物理問題には円筒対称性を持つものが多く存在します。同軸ケーブル、円柱導体周りの磁場、管内の流れなどでは、直交座標系よりも円筒座標系で記述するほうが自然で計算も簡潔になります。
本記事では、円筒座標系での微分演算子（勾配・発散・回転・ラプラシアン）を計量係数の概念から導出します。
なお「円筒座標系」と「円柱座標系」はどちらも同じものを指します（英語ではいずれも cylindrical coordinates）。教科書によって呼び方が違うだけなので、検索するときはどちらでも同じ内容にたどり着きます。
左が3次元での定義です。点の位置を「軸からの距離 $r$」「$x$ 軸からの回転角 $\theta$」「高さ $z$」の3つで指定します。$z$ は直交座標とまったく同じで、$xy$ 平面だけを極座標に置き換えたもの、と理解すると掴みやすいです。
直交座標より式が短くなるのは、対称性が座標に一致するときです。同軸ケーブルの電場は $r$ だけの関数になり、$\theta$ と $z$ の微分が全部消えます。後半で見るように、消える項が増えるほど計算が楽になります。
本記事の内容
- 円筒座標系の定義と座標変換
- 計量係数（スケール因子）
- 勾配 $\nabla f$ の導出
- 発散 $\nabla\cdot\bm{A}$ の導出
- 回転 $\nabla\times\bm{A}$ の導出
- ラプラシアン $\nabla^2 f$ の導出
- 応用例: 同軸ケーブルの電場
- Pythonでの可視化
前提知識
- gradient（勾配・grad）とは？意味・最急上昇方向・勾配降下法まで図解でわかりやすく解説
- 発散（div）とは？湧き出しの意味・ガウスの発散定理を図解でわかりやすく解説
- 回転（rot）とは？定義と物理的意味をわかりやすく解説
- ラプラシアンとは？∇²の意味・調和関数・ラプラス方程式を図解でわかりやすく解説
- ベクトル恒等式の証明と物理的意味
円筒座標系の定義
円筒座標系 $(r, \theta, z)$ と直交座標系 $(x, y, z)$ の関係は：
$$ \boxed{x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z} $$
ここで $r \geq 0$, $0 \leq \theta < 2\pi$, $-\infty < z < \infty$ です。
逆変換は：
$$ r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \arctan\frac{y}{x}, \quad z = z $$
単位ベクトル
各座標方向の単位ベクトルは位置に依存します：
$$ \bm{e}_r = \cos\theta\,\bm{e}_x + \sin\theta\,\bm{e}_y $$
$$ \bm{e}_\theta = -\sin\theta\,\bm{e}_x + \cos\theta\,\bm{e}_y $$
$$ \bm{e}_z = \bm{e}_z $$
重要な性質として、$\bm{e}_r$ と $\bm{e}_\theta$ は位置 $\theta$ に依存して向きが変わります。したがって：
$$ \frac{\partial\bm{e}_r}{\partial\theta} = \bm{e}_\theta, \quad \frac{\partial\bm{e}_\theta}{\partial\theta} = -\bm{e}_r $$
左の図で、アンバーの矢印が $\bm{e}_r$（外向き）、紫が $\bm{e}_\theta$（回る向き）です。場所によって向きがまるで違うことが見て取れます。直交座標の $\bm{e}_x, \bm{e}_y, \bm{e}_z$ は空間のどこでも同じ向きでしたが、円筒座標ではそうなりません。
右は $\bm{e}_r$ だけを取り出して、$\theta$ を変えたときの向きを重ねたものです。$\bm{e}_r$ 自身が $\theta$ の関数になっているので、微分すると消えずに残ります。この $\partial\bm{e}_r/\partial\theta = \bm{e}_\theta$ という関係が、円筒座標の微分演算子に余分な項が現れる原因です。直交座標では基底が定数なので、こうした項が一切出てきません。
計量係数（スケール因子）
微小変位ベクトルは：
$$ d\bm{r} = \frac{\partial\bm{r}}{\partial r}dr + \frac{\partial\bm{r}}{\partial\theta}d\theta + \frac{\partial\bm{r}}{\partial z}dz $$
位置ベクトル $\bm{r} = r\cos\theta\,\bm{e}_x + r\sin\theta\,\bm{e}_y + z\,\bm{e}_z$ を微分すると：
$$ \frac{\partial\bm{r}}{\partial r} = \cos\theta\,\bm{e}_x + \sin\theta\,\bm{e}_y = \bm{e}_r $$
$$ \frac{\partial\bm{r}}{\partial\theta} = -r\sin\theta\,\bm{e}_x + r\cos\theta\,\bm{e}_y = r\,\bm{e}_\theta $$
$$ \frac{\partial\bm{r}}{\partial z} = \bm{e}_z $$
したがって微小変位は：
$$ d\bm{r} = dr\,\bm{e}_r + r\,d\theta\,\bm{e}_\theta + dz\,\bm{e}_z $$
計量係数（スケール因子）は各座標方向の微小変位の大きさです：
$$ \boxed{h_r = 1, \quad h_\theta = r, \quad h_z = 1} $$
微小体積要素は：
$$ dV = h_r h_\theta h_z \, dr\,d\theta\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz $$
左の図が計量係数の正体です。同じ $\Delta r$、同じ $\Delta\theta$ で切り取った小片でも、外側のほうが面積が大きくなります。面積が $r\,\Delta r\,\Delta\theta$ に比例するからです。$r$ が2倍の位置では、同じ角度でも弧の長さが2倍になります。
右にまとめたとおり、$h_r = 1$ と $h_z = 1$ は「その座標を1動かすと距離も1動く」ことを意味し、$h_\theta = r$ は「$\theta$ を1ラジアン動かすと距離が $r$ 動く」ことを意味します。この $r$ が、以降のすべての公式に顔を出します。
勾配（grad）
直交曲線座標系での勾配の一般公式は：
$$ \nabla f = \frac{1}{h_r}\frac{\partial f}{\partial r}\bm{e}_r + \frac{1}{h_\theta}\frac{\partial f}{\partial\theta}\bm{e}_\theta + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}\bm{e}_z $$
計量係数を代入すると：
$$ \boxed{\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\bm{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial\theta}\bm{e}_\theta + \frac{\partial f}{\partial z}\bm{e}_z} $$
導出
スカラー場 $f$ の全微分は：
$$ df = \frac{\partial f}{\partial r}dr + \frac{\partial f}{\partial\theta}d\theta + \frac{\partial f}{\partial z}dz $$
一方、$df = \nabla f \cdot d\bm{r}$ であり、$d\bm{r} = dr\,\bm{e}_r + r\,d\theta\,\bm{e}_\theta + dz\,\bm{e}_z$ なので：
$$ df = (\nabla f)_r \, dr + (\nabla f)_\theta \cdot r\,d\theta + (\nabla f)_z \, dz $$
比較すると $(\nabla f)_r = \frac{\partial f}{\partial r}$, $(\nabla f)_\theta = \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial\theta}$, $(\nabla f)_z = \frac{\partial f}{\partial z}$ が得られます。
なぜ $\theta$ の項だけ $1/r$ が付くのか
導出はできましたが、なぜこの係数が必要なのかを直感でも押さえておきましょう。
勾配は「距離あたりの変化率」です。ところが $\partial f/\partial\theta$ が答えるのは「角度あたりの変化率」で、単位が違います。$\theta$ を $d\theta$ 動かしたときの実際の移動距離は $r\,d\theta$ なので、距離あたりに直すには $r$ で割る必要があります。
半径 $10$ メートルの円周上で $1$ ラジアン回れば $10$ メートル動きます。同じ $1$ ラジアンでも外側にいるほど長い距離を動くので、その分だけ「距離あたりの変化率」は薄まる——これが $1/r$ の意味です。
同じ理屈で、球座標では $\varphi$ 方向の移動距離が $r\sin\theta\, d\varphi$ なので $\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial\varphi}$ になります。係数を丸暗記せず「実際の移動距離で割る」という一点から毎回組み立てるのが確実です。
勾配を可視化してみる
$f = r^2\cos 2\theta$ という場で、円筒座標の公式から勾配を計算してみます。
赤い山と青い谷が $90$ 度おきに交互に並ぶ四重極の場です。矢印はどこでも等高線と直交し、谷から山へ向いています。もし $1/r$ を書き忘れると、外側ほど $\theta$ 方向の成分が過大になり、矢印が等高線と直交しなくなります。図が正しく描けていること自体が、係数が合っている証拠になっています。
発散（div）
直交曲線座標系での発散の一般公式は：
$$ \nabla\cdot\bm{A} = \frac{1}{h_r h_\theta h_z}\left[\frac{\partial}{\partial r}(h_\theta h_z A_r) + \frac{\partial}{\partial\theta}(h_r h_z A_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(h_r h_\theta A_z)\right] $$
計量係数を代入すると：
$$ \boxed{\nabla\cdot\bm{A} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rA_r) + \frac{1}{r}\frac{\partial A_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial A_z}{\partial z}} $$
導出
ガウスの発散定理の微分形から導出します。微小体積要素 $\Delta V = r\,\Delta r\,\Delta\theta\,\Delta z$ を考えます。
$r$ 方向のフラックス差は：
$$ [A_r(r+\Delta r)(r+\Delta r)\Delta\theta\Delta z – A_r(r) \cdot r\Delta\theta\Delta z] \approx \frac{\partial}{\partial r}(rA_r)\Delta r\Delta\theta\Delta z $$
$\theta$ 方向のフラックス差は：
$$ [A_\theta(\theta+\Delta\theta)\Delta r\Delta z – A_\theta(\theta)\Delta r\Delta z] \approx \frac{\partial A_\theta}{\partial\theta}\Delta r\Delta\theta\Delta z $$
$z$ 方向のフラックス差は：
$$ [A_z(z+\Delta z)r\Delta r\Delta\theta – A_z(z)r\Delta r\Delta\theta] \approx \frac{\partial A_z}{\partial z}r\Delta r\Delta\theta\Delta z $$
合計を $\Delta V = r\Delta r\Delta\theta\Delta z$ で割ると上記の結果が得られます。
$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rA_r)$ が意味すること
第1項が $\frac{\partial A_r}{\partial r}$ ではなく $\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rA_r)$ になっているのが要点です。展開すると
$$ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rA_r) = \frac{\partial A_r}{\partial r} + \frac{A_r}{r} $$
となり、$A_r/r$ という項が余分に出てきます。この項は「外へ行くほど面積が広がる」ことの寄与です。
左は $\bm{A} = \bm{e}_r$（大きさが一定で外向き）の場です。矢印の長さはどこでも同じなので $\partial A_r/\partial r = 0$ ですが、発散は $\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r \cdot 1) = \frac{1}{r} > 0$ で、ゼロになりません。矢印が同じ長さでも、外側では通り抜ける面積が広がっているので「湧き出し」が生じているわけです。
右は $\bm{A} = \frac{1}{r}\bm{e}_r$ の場で、$rA_r = 1$（定数）なので発散はちょうど $0$ になります。$1/r$ で弱まる分と面積が広がる分が完全に打ち消し合っています。これが同軸ケーブルの電場が $1/r$ になる理由そのものです。
回転（curl）
直交曲線座標系での回転の一般公式は：
$$ \nabla\times\bm{A} = \frac{1}{h_r h_\theta h_z}\begin{vmatrix} h_r\bm{e}_r & h_\theta\bm{e}_\theta & h_z\bm{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_r A_r & h_\theta A_\theta & h_z A_z \end{vmatrix} $$
計量係数を代入すると：
$$ \boxed{\nabla\times\bm{A} = \left(\frac{1}{r}\frac{\partial A_z}{\partial\theta} – \frac{\partial A_\theta}{\partial z}\right)\bm{e}_r + \left(\frac{\partial A_r}{\partial z} – \frac{\partial A_z}{\partial r}\right)\bm{e}_\theta + \frac{1}{r}\left(\frac{\partial(rA_\theta)}{\partial r} – \frac{\partial A_r}{\partial\theta}\right)\bm{e}_z} $$
特に $z$ 成分の $\frac{1}{r}\frac{\partial(rA_\theta)}{\partial r}$ に注意してください。これは直交座標系の場合（$\frac{\partial A_\theta}{\partial r}$）とは異なります。
この違いが効く例を2つ並べます。
左は剛体回転 $\bm{A} = r\,\bm{e}_\theta$ で、外側ほど速く回ります。$rA_\theta = r^2$ なので $(\nabla\times\bm{A})_z = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r^2) = 2$ で、どこでも一定の渦度を持ちます。円盤がまるごと回っているイメージです。
右は渦糸 $\bm{A} = \frac{1}{r}\bm{e}_\theta$ で、中心に近いほど速く回ります。$rA_\theta = 1$（定数）なので $(\nabla\times\bm{A})_z = 0$ となり、回っているのに渦度がゼロです。渦度はすべて原点の特異点に集中しており、原点を囲む経路で周回積分すると $2\pi$ という有限の値が出ます。
「回転しているように見えるかどうか」と「渦度があるかどうか」が別物であることが、この2例の対比で分かります。もし $rA_\theta$ ではなく $A_\theta$ を微分してしまうと、右の場で $-1/r^2 \neq 0$ という誤った答えが出ます。
ラプラシアン
スカラーラプラシアン $\nabla^2 f = \nabla\cdot(\nabla f)$ に発散と勾配の公式を代入します。
$\nabla f$ の $r$ 成分は $\frac{\partial f}{\partial r}$ なので、$\nabla\cdot(\nabla f)$ の第1項は：
$$ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right) $$
同様に他の項も計算すると：
$$ \boxed{\nabla^2 f = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial\theta^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}} $$
第1項を展開すると：
$$ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r} $$
直交座標系のラプラシアン $\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$ と比べると、$\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}$ の項が余分に現れます。
公式が正しいことを数値で確かめる
導出した式が本当に合っているか、直交座標の数値微分と突き合わせて検証しておきましょう。$f = r^2\cos 2\theta$ を選びます。この関数は直交座標で書くと $f = x^2 – y^2$ なので、直交座標のラプラシアンは $2 + (-2) = 0$ です。
一方、円筒座標の式に入れると
$$ \nabla^2 f = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \cdot 2r\cos 2\theta\right) + \frac{1}{r^2}\left(-4r^2\cos 2\theta\right) = 4\cos 2\theta – 4\cos 2\theta = 0 $$
となり、やはり $0$ です。両者が一致しました。
左が $f$ の分布、中央が直交座標の5点ステンシルで計算した数値ラプラシアン、右が円筒座標の解析式（$=0$）との差です。差の最大値は $2.2 \times 10^{-10}$ で、浮動小数点の丸め誤差の水準に収まっています。
このように「別の座標系で計算して一致するか」を確かめるのは、係数の書き間違いを見つける実用的な方法です。$\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}$ を落とすと $4\cos 2\theta – 4\cos 2\theta$ の打ち消しが崩れ、ゼロにならなくなります。
応用例: 同軸ケーブルの電場
内半径 $a$、外半径 $b$ の同軸ケーブルで、内導体に線電荷密度 $\lambda$ [C/m] が与えられた場合を考えます。
対称性から電場は $\bm{E} = E_r(r)\,\bm{e}_r$ の形です。ガウスの法則の微分形 $\nabla\cdot\bm{E} = \rho/\epsilon_0$ を使います。
導体間（$a < r < b$）では $\rho = 0$ なので：
$$ \nabla\cdot\bm{E} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rE_r) = 0 $$
$$ \frac{\partial}{\partial r}(rE_r) = 0 \implies rE_r = C \implies E_r = \frac{C}{r} $$
境界条件（ガウスの法則の積分形）から $C = \lambda/(2\pi\epsilon_0)$ と決まり：
$$ \boxed{E_r = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r} \quad (a < r < b)} $$
左が電場の大きさの半径依存で、絶縁体の領域で $1/r$ に従って減衰します。$\lambda = 1$ nC/m のとき、$r = 0.5$ m で $35.95$ V/m、$r = 1.0$ m で $17.98$ V/m、$r = 2.0$ m で $8.99$ V/m と、距離が2倍になるたびに半分になっています。
右が断面での電場ベクトルで、内導体から放射状に外向きに出ています。内導体の表面近くで最も強く、外導体に近づくほど弱まります。同軸ケーブルの絶縁破壊が内導体の表面から始まるのは、ここが最も電界強度が高いためです。
注目すべきは計算の手軽さです。円筒対称性から $\bm{E} = E_r(r)\bm{e}_r$ と置けるので、$\nabla\cdot\bm{E} = 0$ という偏微分方程式が $\frac{d}{dr}(rE_r) = 0$ という常微分方程式1本に縮みます。直交座標のまま解こうとすれば2変数の偏微分方程式になり、はるかに手間がかかります。対称性に合った座標を選ぶことの利益がここに現れています。
円筒でのラプラス方程式とベッセル関数
同軸ケーブルの例では $\theta$ と $z$ の依存性がありませんでしたが、一般に $\nabla^2 f = 0$ を円筒座標で変数分離すると、半径方向にベッセル方程式が現れます。
$$ r^2 \frac{d^2 R}{dr^2} + r\frac{dR}{dr} + (k^2 r^2 – m^2)R = 0 $$
この $r\frac{dR}{dr}$ の項が、まさにラプラシアンの $\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}$ から来ています。解が第1種ベッセル関数 $J_m(kr)$ です。
左が $J_0$ から $J_3$ のグラフです。三角関数に似た振動をしますが、振幅が徐々に減衰し、零点の間隔も一定ではありません。$1/r$ の項が入っている分だけ、正弦波から歪んだ形になっています。
右は円形の膜（太鼓）の基本振動モードで、$J_0(kr)$ の形をしています。$k$ は $J_0$ の第1零点 $2.404826$ を膜の半径で割った値です。太鼓の音が弦楽器と違って濁って聞こえるのは、倍音の比が $J_0$ の零点の比（$2.405, 5.520, 8.654, \dots$）という整数比でない値になるためです。円筒座標のラプラシアンが、楽器の音色まで決めているわけです。
導波管の伝送モード（TE/TMモード）も同じ方程式から出てくるので、この式は電磁気学でも繰り返し登場します。
Pythonでの可視化
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# --- (1) 円筒座標系の基底ベクトルの可視化 ---
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(18, 5))
theta_pts = np.linspace(0, 2*np.pi, 8, endpoint=False)
for th in theta_pts:
x0, y0 = 1.5*np.cos(th), 1.5*np.sin(th)
# e_r
axes[0].arrow(x0, y0, 0.4*np.cos(th), 0.4*np.sin(th),
head_width=0.08, color='blue', lw=1.5)
# e_theta
axes[0].arrow(x0, y0, -0.4*np.sin(th), 0.4*np.cos(th),
head_width=0.08, color='red', lw=1.5)
circle = plt.Circle((0, 0), 1.5, fill=False, ls='--', color='gray')
axes[0].add_patch(circle)
axes[0].set_xlim(-2.5, 2.5); axes[0].set_ylim(-2.5, 2.5)
axes[0].set_aspect('equal')
axes[0].set_title('Unit vectors $\\hat{e}_r$ (blue), $\\hat{e}_\\theta$ (red)', fontsize=12)
axes[0].set_xlabel('$x$'); axes[0].set_ylabel('$y$')
axes[0].grid(True, alpha=0.3)
# --- (2) 同軸ケーブルの電場 ---
a, b = 0.5, 2.0 # 内半径, 外半径
lam = 1e-9 # 線電荷密度 [C/m]
eps0 = 8.854e-12
r = np.linspace(0.1, 3.0, 500)
E_r = np.where((r >= a) & (r <= b), lam / (2*np.pi*eps0*r), 0)
# 内導体内部・外導体外部は 0
axes[1].plot(r, E_r, 'b-', lw=2)
axes[1].axvline(a, color='gray', ls='--', alpha=0.5, label=f'$a={a}$')
axes[1].axvline(b, color='gray', ls='-.', alpha=0.5, label=f'$b={b}$')
axes[1].fill_between([0, a], 0, max(E_r)*1.1, alpha=0.1, color='orange', label='Inner conductor')
axes[1].fill_between([b, 3], 0, max(E_r)*1.1, alpha=0.1, color='green', label='Outer conductor')
axes[1].set_xlabel('$r$ [m]', fontsize=12)
axes[1].set_ylabel('$E_r$ [V/m]', fontsize=12)
axes[1].set_title('Electric field in coaxial cable', fontsize=13)
axes[1].legend(fontsize=9)
axes[1].grid(True, alpha=0.3)
axes[1].set_ylim(0, max(E_r)*1.1)
# --- (3) 電場の2次元ベクトルプロット ---
r_2d = np.linspace(a, b, 10)
theta_2d = np.linspace(0, 2*np.pi, 16, endpoint=False)
R, Th = np.meshgrid(r_2d, theta_2d)
X2 = R * np.cos(Th)
Y2 = R * np.sin(Th)
Er = lam / (2*np.pi*eps0*R)
Ex = Er * np.cos(Th)
Ey = Er * np.sin(Th)
circle_a = plt.Circle((0, 0), a, fill=True, color='orange', alpha=0.3)
circle_b = plt.Circle((0, 0), b, fill=False, ls='--', color='green', lw=2)
axes[2].add_patch(circle_a)
axes[2].add_patch(circle_b)
axes[2].quiver(X2, Y2, Ex/np.max(Er), Ey/np.max(Er), color='blue', alpha=0.7)
axes[2].set_xlim(-2.5, 2.5); axes[2].set_ylim(-2.5, 2.5)
axes[2].set_aspect('equal')
axes[2].set_title('Electric field (2D cross section)', fontsize=13)
axes[2].set_xlabel('$x$'); axes[2].set_ylabel('$y$')
axes[2].grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.savefig('cylindrical_coordinates.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
まとめ
本記事では、円筒座標系 $(r, \theta, z)$ での微分演算子を導出しました。
- 座標変換: $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $z = z$
- 計量係数: $h_r = 1$, $h_\theta = r$, $h_z = 1$
- 勾配: $\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\bm{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial\theta}\bm{e}_\theta + \frac{\partial f}{\partial z}\bm{e}_z$
- 発散: $\nabla\cdot\bm{A} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rA_r) + \frac{1}{r}\frac{\partial A_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial A_z}{\partial z}$
- ラプラシアン: $\nabla^2 f = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial\theta^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$
- 回転の $z$ 成分: $\frac{1}{r}\frac{\partial(rA_\theta)}{\partial r}$。剛体回転は渦度 $2$、渦糸 $\frac{1}{r}\bm{e}_\theta$ は渦度 $0$
- 同軸ケーブルの電場: $E_r = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}$（$1/r$ に比例）
- 係数の覚え方: 丸暗記せず「その座標を1動かしたときの実際の移動距離（計量係数）で割る」から毎回組み立てる
- 検証の仕方: 直交座標で計算できる例（$r^2\cos 2\theta = x^2-y^2$ など）で突き合わせると、係数の書き間違いが見つかる。実測では差が $2.2\times10^{-10}$ に収まった
最後に、3つの座標系を並べて比較しておきます。
計量係数を見ると、直交座標は $(1, 1, 1)$ ですべて $1$、円筒座標は $(1, r, 1)$ で1つだけ $r$、球座標は $(1, r, r\sin\theta)$ で2つに係数が付きます。係数が $1$ でない座標の数だけ、公式が複雑になるという対応です。
座標系を変える動機は「対称性に合わせて項を消す」ことにあります。円柱状の問題なら円筒座標を選べば $\theta$ と $z$ の微分が消え、球状の問題なら球座標を選べば角度方向が消えます。式が複雑になるのを我慢しても、消える項の数のほうが得になる——これが座標変換の損得計算です。
次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。
