cdot p_{\max} $$
が得られます。$M = 79$（Bluetooth）、$p_{\max} = 0.1$ とすれば $K \leq 8.9$、つまり約8ユーザまで収容可能です。
FFH の場合は、$L$ ホップ中の衝突ホップ数が少なければ多数決やダイバーシティ合成で誤りを復元できるため、SFH よりも多くのユーザを収容できます。
秘匿性と多元接続の理論を把握したところで、FH-SS が実際にどのように応用されているかを見てみましょう。最も身近な例として、Bluetooth の適応型周波数ホッピングを取り上げます。
応用: Bluetooth の適応型周波数ホッピング（AFH）
Bluetooth の周波数ホッピング
Bluetooth は ISM（Industrial, Scientific and Medical）バンドの 2.4 GHz 帯（2402 – 2480 MHz）を使用し、1 MHz 幅の 79 チャネル（Bluetooth Low Energy では 40 チャネル）に分割しています。
Classic Bluetooth では毎秒 1600 回 のホッピングを行います。これはホッピング周期 $T_h = 625 \,\mu\text{s}$ に対応し、SFH に分類されます。ホッピングパターンは、マスターデバイスの Bluetooth アドレス（BD_ADDR）とクロック値をPN系列の生成器に入力して決定されます。
適応型周波数ホッピング（AFH: Adaptive Frequency Hopping）
Bluetooth 1.2 から導入された AFH は、通常のFH-SS を発展させた知的なホッピング方式です。2.4 GHz 帯は Wi-Fi（IEEE 802.11b/g/n）や電子レンジなど多くの機器と共有しているため、特定のチャネルが恒常的に妨害される状況が頻繁に発生します。
AFH は以下のメカニズムで動作します。
チャネル品質評価: 各チャネルのパケット誤り率（PER）やRSSI（受信信号強度）を継続的にモニタリングし、チャネルを「良好（good）」と「不良（bad）」に分類します。
チャネルマップの更新: 不良チャネルをホッピングパターンから除外し、良好チャネルだけでホッピングします。Bluetooth の規格では、最低でも20チャネルは使用することが義務付けられています。79チャネルから不良チャネルを除外した $M’$ チャネル（$20 \leq M’ \leq 79$）でホッピングします。
ホッピングパターンの再マッピング: 元のPN系列による79チャネルのホッピングパターンを維持しつつ、不良チャネルに割り当てられたホップを良好チャネルにリマッピングします。これにより、PN系列の変更なしにチャネルの除外・復帰が可能です。
AFH により、Bluetooth は Wi-Fi と同じ帯域を使いながらも共存性を大幅に改善しています。処理利得は $M’$ に依存するため、$M’ = 20$（最小）のときは $G_p \approx 13$ dB、$M’ = 79$（全チャネル使用）のときは $G_p \approx 19$ dB となります。
FH-SS の他の応用
Bluetooth 以外にも、FH-SS は様々な分野で活用されています。
軍事通信: SINCGARS（Single Channel Ground and Airborne Radio System）やHAVE QUICK II は、VHF/UHF帯で高速周波数ホッピングを行う軍用無線システムです。秒速数百回以上のホッピングで敵のジャミングに対抗します。
初期の無線 LAN: IEEE 802.11 の最初の物理層規格（1997年）には、2.4 GHz 帯の FH-SS 方式が含まれていました。1 MHz 帯域幅の 79 チャネルを 2.5 hops/s 以上でホッピングし、1 – 2 Mbps のデータレートを実現していました。
LoRa: IoT 向けの LPWAN 技術である LoRa は、チャープスペクトラム拡散を基本としつつ、規制要件への対応として周波数ホッピングも組み合わせています。
応用事例の理解が深まったところで、ここまでの理論をPythonで実装し、FH-SS の動作を視覚的に確認しましょう。
Python によるFH-SSシミュレーション
LFSR によるPN系列の生成
まず、m系列を生成する LFSR を実装し、出力系列の自己相関が理論通りインパルス的になることを確認します。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def lfsr_m_sequence(n, taps, initial_state=None):
"""n段LFSRでm系列を生成する
Parameters
----------
n : int
シフトレジスタの段数
taps : list of int
フィードバックタップ位置（0-indexed）
initial_state : array-like, optional
初期状態（デフォルトは全1）
Returns
-------
seq : ndarray
m系列（0/1の二進系列）、長さ 2^n - 1
"""
N = 2**n - 1 # m系列の周期
if initial_state is None:
state = np.ones(n, dtype=int)
else:
state = np.array(initial_state, dtype=int)
seq = np.zeros(N, dtype=int)
for i in range(N):
seq[i] = state[-1] # 最下位ビットを出力
# フィードバック: 指定タップ位置のXOR
feedback = 0
for t in taps:
feedback ^= state[t]
# シフト
state = np.roll(state, 1)
state[0] = feedback
return seq
# 5段LFSR（原始多項式: x^5 + x^2 + 1）
n = 5
taps = [4, 1] # x^5 と x^2 に対応
m_seq = lfsr_m_sequence(n, taps)
N = len(m_seq) # 31
# 自己相関の計算（{-1, +1}表現に変換）
m_bipolar = 2 * m_seq - 1 # 0->-1, 1->+1
autocorr = np.zeros(N)
for tau in range(N):
autocorr[tau] = np.sum(m_bipolar * np.roll(m_bipolar, tau)) / N
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))
# m系列の波形
ax = axes[0]
ax.step(range(N), m_bipolar, where='mid', linewidth=1.2, color='steelblue')
ax.set_xlabel('Chip index')
ax.set_ylabel('Value')
ax.set_title(f'm-sequence (n={n}, N={N})')
ax.set_ylim(-1.5, 1.5)
ax.grid(True, alpha=0.3)
# 自己相関
ax = axes[1]
ax.stem(range(N), autocorr, linefmt='steelblue', markerfmt='o', basefmt='gray')
ax.axhline(y=-1/N, color='red', linestyle='--', linewidth=1, label=f'-1/N = {-1/N:.3f}')
ax.set_xlabel('Shift (tau)')
ax.set_ylabel('Normalized autocorrelation')
ax.set_title(f'Autocorrelation of m-sequence (N={N})')
ax.legend()
ax.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.savefig('m_sequence_autocorr.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
左のグラフには、5段 LFSR から生成された周期31のm系列が表示されています。$\{-1, +1\}$ の値がランダムに見える並びで出現しますが、実際には決定論的に生成されています。右のグラフは正規化自己相関です。$\tau = 0$ で値が1（鋭いピーク）、$\tau \neq 0$ では全て $-1/N = -1/31 \approx -0.032$ に一致しています。理論値と完全に一致しており、m系列が「ほぼ白色雑音」に近い相関特性を持つことが確認できました。この鋭い自己相関ピークは、受信側でのPN系列同期検出にも利用されます。
FH-SS 送受信のスペクトログラム
次に、FH-SS の送受信をシミュレーションし、時間-周波数平面（スペクトログラム）上でホッピングの様子を可視化します。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# パラメータ設定
M = 16 # 周波数チャネル数
T_h = 1.0 # ホッピング周期（正規化）
n_hops = 40 # ホップ数
fs = 200 # サンプリングレート（1ホップあたり）
f_base = 5.0 # 基本周波数
f_spacing = 2.0 # チャネル間隔
# PN系列からホッピングパターンを生成
np.random.seed(42)
n_lfsr = 7
taps = [6, 5] # x^7 + x^6 + 1（原始多項式）
def lfsr_seq(n, taps, length):
"""指定長のPN系列を生成"""
state = np.ones(n, dtype=int)
seq = np.zeros(length, dtype=int)
for i in range(length):
seq[i] = state[-1]
feedback = 0
for t in taps:
feedback ^= state[t]
state = np.roll(state, 1)
state[0] = feedback
return seq
# PN系列からチャネルインデックスを生成
bits_per_hop = int(np.log2(M)) # 4ビット/ホップ
pn_bits = lfsr_seq(n_lfsr, taps, n_hops * bits_per_hop)
hop_pattern = np.zeros(n_hops, dtype=int)
for i in range(n_hops):
bits = pn_bits[i*bits_per_hop:(i+1)*bits_per_hop]
hop_pattern[i] = np.sum(bits * 2**np.arange(bits_per_hop))
# FH-SS送信信号の生成
t_total = np.arange(n_hops * fs) / fs
signal = np.zeros(n_hops * fs)
for i in range(n_hops):
f_hop = f_base + hop_pattern[i] * f_spacing
t_hop = np.arange(fs) / fs
signal[i*fs:(i+1)*fs] = np.cos(2 * np.pi * f_hop * t_hop)
# スペクトログラムの計算
fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(14, 10))
# ホッピングパターンの可視化
ax = axes[0]
for i in range(n_hops):
ax.barh(hop_pattern[i], 1, left=i, height=0.8,
color=plt.cm.viridis(hop_pattern[i] / M), alpha=0.8)
ax.set_xlabel('Hop index')
ax.set_ylabel('Channel index')
ax.set_title(f'FH-SS Hopping Pattern (M={M} channels, {n_hops} hops)')
ax.set_xlim(0, n_hops)
ax.set_ylim(-0.5, M - 0.5)
ax.grid(True, alpha=0.3)
# スペクトログラム
ax = axes[1]
ax.specgram(signal, NFFT=fs, Fs=fs/T_h, noverlap=fs//2,
cmap='inferno', scale='dB')
ax.set_xlabel('Time [hop periods]')
ax.set_ylabel('Frequency [Hz]')
ax.set_title('Spectrogram of FH-SS Signal')
plt.tight_layout()
plt.savefig('fhss_spectrogram.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
上のグラフ（ホッピングパターン）では、PN系列に従って16チャネル間をランダムにホッピングしている様子が一目で分かります。ホップごとに使用するチャネルが大きく変化しており、予測困難なパターンが実現されています。同じチャネルに連続してとどまることはほとんどなく、帯域全体を均等に使用しています。
下のスペクトログラムでは、FH-SS 信号の時間-周波数構造が明確に可視化されています。各ホップ区間で狭い帯域にエネルギーが集中し（明るい点）、ホップごとにその位置が不規則にジャンプしています。PN系列を知らない傍受者がこの信号を検出するには、全帯域を常時監視する必要があることが直感的に理解できます。
ジャミング耐性のシミュレーション
FH-SS の耐ジャミング性を、広帯域ジャミングと部分帯域ジャミングについてシミュレーションで確認します。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def simulate_fhss_ber(M, n_hops, jnr_db, jamming_fraction, n_trials=10000):
"""FH-SS（SFH + FSK）のBERをシミュレーション
Parameters
----------
M : int
周波数チャネル数
n_hops : int
1ブロックあたりのホップ数
jnr_db : float
ジャマー対信号電力比 [dB]
jamming_fraction : float
ジャマーが妨害する帯域の割合（0~1）
n_trials : int
試行回数
"""
jnr_linear = 10 ** (jnr_db / 10)
errors = 0
total = 0
for _ in range(n_trials):
# ホッピングチャネルをランダムに選択
hop_channel = np.random.randint(0, M)
# 情報ビット（BFSK: 0 or 1）
bit = np.random.randint(0, 2)
# ジャミングされたチャネルの判定
n_jammed = int(M * jamming_fraction)
jammed_channels = set(np.random.choice(M, n_jammed, replace=False))
# 受信SNR（雑音 + ジャミング）
noise_power = 1.0 # 正規化雑音電力
if hop_channel in jammed_channels:
# ジャミングを受けたホップ: ジャマーの電力密度が 1/fraction 倍に集中
jam_power = jnr_linear / jamming_fraction if jamming_fraction > 0 else 0
else:
jam_power = 0
total_noise = noise_power + jam_power
# BFSK非コヒーレント検波のBER近似
snr_eff = 1.0 / total_noise # 信号電力=1と正規化
# 非コヒーレントBFSKの誤り率: P_e = 0.5 * exp(-SNR/2)
pe = 0.5 * np.exp(-snr_eff / 2)
# 確率的に誤りを発生させる
if np.random.rand() < pe:
errors += 1
total += 1
return errors / total
# ジャミング電力比をスイープ
M = 64
jnr_db_range = np.arange(0, 30, 2)
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 6))
# 左: 広帯域ジャミング vs 部分帯域ジャミング
ax = axes[0]
fractions = [1.0, 0.5, 0.2, 0.1, 0.05]
for frac in fractions:
ber = [simulate_fhss_ber(M, 1, jnr, frac, n_trials=20000) for jnr in jnr_db_range]
ax.semilogy(jnr_db_range, np.maximum(ber, 1e-5), 'o-', markersize=4,
label=f'rho={frac:.2f} ({int(frac*M)} ch)')
ax.set_xlabel('Jammer-to-Signal Ratio (JSR) [dB]')
ax.set_ylabel('BER')
ax.set_title(f'FH-SS BER vs JSR (M={M} channels)')
ax.legend(fontsize=9)
ax.grid(True, which='both', alpha=0.3)
ax.set_ylim(1e-4, 1)
# 右: チャネル数による処理利得の効果
ax = axes[1]
M_values = [8, 16, 32, 64, 128, 256]
jnr_fixed = 20 # JSR = 20 dB固定
ber_barrage = []
ber_partial = []
for m in M_values:
ber_b = simulate_fhss_ber(m, 1, jnr_fixed, 1.0, n_trials=30000)
ber_p = simulate_fhss_ber(m, 1, jnr_fixed, 0.2, n_trials=30000)
ber_barrage.append(max(ber_b, 1e-5))
ber_partial.append(max(ber_p, 1e-5))
ax.semilogy(M_values, ber_barrage, 'bo-', linewidth=2, markersize=6,
label='Barrage jamming (rho=1.0)')
ax.semilogy(M_values, ber_partial, 'rs-', linewidth=2, markersize=6,
label='Partial-band jamming (rho=0.2)')
ax.set_xlabel('Number of channels M')
ax.set_ylabel('BER')
ax.set_title(f'Processing Gain Effect (JSR={jnr_fixed} dB)')
ax.legend()
ax.grid(True, which='both', alpha=0.3)
ax.set_ylim(1e-4, 1)
plt.tight_layout()
plt.savefig('fhss_jamming.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
このシミュレーション結果から、FH-SS の耐ジャミング特性について重要な知見が得られます。
-
左図（ジャミング戦略の比較）: 広帯域ジャミング（$\rho = 1.0$）では、JSR が 20 dB を超えても BER の悪化が比較的緩やかです。これは処理利得 $G_p = M = 64$（約 18 dB）がジャマーの電力を希釈しているためです。一方、部分帯域ジャミング（$\rho = 0.05$ – $0.2$）では、低い JSR でも BER が高止まりする傾向が見られます。ジャミング電力が少数のチャネルに集中するため、そのチャネルにホッピングした際の誤り率が極端に高くなるためです。部分帯域ジャミングに対しては、誤り訂正符号とインターリーバの併用が不可欠であることがわかります。
-
右図（チャネル数の効果）: チャネル数 $M$ が増えるほど、広帯域ジャミングに対する BER は顕著に改善されます。$M = 8$ から $M = 256$ に増やすと、約 15 dB の処理利得向上に相当する改善が得られています。部分帯域ジャミングに対しても改善は見られますが、その効果は広帯域ジャミングほど劇的ではありません。これは $\rho$ が小さい場合、チャネル数を増やしても妨害チャネルに当たる確率 $\rho$ が変わらないためです。
FH-CDMA 多元接続のシミュレーション
複数ユーザが FH-CDMA で同時に通信する場合の衝突率と BER を可視化します。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def simulate_fh_cdma(M, K, n_hops, snr_db=15, n_trials=50000):
"""FH-CDMAの衝突率とBERをシミュレーション"""
snr_linear = 10 ** (snr_db / 10)
sigma = 1.0 / np.sqrt(2 * snr_linear)
collisions = 0
errors = 0
total = 0
for _ in range(n_trials):
# 各ユーザのホッピングチャネル（独立なPN系列）
channels = np.random.randint(0, M, K)
# ユーザ1のビット
bit = 2 * np.random.randint(0, 2) - 1 # {-1, +1}
# 衝突判定: ユーザ1と同じチャネルの他ユーザ数
n_colliders = np.sum(channels[1:] == channels[0])
if n_colliders > 0:
collisions += 1
# 受信信号: 信号 + 衝突干渉 + 雑音
interference = 0
for j in range(1, K):
if channels[j] == channels[0]:
interference += (2 * np.random.randint(0, 2) - 1) # 干渉ユーザのビット
noise = sigma * np.random.randn()
z = bit + interference + noise
bit_hat = 1 if z > 0 else -1
if bit_hat != bit:
errors += 1
total += 1
return collisions / n_trials, errors / total
# パラメータ
M = 79 # Bluetoothと同じチャネル数
K_range = np.arange(2, 50, 2)
collision_rates = []
ber_values = []
for K in K_range:
coll, ber = simulate_fh_cdma(M, K, 1, snr_db=15)
collision_rates.append(coll)
ber_values.append(max(ber, 1e-6))
# 理論的な衝突確率
K_theory = np.linspace(2, 50, 200)
P_coll_theory = 1 - (1 - 1/M) ** (K_theory - 1)
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 6))
# 左: 衝突確率
ax = axes[0]
ax.plot(K_range, collision_rates, 'bo', markersize=6, label='Simulation')
ax.plot(K_theory, P_coll_theory, 'r-', linewidth=2, label='Theory')
ax.set_xlabel('Number of users K')
ax.set_ylabel('Collision probability')
ax.set_title(f'FH-CDMA Collision Probability (M={M})')
ax.legend()
ax.grid(True, alpha=0.3)
# 右: BER
ax = axes[1]
ax.semilogy(K_range, ber_values, 'bo-', markersize=5, linewidth=1.5,
label='Simulation (Eb/N0=15dB)')
ax.set_xlabel('Number of users K')
ax.set_ylabel('BER of user 1')
ax.set_title(f'FH-CDMA BER vs Users (M={M}, Eb/N0=15dB)')
ax.legend()
ax.grid(True, which='both', alpha=0.3)
ax.set_ylim(1e-5, 1)
plt.tight_layout()
plt.savefig('fh_cdma.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
このシミュレーション結果から、FH-CDMA の多元接続特性が明確に読み取れます。
-
左図（衝突確率）: シミュレーション結果（青い点）が理論曲線 $P_{\text{collision}} = 1 – (1-1/M)^{K-1}$ と正確に一致しています。$M = 79$ チャネルで $K = 10$ ユーザのとき衝突確率は約 11%、$K = 30$ で約 31%、$K = 50$ で約 47% です。ユーザ数がチャネル数に比べて少ないうちは衝突は稀ですが、ユーザ数の増加に伴い線形に近い速度で衝突確率が上昇します。
-
右図（BER）: ユーザ数の増加に伴い BER が上昇しますが、その上昇は緩やかです。$K = 10$ ユーザまでは BER が $10^{-3}$ 以下に保たれており、実用的な通信品質が維持されています。これは $M = 79$ チャネルの豊富なホッピング空間が衝突を分散させているためです。ただし、$K = 40$ を超えるあたりから BER の悪化が顕著になり、誤り訂正符号なしでは実用的な品質を維持できなくなります。
FFH のダイバーシティ効果
最後に、高速ホッピング（FFH）のダイバーシティ効果を、低速ホッピング（SFH）と比較してシミュレーションします。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def simulate_ffh_diversity(M, L_hops, jnr_db_range, n_trials=30000):
"""FFHのダイバーシティ効果をシミュレーション
Parameters
----------
M : int
チャネル数
L_hops : int
1シンボルあたりのホップ数（L=1がSFH、L>1がFFH）
jnr_db_range : array
ジャマー対信号比 [dB]
"""
ber_list = []
for jnr_db in jnr_db_range:
jnr_linear = 10 ** (jnr_db / 10)
errors = 0
total = 0
# 部分帯域ジャミング（最悪ケース rho=0.3）
rho = 0.3
n_jammed = max(1, int(M * rho))
for _ in range(n_trials):
bit = 2 * np.random.randint(0, 2) - 1
jammed_set = set(np.random.choice(M, n_jammed, replace=False))
# L個のホップでの受信
hop_decisions = np.zeros(L_hops)
for ell in range(L_hops):
channel = np.random.randint(0, M)
noise = np.random.randn() * 0.5
if channel in jammed_set:
jam_noise = np.sqrt(jnr_linear / rho) * np.random.randn()
else:
jam_noise = 0
z = bit + noise + jam_noise
hop_decisions[ell] = z
# 多数決判定（軟判定: 合計値の符号）
z_combined = np.sum(hop_decisions)
bit_hat = 1 if z_combined > 0 else -1
if bit_hat != bit:
errors += 1
total += 1
ber_list.append(max(errors / total, 1e-6))
return np.array(ber_list)
M = 64
jnr_db = np.arange(0, 25, 2)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 7))
for L in [1, 2, 4, 8, 16]:
ber = simulate_ffh_diversity(M, L, jnr_db)
label = 'SFH (L=1)' if L == 1 else f'FFH (L={L})'
ax.semilogy(jnr_db, ber, 'o-', markersize=5, linewidth=1.5, label=label)
ax.set_xlabel('Jammer-to-Signal Ratio (JSR) [dB]')
ax.set_ylabel('BER')
ax.set_title(f'FFH Diversity Effect (M={M}, partial-band jamming rho=0.3)')
ax.legend()
ax.grid(True, which='both', alpha=0.3)
ax.set_ylim(1e-5, 1)
plt.tight_layout()
plt.savefig('ffh_diversity.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
このグラフは FFH のダイバーシティ効果を明確に示しています。
-
SFH（$L = 1$）: 部分帯域ジャミングに対してBERが高止まりしています。JSR が上がっても改善されない「フロア」が存在します。これはジャミングされたチャネルにホッピングした際に確定的に誤りが生じるためです。
-
FFH（$L = 2, 4, 8, 16$）: ホップ数 $L$ が増えるほど BER 曲線が急速に改善されます。$L = 4$ で SFH に比べて約 5 dB の改善、$L = 16$ では約 15 dB の改善が得られています。$L$ 個のホップのうち、過半数がジャミングを免れれば正しく判定できるため、$L$ を増やすことでジャミング耐性が指数関数的に向上します。
-
BER フロアの消失: SFH で見られた BER フロアが、FFH では大幅に低下しています。$L = 16$ では、JSR = 20 dB でもBER が $10^{-4}$ 以下に抑えられており、実用的な通信品質が維持されています。これは FFH のダイバーシティ効果がジャミングの影響を効果的に平均化しているためです。
DS-SS と FH-SS の比較
ここまで FH-SS の詳細を解説してきましたが、DS-SS との比較を整理しておくことで、両方式の使い分けがより明確になります。
| 特性 | DS-SS（直接拡散） | FH-SS（周波数ホッピング） |
|---|---|---|
| 拡散方法 | 高速PN符号の乗算 | 搬送波周波数の切り替え |
| 帯域の使い方 | 全帯域を常時使用 | 瞬時は狭帯域、時間平均で広帯域 |
| 処理利得 | チップレート/ビットレート | チャネル数 $M$ |
| 近遠問題 | 深刻（電力制御必要） | 軽微（衝突は確率的） |
| 多元接続干渉 | 全ユーザが常時干渉 | 衝突時のみ干渉（全か無か） |
| 耐ジャミング性 | 処理利得に比例 | 処理利得に比例 + FFHのダイバーシティ |
| ハードウェア | 高速乗算器 | 高速周波数シンセサイザ |
| 代表的応用 | CDMA (3G), GPS | Bluetooth, 軍事通信 |
DS-SS は全ユーザの信号が常時重畳するため、受信電力の制御（近遠問題の解決）が不可欠です。一方、FH-SS では干渉は衝突時にのみ発生するため、近遠問題の影響が軽微です。ただし、FH-SS は高速な周波数シンセサイザが必要であり、特に FFH ではハードウェアの制約が設計のボトルネックになります。
実際の通信システムでは、DS-SS と FH-SS を組み合わせた ハイブリッド方式 も使われます。DS/FH ハイブリッドでは、直接拡散した信号をさらに周波数ホッピングさせることで、両方式の利点を同時に得ることができます。
まとめ
本記事では、周波数ホッピングスペクトラム拡散（FH-SS）の原理から応用までを体系的に解説しました。
- スペクトラム拡散の基本思想: 帯域を意図的に拡散することで、低い電力密度でも情報を伝送でき、干渉やジャミングへの耐性を獲得する。シャノンの通信路容量 $C = W \log_2(1 + S/N)$ が理論的根拠
- FH-SS の原理: 搬送波周波数をPN系列に従って高速に切り替えることで帯域を拡散する。送受信で同一のPN系列を共有し、デホッピングにより目的信号を復元する
- SFH と FFH: 低速ホッピング（$T_h \geq T_s$）は実装が容易だがバースト誤りに弱く、高速ホッピング（$T_h < T_s$）は $L$ 次の周波数ダイバーシティにより高い耐干渉性を実現する
- PN系列: LFSR で生成されるm系列は、インパルス的な自己相関とバランスのよい統計特性を持ち、ホッピングパターンの基盤となる
- 処理利得とジャミングマージン: 処理利得 $G_p = M$ により、広帯域ジャミングの電力を $1/M$ に希釈する。ジャミングマージン $M_j = G_p – L_s – (S/N)_{\text{req}}$ がシステムの耐干渉限界を決定する
- FH-CDMA: 各ユーザに異なるPN系列を割り当て、衝突確率 $P_{\text{collision}} \approx (K-1)/M$ で容量が制限される。DS-CDMA とは異なる「全か無か」の干渉特性を持つ
- Bluetooth AFH: チャネル品質を動的にモニタリングし、不良チャネルを除外する適応的ホッピングにより、Wi-Fi との共存を実現
FH-SS は DS-SS と並ぶスペクトラム拡散の双璧であり、それぞれの長所を理解して用途に応じた選択が重要です。DS-SS が「面」的に帯域を使うのに対し、FH-SS は「点」が時間とともに移動する拡散であり、特に軍事通信やISM帯での干渉回避に威力を発揮します。
次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。