抵抗値を知りたいとき、テスター（デジタルマルチメータ）を当てれば数字がすぐ出ます。では、なぜわざわざ 4 本の抵抗を菱形につないだ「ブリッジ回路」で、検流計の針がゼロになるまで調整するような、一見まわりくどい測定が今も使われるのでしょうか。答えは精度にあります。テスターの読みは、内部の基準電圧や増幅器の直線性など「計器そのものの正確さ」で頭打ちになります。ところがブリッジは、既知の抵抗と未知の抵抗を「等しいかどうか」だけ比べる装置です。天秤が分銅の精度でいくらでも精密に重さを量れるのと同じで、ブリッジは基準抵抗の精度がそのまま測定精度になります。電源電圧が多少ふらついても、検流計の目盛りが不正確でも、平衡点は動きません。
この「ゼロを合わせる」という考え方（ゼロ位法）は、ひずみゲージによる応力測定、白金測温抵抗体による精密温度計、コンデンサやコイルのインピーダンス測定、さらには発振回路の周波数決定まで、計測の広い範囲で今も現役です。本記事では、直流のホイートストンブリッジから始めて、平衡条件 $R_1 R_4 = R_2 R_3$ をキルヒホッフの法則から省略なく導き、平衡がずれたときに検流計へ流れる電流をテブナンの定理で求めます。さらに低抵抗を測るケルビンダブルブリッジ、そして交流に拡張したマクスウェル・ヘイ・シェーリング・ウィーンの各ブリッジの平衡条件を、一つずつ導出していきます。
本記事の内容
- 偏位法とゼロ位法の違い — なぜゼロ位法は電源変動や計器誤差に強いのか
- ホイートストンブリッジの平衡条件 $R_1 R_4 = R_2 R_3$ の導出と、不平衡時の検流計電流（テブナン等価回路）
- ケルビンダブルブリッジ — 低抵抗測定でリード線・接触抵抗を消す仕組み
- 交流ブリッジの一般平衡条件 $Z_1 Z_4 = Z_2 Z_3$ が実部・虚部の 2 条件になること
- マクスウェル・ヘイ・シェーリング・ウィーンブリッジの平衡条件の導出と Python による検証
前提知識
この記事を読む前に、以下の記事を読んでおくと理解がスムーズです。
ブリッジ回路と天秤 — ゼロ位法の直感
まず、ブリッジ回路がどんな形をしているのかを絵で押さえましょう。4 つの素子を菱形に並べ、上下の頂点に電源をつなぎ、左右の頂点のあいだに検流計（微小電流を検出する計器）を「橋」のように渡します。この橋が名前の由来です。
左が回路、右がアナロジーの天秤です。この図から、ブリッジの本質が読み取れます。天秤は「左右がつり合っているか、いないか」だけを針の位置で判定します。分銅の重さが正確でありさえすれば、天秤の腕の目盛りが多少いい加減でも、つり合った瞬間の分銅の合計が測りたい重さになります。ブリッジも同じで、検流計の針がゼロになった瞬間の「抵抗の比」だけが効き、電源電圧や検流計の目盛りの正確さは結果に影響しません。
この「つり合わせてゼロにする」測り方をゼロ位法（零位法, null method）と呼びます。対して、計器の振れ（偏位）の大きさをそのまま読む測り方を偏位法（deflection method）と呼びます。テスターで電圧を読むのは偏位法です。
両者の決定的な違いは、計器に要求される性質にあります。偏位法では、針の振れの「絶対量」が読み値そのものなので、計器の目盛りが端から端まで正確でなければなりません。フルスケールの何パーセントという確度が、そのまま測定確度の上限になります。ところがゼロ位法では、計器に求められるのは「ゼロ付近で敏感に振れること」だけです。ゼロから離れた場所の目盛りが不正確でも、そもそもそこを読まないので関係ありません。針がゼロに戻る点さえ鋭く分かればよいのです。この違いは大きく、精密測定ではしばしば数桁の精度差を生みます。
もう一つ大事なのは、測定精度の根拠が「基準器（標準抵抗）の正確さ」に一元化される点です。標準抵抗は温度係数が小さく経年変化の少ない材料で作られ、国家標準までたどれる形で校正できます。ブリッジは未知量をこの標準器と直接比較する装置なので、標準器さえ信頼できれば、途中の電源や検流計の素性を問いません。では、両者の性質の違いを、電源電圧がふらついたときの読み値で具体的に比べてみましょう。
左の偏位法では、出力電圧そのものを読むため、電源が $\pm 10\%$ 振れると読み値も比例して $\pm 10\%$ 振れます。一方、右のゼロ位法では、平衡させた抵抗比を読むので、電源電圧が変わっても平衡点は動かず、測定値は一定です。ゼロ位法が電源変動に強いのは、平衡条件が「抵抗どうしの比」で決まり、電源電圧が式から完全に消えるためです。次の節で、この「電源電圧が消える」ことを数式で確かめます。
ホイートストンブリッジの平衡条件を導く
もっとも基本的なブリッジが、抵抗 4 本からなるホイートストンブリッジです。節点に名前をつけて、電位を追いかけてみましょう。
図のように、電源の $+$ 端子を節点 $c$、$-$ 端子を節点 $d$ とし、$c$ から左へ $R_1$、右へ $R_2$、下側は左が $R_3$、右が $R_4$ とします。検流計は左の節点 $a$ と右の節点 $b$ をつなぎます。検流計に流れる電流を $I_g$ とします。この図から、ブリッジは「$R_1$ と $R_3$ の直列分圧」と「$R_2$ と $R_4$ の直列分圧」を左右に並べ、その中点 $a$、$b$ の電位を比べる回路だと分かります。
平衡とは、検流計電流が $I_g = 0$ になった状態です。このとき節点 $a$ と $b$ には電流が出入りしないので、$R_1$ と $R_3$ には同じ電流が直列に流れ、$R_2$ と $R_4$ にも同じ電流が直列に流れます。$c$ の電位を $E$、$d$ の電位を $0$ とすると、$a$ の電位 $V_a$ は $R_3$ にかかる電圧、$b$ の電位 $V_b$ は $R_4$ にかかる電圧です。分圧の式から次のように書けます。
$$ V_a = E\,\frac{R_3}{R_1 + R_3}, \qquad V_b = E\,\frac{R_4}{R_2 + R_4} $$
平衡では検流計の両端の電位が等しい、つまり $V_a = V_b$ です。ここから平衡条件を導きます。まず両者を等しいと置きます。
$$ E\,\frac{R_3}{R_1 + R_3} = E\,\frac{R_4}{R_2 + R_4} $$
両辺に $E$ が共通なので割って消せます。ここで電源電圧 $E$ が式から消えることが、ゼロ位法が電源変動に強い理由そのものです。
$$ \frac{R_3}{R_1 + R_3} = \frac{R_4}{R_2 + R_4} $$
分母を払って、たすき掛け（両辺に $(R_1+R_3)(R_2+R_4)$ を掛ける）をします。
$$ R_3 (R_2 + R_4) = R_4 (R_1 + R_3) $$
左右を展開します。
$$ R_2 R_3 + R_3 R_4 = R_1 R_4 + R_3 R_4 $$
両辺に共通する $R_3 R_4$ を消すと、平衡条件が現れます。
$$ \boxed{\,R_1 R_4 = R_2 R_3\,} $$
これがホイートストンブリッジの平衡条件です。菱形で向かい合う辺どうしの積が等しい、と覚えられます。$R_1 R_4 = R_2 R_3$ は $R_1/R_2 = R_3/R_4$ とも書け、「左の 2 本の比」と「右の 2 本の比」が一致したときに平衡する、と読めます。この比の形は大切で、両辺を同じ倍率でスケールしても平衡は崩れません。つまり測定に効くのは抵抗の絶対値ではなく比だけであり、これがゼロ位法で導いた「電源電圧が消える」性質と表裏一体になっています。
未知抵抗を $R_4 = R_x$ とすれば、既知の 3 本から $R_x = R_2 R_3 / R_1$ と求まります。$R_2/R_1$ を「比の腕」、$R_3$ を「標準抵抗」として、比を 1:1、10:1、100:1 のように切り替えて測定レンジを変え、そのうえで $R_3$ を可変にして平衡を取るのが実際の使い方です。比の腕を精密な同種抵抗で作れば、その比自体は温度が変わっても安定するため、広いレンジにわたって高い確度を保てます。
ここまでで導けたのは「平衡したときの関係」だけです。では、平衡から少しずれたとき、検流計にはどれだけの電流が流れるのでしょうか。これは検流計にどれだけの感度が必要かを見積もるうえで欠かせません。
不平衡時の検流計電流 — テブナン等価回路
平衡からずれると $V_a \neq V_b$ となり、検流計に電流が流れます。この電流を正しく求めるには、検流計から左を見たブリッジ全体をテブナンの定理で 1 個の電源に置き換えるのが近道です。
テブナンの定理は「2 端子から見た線形回路は、開放電圧 $V_{th}$ の理想電源と内部抵抗 $R_{th}$ の直列に等価」だと述べます。検流計を外した端子 $a$–$b$ の開放電圧は、さきほどの分圧の差そのものです。
$$ V_{th} = V_a – V_b = E\left(\frac{R_3}{R_1 + R_3} – \frac{R_4}{R_2 + R_4}\right) $$
内部抵抗は、電源 $E$ を短絡（$c$ と $d$ を同一点に）して端子 $a$–$b$ から見た抵抗です。$c$ と $d$ が短絡されると、$a$ から見て $R_1$ と $R_3$ は並列、$b$ から見て $R_2$ と $R_4$ は並列になり、それらが $a$–$b$ 間で直列につながります。
$$ R_{th} = (R_1 \parallel R_3) + (R_2 \parallel R_4) = \frac{R_1 R_3}{R_1 + R_3} + \frac{R_2 R_4}{R_2 + R_4} $$
検流計の内部抵抗を $R_g$ とすれば、検流計電流はオームの法則で一発です。
$$ I_g = \frac{V_{th}}{R_{th} + R_g} $$
$V_{th}$ に平衡条件 $R_1 R_4 = R_2 R_3$ を代入すると分子がゼロになり、確かに $I_g = 0$ となって話がつながります。この式を使うと、平衡からのずれと出力電圧の関係が定量的に見えます。$R_1=R_2=R_3=R$ とし、$R_4=R+\Delta R$ と 1 本だけずらしたときの出力電圧を計算してみましょう。
青が厳密な出力電圧、赤の破線が線形近似です。ずれ $\Delta R/R$ がゼロの平衡点で出力もゼロになり、その近くでは出力が抵抗のずれにほぼ比例します。この比例関係を数式で確かめましょう。$x = \Delta R/R$ とおくと、$V_{th}$ の中身は次のように整理できます。
$$ \frac{R_3}{R_1+R_3} – \frac{R_4}{R_2+R_4} = \frac{1}{2} – \frac{R+\Delta R}{2R+\Delta R} = \frac{1}{2} – \frac{1+x}{2+x} $$
通分すると分子は $(2+x) – 2(1+x) = -x$ となります。
$$ \frac{1}{2} – \frac{1+x}{2+x} = \frac{(2+x) – 2(1+x)}{2(2+x)} = \frac{-x}{2(2+x)} $$
ずれが小さい（$x \ll 1$）とき、分母の $2+x \approx 2$ と近似すれば、出力は $x$ に比例します。
$$ V_{th} \approx -\,\frac{E}{4}\cdot\frac{\Delta R}{R} $$
この $-E/4$ という係数が、ひずみゲージなどでおなじみの「ブリッジ感度」です。
この不平衡出力を積極的に利用するのが、ひずみゲージによる応力測定です。金属の抵抗体は引き伸ばされると抵抗がわずかに増えます。その変化率 $\Delta R/R$ はふつう $0.1\%$ にも満たない微小なものですが、抵抗体をブリッジの一辺に組み込めば、変化がそのまま出力電圧 $-(E/4)(\Delta R/R)$ として現れ、増幅して読み取れます。あらかじめ平衡させておき、そこからのずれだけを測るこのやり方は、大きな信号のなかから小さな変化を取り出すのに向いています。4 辺すべてをゲージにして、伸びる辺と縮む辺を対角に配置すれば、感度を 4 倍にしつつ温度変化の影響を打ち消すこともできます。
ここで、出力を大きく（感度を高く）するには、腕の抵抗比や電源電圧をどう選べばよいのかという疑問が自然に生まれます。次の節でこの感度を詳しく調べます。
感度解析 — 腕の比と電源電圧
検流計電流 $I_g$ をなるべく大きくすれば、わずかな不平衡も敏感に検出できます。感度に効くのは電源電圧 $E$ と、腕の抵抗の比です。$1\%$ の不平衡を与えたまま、腕の比 $m = R_2/R_1$ と電源電圧を振って $|I_g|$ を計算してみましょう。
左の図から、腕の比には検流計電流を最大にする最適値があることが読み取れます。比が小さすぎても大きすぎても、内部抵抗 $R_{th}$ が増えたり開放電圧が減ったりして電流が落ちます。腕の抵抗が検流計の内部抵抗と釣り合うあたりで感度が最大になります。右の図からは、電源電圧を上げるほど検流計電流が比例して増える、つまり感度が上がることが分かります。
ただし、感度と精度は別物です。電源電圧を上げれば検出は敏感になりますが、抵抗が発熱して値がずれれば精度はむしろ悪化します。あくまで「平衡点の位置」は電源に依存せず、電源は「平衡からのずれをどれだけ鋭く検出できるか」にだけ効く、という役割分担を押さえておきましょう。ここまでは抵抗値がそこそこ大きい場合の話でした。では、$1\,\Omega$ を下回るような低抵抗を測るとき、何が問題になるのでしょうか。
ケルビンダブルブリッジ — 低抵抗を測る
$1\,\Omega$ 以下の低抵抗を普通のホイートストンブリッジで測ろうとすると、測りたい抵抗と同じくらいの大きさの「リード線の抵抗」や「端子の接触抵抗」が測定に紛れ込み、無視できません。導線の抵抗は 1 メートルあたり数十ミリオーム、端子の接触抵抗もミリオーム単位で変動します。$100\,\Omega$ を測るときには誤差にもならないこれらが、$0.01\,\Omega$ を測るときには測定値の数倍にもなってしまいます。これを解決するのがケルビンダブルブリッジです。
アイデアは、未知の低抵抗 $R_x$ と標準抵抗 $R_s$ を太い電流路で直列につなぎ、両者を結ぶ「つなぎ抵抗（リード線・接触抵抗）$r$」の影響を、もう一組の比の腕 $p, q$ で打ち消すことです。$R_x$ 側と $R_s$ 側それぞれに 2 組の腕 $(P, Q)$ と $(p, q)$ を設けます。検流計は $P$-$Q$ の接続点と $p$-$q$ の接続点をつなぎます。$p$ と $q$ の直列は、つなぎ抵抗 $r$ と並列になっています。
平衡（検流計電流ゼロ）で、$P, Q$ に流れる電流を $I_1$、$p, q$ に流れる電流を $I_2$、主電流を $I$ とします。$P$-$Q$ の接続点と $p$-$q$ の接続点は同電位なので、二つの経路の電位差が等しいという式を 2 本立てられます。$R_x$ の上端から接続点までを、$P$ を通る経路と $R_x{+}p$ を通る経路で等しいと置きます。
$$ I_1 P = I R_x + I_2 p \tag{1} $$
同様に、接続点から $R_s$ の下端までを、$Q$ を通る経路と $q{+}R_s$ を通る経路で等しいと置きます。
$$ I_1 Q = I_2 q + I R_s \tag{2} $$
つなぎ抵抗 $r$ と直列腕 $(p+q)$ は並列なので、両端の電圧が等しく、$r$ を流れる電流 $(I – I_2)$ と $(p+q)$ を流れる電流 $I_2$ が次の関係を満たします。
$$ (I – I_2)\,r = I_2 (p + q) \;\;\Longrightarrow\;\; I_2 = \frac{r}{p + q + r}\,I \tag{3} $$
式(2)を $I_1$ について解き、$I_1 = (I_2 q + I R_s)/Q$ を式(1)に代入します。
$$ \frac{P}{Q}\,(I_2 q + I R_s) = I R_x + I_2 p $$
$R_x$ について整理すると、$I$ でくくれます。
$$ R_x = \frac{P}{Q}\,R_s + \frac{I_2}{I}\left(\frac{P}{Q}\,q – p\right) $$
ここに式(3)の $I_2/I = r/(p+q+r)$ を代入し、$q$ でくくります。
$$ R_x = \frac{P}{Q}\,R_s + \frac{q\,r}{p + q + r}\left(\frac{P}{Q} – \frac{p}{q}\right) $$
第 2 項に、つなぎ抵抗 $r$ が残っています。ここで二つの比の腕を $P/Q = p/q$ に選ぶと、括弧の中がゼロになり、$r$ を含む項がまるごと消えます。
$$ \boxed{\,R_x = \frac{P}{Q}\,R_s\,} $$
つなぎ抵抗 $r$ がいくら大きくても結果に影響しません。これがケルビンダブルブリッジで低抵抗を精密に測れる理由です。
背景にあるのは4 端子測定（ケルビン接続）の思想です。ふつうの 2 端子測定では、電流を流す線と電圧を測る線が同じなので、線の抵抗による電圧降下が測定値に足し込まれてしまいます。そこで、電流を流す端子と電圧を検出する端子を別々に設けます。電圧検出側にはほとんど電流を流さないので、その線の抵抗があっても電圧降下は生じず、抵抗体そのものの電圧だけを拾えます。ケルビンダブルブリッジは、この 4 端子の考え方を、もう一組の比の腕 $p, q$ という形でブリッジに埋め込んだものだと理解できます。標準抵抗器やシャント抵抗が 4 本の端子を持っているのは、まさにこのためです。
ここまでは直流でした。次は、コイルやコンデンサのように位相をもつ素子を測るため、交流ブリッジへ拡張します。
交流ブリッジの一般平衡条件
直流の抵抗 $R$ を、交流のインピーダンス $Z$（複素数）に置き換えると、そのまま交流ブリッジになります。導出はホイートストンブリッジと同じで、分圧の式で $R$ を $Z$ に替えるだけです。平衡条件も形は同じになります。
$$ Z_1 Z_4 = Z_2 Z_3 $$
ただし、ここが直流と決定的に違う点です。$Z$ は複素数なので、この 1 本の等式は実部と虚部の 2 本の等式を同時に満たすことを要求します。極形式 $Z = |Z|\,e^{j\theta}$ で書くと、両辺の大きさと偏角がそれぞれ等しくなければなりません。
$$ |Z_1||Z_4| = |Z_2||Z_3|, \qquad \theta_1 + \theta_4 = \theta_2 + \theta_3 $$
「大きさが等しい」だけでなく「位相が等しい」ことも必要です。これをフェーザ（複素平面上の矢印）で見ると直感的です。
この図から、$Z_1 Z_4$ と $Z_2 Z_3$ という 2 本の矢印が、向き（位相）と長さ（大きさ）の両方でぴったり重ならないと平衡しないことが分かります。実際には片方の矢印が少しでもずれていれば検流計に電流が流れます。2 つの条件を同時に満たすには、調整できる素子が 2 つ必要です。たとえば抵抗を回して大きさを、コンデンサを回して位相を、というように別々のつまみで追い込みます。この「2 条件・2 調整」という原則が、これから見る各種交流ブリッジの設計を貫いています。まずはコイルのインダクタンスを測るブリッジからです。
マクスウェルブリッジ — インダクタンスを測る
コイルのインダクタンス $L_x$ を測るのに、標準インダクタ（正確なコイル）は作りにくく高価です。マクスウェルブリッジ（マクスウェル・ウィーンブリッジ）は、標準コンデンサと抵抗だけで $L_x$ を測れる巧妙な回路です。
未知のコイルを「抵抗 $R_x$ と誘導リアクタンス $j\omega L_x$ の直列」$Z_4 = R_x + j\omega L_x$ とします。向かいの腕 $Z_1$ を「抵抗 $R_1$ とコンデンサ $C_1$ の並列」、残る 2 腕を純抵抗 $R_2, R_3$ とします。並列 $R_1 \parallel C_1$ のインピーダンスは次の通りです。
$$ Z_1 = \frac{R_1}{1 + j\omega R_1 C_1} $$
平衡条件 $Z_1 Z_4 = Z_2 Z_3$ に代入し、$Z_4$ について解きます。
$$ Z_4 = \frac{Z_2 Z_3}{Z_1} = R_2 R_3 \cdot \frac{1 + j\omega R_1 C_1}{R_1} $$
右辺を実部と虚部に分けます。
$$ R_x + j\omega L_x = \frac{R_2 R_3}{R_1} + j\omega R_2 R_3 C_1 $$
実部どうし、虚部どうしを比べれば、2 つの平衡条件が得られます。
$$ R_x = \frac{R_2 R_3}{R_1}, \qquad L_x = R_2 R_3 C_1 $$
注目すべきは、右辺に角周波数 $\omega$ が現れないことです。$\omega$ が両辺から消えたため、平衡は電源の周波数によらず、標準コンデンサ $C_1$ と抵抗だけで $L_x$ が決まります。これがマクスウェルブリッジの最大の利点です。標準インダクタは、巻き方や周囲の磁性体の影響を受けやすく正確に作るのが難しいのに対し、標準コンデンサは損失が小さく安定した基準を作りやすい素子です。コイルの測定をコンデンサの基準に肩代わりさせられる点が、このブリッジの実用的な強みになっています。右の図は、$R_1$ と $C_1$ を動かしたときの平衡からのずれ（残差 $|Z_1 Z_4 – R_2 R_3|$）を描いたもので、真値の一点で深い谷になり、そこが平衡点であることが読み取れます。$R_1$ で虚部（インダクタンス）を、$C_1$ で実部（損失抵抗）を追い込む、2 条件・2 調整の実例です。
ただし、マクスウェルブリッジは Q が高い（損失の小さい）コイルでは平衡が取りにくくなります。この弱点を補うのが次のヘイブリッジです。
ヘイブリッジ — 高 Q コイル向け
ヘイブリッジは、マクスウェルブリッジで $R_1$ と $C_1$ を並列にしていたところを、直列に変えたものです。$Z_1 = R_1 + \dfrac{1}{j\omega C_1}$ とします。同じく $Z_4 = R_x + j\omega L_x$ として平衡条件 $Z_1 Z_4 = Z_2 Z_3$ を解きます。
$$ Z_4 = \frac{R_2 R_3}{Z_1} = \frac{R_2 R_3}{R_1 – \dfrac{j}{\omega C_1}} $$
分母を実数化するため、分母の共役を分子分母に掛けます。
$$ Z_4 = \frac{R_2 R_3 \left(R_1 + \dfrac{j}{\omega C_1}\right)}{R_1^2 + \dfrac{1}{\omega^2 C_1^2}} $$
実部が $R_x$、虚部が $\omega L_x$ です。虚部から $L_x$ を取り出すと、分母を整理して次の形になります。
$$ L_x = \frac{R_2 R_3 C_1}{1 + \omega^2 C_1^2 R_1^2} $$
マクスウェルの $L_x = R_2 R_3 C_1$ に、分母 $1 + \omega^2 C_1^2 R_1^2$ という補正がついた形です。ここでコイルの品質係数 $Q = \omega L_x / R_x$ を計算すると、きれいに $Q = 1/(\omega R_1 C_1)$ となります。これを使うと補正項は $1 + 1/Q^2$ と書けます。
$$ L_x = \frac{R_2 R_3 C_1}{1 + 1/Q^2} $$
Q が高いコイルでは $1/Q^2$ が無視でき、$L_x \approx R_2 R_3 C_1$ とマクスウェルと同じ簡単な式に戻ります。逆に Q が低いと補正が効き、しかも $\omega$ が式に残るので周波数に依存します。したがって、高 Q コイルにはヘイブリッジ、低 Q コイルにはマクスウェルブリッジ、と使い分けるのが定石です。次は、コンデンサの静電容量と「漏れ」を測るシェーリングブリッジです。
シェーリングブリッジ — 静電容量と誘電正接
理想のコンデンサは電流を蓄えるだけでエネルギーを消費しませんが、実際のコンデンサは誘電体の損失で少しだけエネルギーを失います。この損失の大きさを表すのが誘電正接 $\tan\delta$ です。シェーリングブリッジは、静電容量 $C_x$ と $\tan\delta$ を同時に測れます。
未知コンデンサを「損失抵抗 $r_x$ と容量 $C_x$ の直列」$Z_1 = r_x + \dfrac{1}{j\omega C_x}$ とします。向かいの腕を「抵抗 $R_4$ とコンデンサ $C_4$ の並列」$Z_4 = \dfrac{R_4}{1 + j\omega R_4 C_4}$、残りを標準コンデンサ $Z_2 = \dfrac{1}{j\omega C_2}$ と抵抗 $Z_3 = R_3$ とします。平衡条件 $Z_1 Z_4 = Z_2 Z_3$ に代入します。
$$ \left(r_x + \frac{1}{j\omega C_x}\right)\frac{R_4}{1 + j\omega R_4 C_4} = \frac{R_3}{j\omega C_2} $$
両辺に $(1 + j\omega R_4 C_4)$ を掛けて分母を払います。
$$ \left(r_x + \frac{1}{j\omega C_x}\right) R_4 = \frac{R_3 (1 + j\omega R_4 C_4)}{j\omega C_2} $$
左辺と右辺をそれぞれ実部・虚部に展開します。左辺は $r_x R_4 – j\dfrac{R_4}{\omega C_x}$、右辺は $\dfrac{R_3 R_4 C_4}{C_2} – j\dfrac{R_3}{\omega C_2}$ です（$1/j = -j$ を使いました）。実部どうしを比べます。
$$ r_x R_4 = \frac{R_3 R_4 C_4}{C_2} \;\;\Longrightarrow\;\; r_x = \frac{R_3 C_4}{C_2} $$
虚部どうしを比べます。
$$ \frac{R_4}{\omega C_x} = \frac{R_3}{\omega C_2} \;\;\Longrightarrow\;\; C_x = C_2\,\frac{R_4}{R_3} $$
さらに、直列 $r_x C_x$ モデルの誘電正接は $\tan\delta = \omega r_x C_x$ で定義されます（損失電流と容量電流の比）。求めた $r_x, C_x$ を代入すると、右の図の説明どおりきれいにまとまります。
$$ \tan\delta = \omega r_x C_x = \omega \cdot \frac{R_3 C_4}{C_2} \cdot \frac{C_2 R_4}{R_3} = \omega R_4 C_4 $$
$C_x$ は容量、$\tan\delta$ は損失、と別々のつまみ（$R_4$ と $C_4$）で読めるのがシェーリングブリッジの便利さです。右の図の損失角 $\delta$ は、理想の容量電流（縦の矢印）から実際の電流がどれだけ傾いているかを表し、傾きが大きいほど損失が大きいことを示します。最後に、周波数そのものを測るウィーンブリッジを見ましょう。
ウィーンブリッジ — 周波数を測り、発振器になる
ウィーンブリッジは、平衡条件が周波数そのものを含むため、未知の周波数を測ったり、逆に決まった周波数で発振させたりできます。
一方の腕を「$R$ と $C$ の直列」$Z_1 = R + \dfrac{1}{j\omega C}$、対辺を「$R$ と $C$ の並列」$Z_3 = \dfrac{R}{1 + j\omega R C}$、残りを抵抗 $R_2, R_4$ とします。平衡条件を分圧の形 $\dfrac{Z_3}{Z_1 + Z_3} = \dfrac{R_4}{R_2 + R_4}$ から整理すると、$\dfrac{Z_1}{Z_3} = \dfrac{R_2}{R_4}$ が得られます。左辺を計算します。
$$ \frac{Z_1}{Z_3} = \frac{\left(R + \dfrac{1}{j\omega C}\right)(1 + j\omega R C)}{R} $$
分子を展開すると、$1/j = -j$ に注意して次のようになります。
$$ \left(R – \frac{j}{\omega C}\right)(1 + j\omega R C) = 2R + j\left(\omega R^2 C – \frac{1}{\omega C}\right) $$
$R$ で割って整理します。
$$ \frac{Z_1}{Z_3} = 2 + j\left(\omega R C – \frac{1}{\omega R C}\right) $$
これが実数 $R_2/R_4$ に等しくなるには、虚部がゼロでなければなりません。ここから平衡周波数が決まります。
$$ \omega R C – \frac{1}{\omega R C} = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; (\omega R C)^2 = 1 \;\;\Longrightarrow\;\; \omega = \frac{1}{R C} $$
すなわち平衡周波数は次の式で与えられます。
$$ f_0 = \frac{1}{2\pi R C} $$
同時に、実部の条件から抵抗比 $R_2/R_4 = 2$ も要求されます。図の左は出力の大きさ、右は位相です。$f_0$ でだけ出力がゼロに落ち込み（谷）、位相も急に反転することが読み取れます。この鋭い谷が周波数の目印になります。逆に、この平衡周波数で正帰還をかければ発振器（ウィーンブリッジ発振器）になり、$f_0 = 1/(2\pi RC)$ の正弦波を生み出せます。次は、これらの結果を Python で確かめましょう。
Python で平衡条件を検証する
これまで導いた式が本当に正しいか、Python で数値的に確かめます。まず、ホイートストンブリッジの不平衡出力（厳密値と線形近似）と検流計電流を計算します。
import numpy as np
E, R = 10.0, 100.0 # 電源電圧[V]、基準抵抗[Ω]
R1 = R2 = R3 = 100.0
R4 = 101.0 # 1本だけ1%大きくして不平衡に
Rg = 50.0 # 検流計の内部抵抗[Ω]
# 分圧から開放電圧（テブナン電圧）
Va = E * R3 / (R1 + R3)
Vb = E * R4 / (R2 + R4)
Vth = Va - Vb
# 内部抵抗と検流計電流
Rth = (R1 * R3) / (R1 + R3) + (R2 * R4) / (R2 + R4)
Ig = Vth / (Rth + Rg)
print(f"Vth = {Vth*1000:.4f} mV")
print(f"線形近似 -(E/4)(dR/R) = {-E/4*(1/100)*1000:.4f} mV")
print(f"Rth = {Rth:.4f} Ω, Ig = {Ig*1e6:.2f} µA")
このコードを実行すると、Vth = -24.8756 mV、線形近似は -25.0000 mV、Rth = 100.2488 Ω、Ig = -165.56 µA と出ます。厳密な出力 $-24.88$ mV と線形近似 $-25$ mV がほぼ一致し、$1\%$ 程度の小さな不平衡では線形近似がよく成り立つことが確認できます。符号が負なのは $R_4$ を大きくした向きに対応します。
次に、交流ブリッジの代表としてマクスウェルブリッジの平衡条件を検証します。真のコイル値を仮定し、平衡条件から復元できるか確かめます。
import numpy as np
w = 2 * np.pi * 1000.0 # 角周波数（1kHz）
R1, R2, R3, C1 = 1000.0, 1000.0, 1000.0, 0.1e-6
# 平衡条件から未知コイルを計算
Lx = R2 * R3 * C1 # Lx = R2 R3 C1
Rx = R2 * R3 / R1 # Rx = R2 R3 / R1
print(f"Lx = {Lx*1000:.3f} mH, Rx = {Rx:.1f} Ω")
# 実際にインピーダンス積が一致するか（平衡の確認）
Z1 = R1 / (1 + 1j * w * C1 * R1)
Zx = Rx + 1j * w * Lx
print(f"|Z1*Zx - R2*R3| = {abs(Z1*Zx - R2*R3):.2e} (0なら平衡)")
実行すると Lx = 100.000 mH、Rx = 1000.0 Ω、そして |Z1*Zx - R2*R3| はほぼ $0$（数値誤差レベル）になります。平衡条件 $L_x = R_2 R_3 C_1$、$R_x = R_2 R_3 / R_1$ で正しくコイル値が決まり、しかも $\omega = 2\pi \times 1000$ を代入してもインピーダンス積がぴったり一致する、つまり周波数に依存しないことが確認できます。
最後に、ウィーンブリッジの平衡周波数を確かめます。
import numpy as np
R, C = 1.0e3, 100e-9 # 1kΩ、100nF
f0 = 1.0 / (2 * np.pi * R * C)
print(f"平衡周波数 f0 = {f0:.2f} Hz")
# f0で出力の虚部（Z1/Z3の虚部）が消えることを確認
w0 = 2 * np.pi * f0
imag_part = w0 * R * C - 1.0 / (w0 * R * C)
print(f"f0での虚部 = {imag_part:.2e} (0なら平衡)")
実行すると f0 = 1591.55 Hz、虚部はほぼ $0$ になります。$f_0 = 1/(2\pi RC)$ で虚部が消えて平衡することが数値でも確認でき、導出が正しかったと分かります。図の谷の位置（約 1592 Hz）ともぴたりと合います。
交流ブリッジで注意すべき誤差
ここまでの導出は、腕のインピーダンスがちょうど設計どおりであることを前提にしていました。しかし交流ブリッジには、直流にはなかった誤差要因がいくつかあります。理論を実際の測定に橋渡しするために、代表的なものを押さえておきましょう。
第一に浮遊容量です。配線や素子と大地（アース）とのあいだ、あるいは腕どうしのあいだには、意図しない小さな静電容量がどうしても生じます。直流ではこれらは効きませんが、交流では $j\omega C$ のインピーダンスとして腕に並列に加わり、平衡点をずらします。周波数が高いほど影響は大きくなります。対策として、検流計につながる節点の電位を別の補助分圧（ワグナーアース）で大地電位に合わせ、浮遊容量に電流を流させない工夫が使われます。
第二に電源波形のひずみです。平衡条件は特定の角周波数 $\omega$ に対して成り立ちます。電源に高調波が含まれていると、基本波では平衡しても高調波成分が残って検流計がゼロになりきりません。そのため交流ブリッジには、検出器の前に基本波だけを通す同調（選択）増幅器を置くことが多いのです。
第三に、素子そのものの純度です。標準コンデンサにもわずかな損失があり、標準抵抗にもわずかなインダクタンスや容量があります。高精度を狙うほど、これらの寄生成分を無視できなくなります。これらの誤差を理解しておくと、なぜ精密な交流ブリッジがシールドや同調検出器で厳重に守られているのかが腑に落ちます。
まとめ
本記事では、ブリッジ回路による測定を、直流から交流まで平衡条件を導出しながら解説しました。
- ゼロ位法の強み: ブリッジは「等しいかどうか」だけを検流計で判定する。平衡条件から電源電圧が消えるため、電源変動や計器の目盛り誤差に影響されず、基準素子の精度がそのまま測定精度になる。
- ホイートストンブリッジ: 平衡条件は $R_1 R_4 = R_2 R_3$。不平衡時の検流計電流はテブナン等価回路 $I_g = V_{th}/(R_{th}+R_g)$ で求まり、小さなずれでは出力が $-(E/4)(\Delta R/R)$ に比例する。
- ケルビンダブルブリッジ: 2 組の比の腕を $P/Q = p/q$ に選ぶと、つなぎ抵抗 $r$ の項が消えて $R_x = (P/Q)R_s$。低抵抗をリード線・接触抵抗の影響なしに測れる。
- 交流ブリッジ: 平衡条件 $Z_1 Z_4 = Z_2 Z_3$ は複素数なので、大きさと位相の 2 条件になり、調整素子が 2 つ必要。マクスウェル（低 Q コイル、周波数非依存）、ヘイ（高 Q コイル）、シェーリング（容量と $\tan\delta$）、ウィーン（周波数 $f_0 = 1/(2\pi RC)$）と、目的に応じて腕の構成を変える。
ブリッジの「基準と比べてゼロを合わせる」という思想は、精密測定の根幹です。抵抗・インダクタンス・静電容量・周波数と、測る対象は違っても、平衡条件を実部・虚部に分けて 2 条件に落とす手順は共通しています。これらの平衡条件は、電気計測を扱う資格試験（第一級陸上無線技術士「無線工学の基礎」など）でも頻出で、導出の流れを一度自分の手で追っておくと、暗記に頼らず思い出せるようになります。
次のステップとして、以下の記事も参考にしてください。